专题05一元二次方程（讲义）（原卷版）中考数学一轮复习

专题05一元二次方程1．能根据一元二次方程的特征，选择配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；2．会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根及两个实根是否相等，会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系；3．知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题；4．能根据具体问题的实际意义检验方程的解是否合理，建立模型观念。考点1：一元二次方程的有关概念一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

注：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①；②.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．考点2：一元二次方程的解法1.基本思想一元二次方程一元一次方程2.基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．注：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解

法，再考虑用公式法．考点3：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.（1）当△>0时，一元二次方程有个不相等的实数根；（2）当时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程实数根2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.注：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：（1）不解方程判定方程根的情况；（2）根据参系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题．2.一元二次方程根与系数的应用很多：（1）已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；（2）已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；（3）已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．考点4：列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答(写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.注：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【题型1：一元二次方程的概念】【典例1】（2023·江苏镇江·统考中考真题）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为．1．（2012上·江苏常州·九年级阶段练习）关于的一元二次方程有一根为0，则．2．（2023·江苏宿迁·统考二模）若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是．3．（2023·江苏·模拟预测）若是关于的一元二次方程的解，则的值为．4．（2023·江苏扬州·统考一模）若关于x的方程的一个根为3，则m的值为．【题型2：一元二次方程的解法】【典例2】（2023·江苏无锡·统考中考真题）（1）解方程：

（2）解不等式组：1．（2012上·山东临沂·九年级阶段练习）方程的解为．2．（2012·江苏无锡·统考一模）解方程：．3．（2023·江苏无锡·无锡市民办辅仁中学校考一模）（1）解方程：；（2）解不等式组：．4．（2023·江苏苏州·校考二模）解方程：．【题型3：一元二次方程根与系数关系】【典例3】（2023·江苏泰州·统考中考真题）关于x的一元二次方程的两根之和为．1．（2023·江苏盐城·校考二模）已知、是关于x的方程的两个实数根，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．2．（2023上·江苏南京·九年级统考期末）设、是方程的两个根，则．3．（2023·江苏宿迁·校考三模）设，是一元二次方程的两个根，则．4．（2023·江苏盐城·统考二模）若方程的两根为，，则的值为．【题型4：一元二次方程的应用】【典例4】（2023·江苏·统考中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？

1.（2023·江苏盐城·校联考二模）我国党的二十大报告指出从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2021年我国约为115万亿元，如果以后每年按相同的增长率增长，2023年我国约达135万亿元，将增长率记作x，可列方程为（

）A． B．C． D．2．（2023·江苏盐城·统考三模）在“双减政策”的推动下，某初级中学学生课后作业时长明显减少．2022年上学期每天作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天作业时长为．设这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率为x，则可列方程为．3．（2018上·江苏南京·九年级统考期末）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．(1)若某天该商品每件降价3元，则商场日销售量增加___________件，当天可获利___________元？(2)设每件商品降价x元，则商场日销售量增加___________件，每件商品，盈利___________元（用含x的代数式表示）；(3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？4．（2011·江苏南京·统考中考模拟）某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．(1)填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是______________吨；(2)该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？1．将方程化为一般形式后，二次项系数为1，则常数项为（

）A．2 B． C．5 D．2．用配方法解方程，配方正确的是（

）A． B． C． D．3．一元二次方程根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，则m的值可以是（

）A．0 B． C． D．5．喜迎国庆佳节，某商品原价300元，连续两次降价后售价为225元，下列所列方程中，正确的是（）A． B．C． D．6．若是关于的一元二次方程，则．7．一元二次方程有一个根为，则．8．已知是关于的一元二次方程的两个根，且，则该一元二次方程是．9．若是一元二次方程的一个根，则．10．《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为，宽为的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为，如果要使整个挂图的面积是，那么x满足的方程是.

11．运用适当的方法解方程：(1)(2)12．解下列一元二次方程：(1)；(2)；(3)．13．嘉淇同学解方程的过程如下表表示．解方程：．解：，……第一步，……第二步，．……第三步(1)嘉淇同学是用（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）求解的，从第步开始出现错误．(2)请你用不同于（1）中的方法解该方程．14．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，长和宽共60步，问长比宽多多少步？请你解答上面的问题．15．某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件．(1)求平均每次降价盈利减少的百分率；(2)为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？1．已知函数的图象上有两点和，则的值等于（）A．22 B．20 C．17 D．02．若是一元二次方程的两个实数根，且满足不等式，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图1，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．若关于的一元二次方程，按照图1，构造图2，在中，，连接，若，则的值为（）A．3 B．4 C．6 D．84．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程的参数同时满足和．且该方程与互为“同伴方程”，则的值为（

）A．1或 B． C．1 D．25．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（）A．只有①② B．只有①③④ C．只有②③ D．只有①②④6．对于一切不小于的自然数，关于的一元二次方程的两个根为，（），则．7．已知：抛物线与直线有两个不同的交点，若两个交点的横坐标是分别为、，若，则的取值范围是．8．已知关于x的一元二次方程的根是，，的根是，，（其中，，），如果，则.9．图，点在反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、y轴，点D在位于右侧的反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、，若四边形为正方形，则这个正方形的面积等于．10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别落在y轴、x轴的正半轴上，，．若反比例函数经过C，D两点，则k的值为．11．已知关于的一元二次方程．(1)求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根．(2)若该方程的两个根为和，且满足，求的值．12．今年4月，多国禽流感大暴发，大量蛋鸡被扑杀，导致世界级的“鸡蛋荒”，若某国有一只蛋鸡患有禽流感，经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病．(1)每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了几只健康的蛋鸡？(2)如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会不会超过500只？13．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降了x元．每天的销售量/件每件衬衫的利润/元降价前降价后(1)完成下列表格（用含x的式子填空）．(2)当衬衫的单价降多少元时，商场销售这批衬衫每天可盈利元，且对消费者更有利？(3)能否通过降价使商场销售这批衬衫每天盈利元？14．已知：如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当、两点中有一点到达终点，则同时停止运动．(1)如果、分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于？(2)如果、分别从，同时出发，那么几秒后，与相似？15．阅读理解：一位同学将代数式变形为，得到后分析发现，那么当时，此代数式有最小值是4．请同学们思考以下问题：(1)已知代数式，此代数式有最值（填“大”或“小”），且值为．(2)已知代数式，此代数式有最值（填“大”或“小”），且值为．(3)通过阅读材料分析代数式的最值情况，写出详细过程及结论．1．（2023·江苏无锡·统考中考真题）2020年一2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（

）A． B．C． D．2．（2022·江苏淮安·统考中考真题）若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（

）A． B． C．0 D．13．（2022·江苏南通·统考中考真题）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（

）A．10.5% B．10% C．20% D．21%4．（2021·江苏无锡·统考中考真题）在中，，，，点P是所在平面内一点，则取得最小值时，下列结论正确的是（

）A．点P是三边垂直平分线的交点 B．点P是三条内角平分线的交点C．点P是三条高的交点 D．点P是三条中线的交点5．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（

）

A． B． C． D．16．（2022·江苏徐州·统考中考真题）若一元二次方程x2＋x－c＝0没有实数根，则c的取值范围是．7．（2023·江苏无锡·统考中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是尺．8．（2023·江苏扬州·统考中考真题）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为．

9．（2023·江苏连云港·统考中考真题）若（为实数），则的最小值为．10．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，．过点作，延长到，使，连接．若，则