专题1.1绝对值贯穿有理数经典题型（七大题型）

专题1.1绝对值贯穿有理数经典题型（七大题型）重难点题型归纳【题型1利用绝对值的性质化简或求值】【题型2根据绝对值的非负性求值】【题型3根据绝对值的定义判断正误】【题型4根据绝对值的意义求取值范围】【题型5绝对值中分类讨论问题】【题型6绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】【题型7绝对值中最值问题】满分必练【题型1利用绝对值的性质化简或求值】【典例1】有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示．（1）在数轴上表示﹣c，|b|．（2）试把﹣c，b，0，a，|b|这五个数从小到大用“＜”连接起来；（3）化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣2|b+c|．【答案】（1）答案见解析；（2）a＜﹣c＜b＜0＜|b|＜c；（3）﹣3b﹣3c．【解答】解：（1）在数轴上表示﹣c，|b|．如图：；（2）根据题意可得，a＜﹣c＜b＜0＜|b|＜c；（3）因为a+b＜0，a﹣c＜0，b+c＞0，原式＝﹣a﹣b+a﹣c﹣2（b+c）＝﹣a﹣b+a﹣c﹣2b﹣2c＝﹣3b﹣3c．【变式11】有理数a、b、c在数轴上的位置如图．（1）用“＞”或“＜”填空：c﹣b＞0，a+b＜0，c﹣a＞0；（2）化简：|c﹣b|+3|a+b|﹣|c﹣a|．【答案】（1）＞；＜；＞；（2）﹣2a﹣4b．【解答】解：（1）根据题意可得，c﹣b＞0；a+b＜0；c﹣a＞0；故答案为：＞；＜；＞；（2）∵c﹣b＞0，a+b＜0，c﹣a＞0，∴|c﹣b|+3|a+b|﹣|c﹣a|＝c﹣b+3[﹣（a+b）]﹣（c﹣a）＝c﹣b﹣3a﹣3b﹣c+a＝﹣2a﹣4b．【变式12】a、b、c三个数在数轴上位置如图所示，且|a|＝|b|（1）求出a、b、c各数的绝对值；（2）比较a，﹣a、﹣c的大小；（3）化简|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵从数轴可知：c＜b＜0＜a，∴|a|＝a，|b|＝﹣b，|c|＝﹣c；（2）∵从数轴可知：c＜b＜0＜a，|c|＞|a|，∴﹣a＜a＜﹣c；（3）根据题意得：a+b＝0，a﹣b＞0，a+c＜0，b﹣c＞0，则|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|＝0+a﹣b﹣a﹣c+b﹣c＝﹣2c．【题型2根据绝对值的非负性求值】【典例2】已知|a−|+|b+|+|c+|＝0，求a﹣|b|+（﹣c）的值．【答案】．【解答】解：∵|a−|+|b+|+|c+|＝0，|a﹣|≥0，|b+|≥0，|c+|≥0，∴a﹣＝0，b+＝0，c+＝0，∴a＝，b＝﹣，c＝﹣，∴a﹣|b|+（﹣c）＝﹣|﹣|+[﹣（﹣）]＝＝．【变式21】已知|x﹣3|+|y+2|＝0，求x，y，3x﹣y的值．【答案】x＝3，y＝﹣2，3x﹣y＝11．【解答】解：∵|x﹣3|+|y+2|＝0，|x﹣3|≥0，|y+2|≥0，∴x﹣3＝0，y+2＝0，解得x＝3，y＝﹣2，∴3x﹣y＝9﹣（﹣2）＝11，答：x＝3，y＝﹣2，3x﹣y＝11．【变式22】已知|a﹣3|与|2b﹣4|互为相反数．（1）求a与b的值；（2）若|x|＝2a+4b，求x的相反数．【答案】（1）a＝3，b＝2；（2）﹣14或14．【解答】解：（1）∵|a﹣3|与|2b﹣4|互为相反数，∴|a﹣3|+|2b﹣4|＝0，∴a﹣3＝0，2b﹣4＝0，解得a＝3，b＝2；（2）∵a＝3，b＝2，∴|x|＝2a+4b＝2×3+4×2＝6+8＝14，∴x＝±14，∴x的相反数为﹣14或14．【变式23】请根据图示的对话解答下列问题．（1）a＝﹣2，b＝﹣3．（2）已知|m﹣a|+|b+n|＝0，求mn的值．【答案】（1）﹣2，﹣3；（2）﹣6．【解答】解：（1）∵a与2互为相反数，而2的相反数是﹣2，∴a＝﹣2，∵﹣×（﹣3）＝1，∴﹣的倒数是﹣3，即b＝﹣3，故答案为：﹣2，﹣3；（2）∵|m﹣a|+|b+n|＝0，而|m﹣a|≥0，|b+n|≥0，∴|m﹣a|＝0，|b+n|＝0，∴m﹣a＝0，b+n＝0，又∵a＝﹣2，b＝﹣3，∴m＝﹣2，n＝3，∴mn＝﹣2×3＝﹣6，答：mn的值为﹣6．【变式24】若a、b都是有理数，且|ab﹣2|+|a﹣1|＝0，求+++……+的值．【答案】．【解答】解：由题意可得：ab﹣2＝0，a﹣1＝0，∴a＝1  b＝2，原式＝＝1﹣+﹣+−…+＝1﹣＝．【题型3根据绝对值的定义判断正误】、【典例3】在实数a，b，c中，若a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，则下列结论：①|a|＞|b|，②a＞0，③b＜0，④c＜0，正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解答】解：∵a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，∴2c＜a+b＝0，∴c＜0．∵c﹣a＞0，∴c＞a，∴a＜0，∵a+b＝0，∴b＝﹣a＞0，∴a，b互为相反数，∴|a|＝|b|，综上，正确的结论有：④，∴正确的个数有一个．故选：A．【变式31】将符号语言“|a|＝a（a≥0）”转化为文字表达，正确的是（）A．一个数的绝对值等于它本身 B．负数的绝对值等于它的相反数 C．非负数的绝对值等于它本身 D．0的绝对值等于0【答案】C【解答】解：∵一个非负数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，∴选项A不符合题意；∵a≥0，表述的是非负数的绝对值，不是负数的绝对值，∴选项B不符合题意；∵非负数的绝对值等于它本身，∴选项C符合题意；∵a≥0，表述的是非负数的绝对值，不只是0的绝对值，∴选项D不符合题意．故选：C．【变式32】已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|﹣|a+b|的结果是（）A．2a+b+c B．b﹣c C．c﹣b D．2a﹣b﹣c【答案】A【解答】解：由题意得：b＜a＜0＜c，且|c|＞|a|．∴a+c＞0，a+b＜0．∴原式＝a+c﹣（﹣a﹣b）＝a+c+a+b＝2a+b+c．故选：A．【变式33】下列说法中正确的是（）A．两个负数中，绝对值大的数就大 B．两个数中，绝对值较小的数就小 C．0没有绝对值 D．绝对值相等的两个数不一定相等【答案】D【解答】解：∵两个负数比较，绝对值越大，对应的数越小，∴A选项不合题意，B选项不合题意，∵0的绝对值为0，∴C选项不合题意，∵绝对值相等的两个数可能相等，也可能互为相反数，∴D选项正确，故选：D【题型4根据绝对值的意义求取值范围】【典例4】若|5﹣x|＝x﹣5，则x的取值范围为（）A．x＞5 B．x≥5 C．x＜5 D．x≤5【答案】B【解答】解：∵|5﹣x|＝x﹣5，∴5﹣x≤0，即x≥5，故选：B．【变式41】如果|﹣2a|＝﹣2a，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a≥0 C．a≤0 D．a＜0【答案】C【解答】解：∵|﹣2a|＝﹣2a，∴﹣2a≥0，a≤0．故选：C．【变式42】计算|x﹣2|+x﹣2＝0，则x的取值范围是x≤2．【答案】x≤2．【解答】解：∵|x﹣2|+x﹣2＝0，∴|x﹣2|＝2﹣x，∴x﹣2≤0，∴x≤2．故答案为：x≤2．【变式43】若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥a对一切数x都成立，则a的取值范围是a≤7．【答案】见试题解答内容【解答】解：数形结合．绝对值的几何意义：|x﹣y|表示数轴上两点x，y之间的距离．画数轴易知，|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|表示x到﹣3，﹣1，1，2这四个点的距离之和．令y＝|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|，x＝﹣3时，y＝11，x＝﹣1时，y＝7，x＝1时，y＝7，x＝2时，y＝9，可以观察知：当﹣1≤x≤1时，由于四点分列在x两边，恒有y＝7，当﹣3≤x＜﹣1时，7＜y≤11，当x＜﹣3时，y＞11，当1≤x＜2时，7≤y＜9，当x≥2时，y≥9，综合以上：y≥7所以：a≤7即|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥7对一切实数x恒成立．从而a的取值范围为a≤7【题型5绝对值中分类讨论问题】【典例5】计算：（abc≠0）＝±1或±3．【答案】±1或±3．【解答】解：①a、b、c三个为正，原式＝1+1+1＝3；②a、b、c三个为负，原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；③a、b、c两个为正，一个为负时，原式＝1+1﹣1＝1；④a、b、c一个为为正，两个为负时，原式＝1﹣1﹣1＝﹣1；综上所述，原式＝±1或±3．故答案为：±1或±3．【变式51】若n＝，abc＞0，则n的值为3或﹣1．【答案】3或﹣1．【解答】解：因为abc＞0，①当a＞0，b＞0，c＞0时，abc＞0，n＝＝++＝1+1+1＝3；②a＞0，b＜0，c＜0时，abc＞0，n＝＝++＝1﹣1﹣1＝﹣1；所以n的值为3或﹣1．故答案为：3或﹣1．【变式52】若有理数a，b满足ab≠0，则的值为0或2或﹣2．【答案】0或2或﹣2．【解答】解：当a＞0，b＞0时，m＝1+1＝2；当a＞0，b＜0时，m＝1﹣1＝0；当a＜0，b＞0时，m＝﹣1+1＝0；当a＜0，b＜0时，m＝﹣1﹣1＝﹣2，则m的值为0或2或﹣2．故答案为：0或2或﹣2．【变式53】若abcd≠0，则＝5或1或﹣3．【答案】5或1或﹣3．【解答】解：当a、b、c、d中没有负数时，都是正数，则原式＝1+1+1+1+1＝5；当a、b、c、d中只有一个负数时，不妨设a是负数，则原式＝﹣1+1+1+1﹣1＝1；当a、b、c、d中有2个负数时，不妨设a，b是负数，则原式＝﹣1﹣1+1+1+1＝1；当a、b、c、d中有3个负数时，不妨a，b，c是负数，则原式＝﹣1﹣1﹣1+1﹣1＝﹣3；当a、b、c、d都是负数时，则原式＝﹣1﹣1﹣1﹣1+1＝﹣3，综上所述：代数式的值是5或1或﹣3．故答案为：5或1或﹣3．【变式54】单项式a是一个正数，且，那么的值为0．【答案】0．【解答】解：∵a是一个正数，∴＝1，又∵，即+＝﹣2，∴b＜0，c＜0，∴ab＜0，bc＞0，ac＜0，abc＞0，∴＝﹣1+1﹣1+1＝0．故答案为：0．【变式55】（1）已知a是非零有理数，试求的值；（2）已知a，b是非零有理数，试求+的值；（3）已知a，b，c是非零有理数，请直接写出++的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当a为正数时，＝1；当a为负数时，＝﹣1；（2）当a，b同为正数时，+＝2；当a，b同为负数时，+＝﹣2；当a，b异号时，+＝0；（3）±1，±3．【变式56】已知a，b，c都不等于零，且++﹣的最大值是m，最小值为n，求的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：当a，b，c三个都大于0，可得++﹣＝2当a，b，c，都小于0，可得++﹣＝﹣2当a，b，c一正二负，可得++﹣＝﹣2当a，b，c二正一负可得++﹣＝2∴m＝2，n＝﹣2∴原式＝﹣1【变式57】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”【提出问题】三个有理数a、b、c满足abc＞0，求++的值．【解决问题】解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则：++＝++＝1+1+1＝3；②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，则：++＝++＝1﹣1﹣1＝﹣1所以：++的值为3或﹣1．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求++的值；（2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵abc＜0，∴a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，①当a，b，c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，则：++＝++＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，则++＝1+1﹣1＝1．（2）∵|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，∴a＝﹣3，b＝1或﹣1，则a+b＝﹣2或﹣4．【变式58】阅读下列材料完成相关问题：已知a，b、c是有理数（1）当ab＞0，a+b＜0时，求的值；（2）当abc≠0时，求的值；（3）当a+b+c＝0，abc＜0，的值．【答案】（1）＝﹣1﹣1＝﹣2；（2）当a、b、c同正时，＝1+1+1＝3；当a、b、c两正一负时，＝1+1﹣1＝1；当a、b、c一正两负时，＝﹣1﹣1+1＝﹣1；当a、b、c同负时，＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；（3）﹣3或1或1，详见解答．【解答】解：（1）∵ab＞0，a+b＜0，∴a＜0，b＜0∴＝﹣1﹣1＝﹣2；（2）当a、b、c同正时，＝1+1+1＝3；当a、b、c两正一负时，＝1+1﹣1＝1；当a、b、c一正两负时，＝﹣1﹣1+1＝﹣1；当a、b、c同负时，＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；（3）∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c∴＝+﹣＝﹣﹣+又∵abc＜0，∴当c＜0，a＞0，b＞0时，原式＝﹣﹣+＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；当c＞0，a＞0，b＜0时，原式＝﹣﹣+＝﹣1+1+1＝1；当c＞0，a＜0，b＞0时，原式＝﹣﹣+＝1﹣1+1＝1．【题型6绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】【典例6】（2022•河北模拟）（1）数轴上两点表示的有理数是a、b，求这两点之间的距离；（2）是否存在有理数x，使|x+1|+|x﹣3|＝x？（3）是否存在整数x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14？如果存在，求出所有的整数x；如果不存在，说明理由．【分析】（1）数轴上两点之间的距离等于右边的数减去左边的数或|a﹣b|；（2）利用绝对值的几何意义进行化简；（3）利用绝对值的几何意义进行化简，求得|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|的最大值和最小值，再进行判断．【解答】解：（1）|a﹣b|；（2）x的取值可能是x＜﹣1，﹣1≤x≤3，x＞3，化简得﹣2x+2，4，2x﹣2，则不存在|x+1|+|x﹣3|＝x的情况；（3）x的取值可能是x＜﹣4，﹣4≤x＜﹣3，﹣3≤x≤3，3＜x≤4，x＞4，化简得﹣4x，﹣2x+8，14，2x+8，4x，故存在整数x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14，即﹣3≤x≤3，x＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．【变式61】（2022春•宝山区校级月考）已知|a﹣1|+|a﹣4|＝3，则a的取值范围为1≤a≤4．【分析】分情况讨论：①a﹣4≥0；②a﹣1≥0，且a﹣4≤0．【解答】解：①a﹣4≥0，解得a≥4，化简原式＝2a﹣5，不合题意，舍去．②a﹣1≥0，且a﹣4≤0，解得1≤a≤4，化简原式＝3，符合题意．所以1≤a≤4．【变式62】（2022秋•玉门市期末）在数轴上有四个互不相等的有理数a、b、c、d，若|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a，设d在a、c之间，则|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝（）A．d﹣b B．c﹣b C．d﹣c D．d﹣a【分析】由|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a⇒a＜b＜c，又d在a、c之间，故有a＜d＜b＜c或a＜b＜d＜c两种情况，且|a﹣d|+|d﹣c|﹣|a﹣c|＝0．分别讨论可得|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝|c﹣b|＝c﹣b．【解答】解：由|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a可得a＜b＜c，又因为d在a、c之间，故有a＜d＜b＜c或a＜b＜d＜c两种情况，且|a﹣d|+|d﹣c|﹣|a﹣c|＝0．当a＜d＜b＜c时，|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝d﹣a+c﹣d+c﹣b+a﹣c＝c﹣b，当a＜b＜d＜c时，|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝d﹣a+c﹣d+c﹣b+a﹣c＝c﹣b，故选：B．【题型7绝对值中最值问题】【典例7】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是1；表示﹣2和1两点之间的距离是3；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝2，那么x＝1或﹣3；（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是12，最小距离是2．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝8．（5）当a＝1时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是9．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是：3﹣2＝1；表示﹣2和1两点之间的距离是：1﹣（﹣2）＝3；（2）|x+1|＝2，x+1＝2或x+1＝﹣2，x＝1或x＝﹣3．（3）∵|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，∴a＝7或﹣1，b＝1或b＝﹣5，当a＝7，b＝﹣5时，则A、B两点间的最大距离是12，当a＝1，b＝﹣1时，则A、B两点间的最小距离是2，则A、B两点间的最大距离是12，最小距离是2；（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，|a+3|+|a﹣5|＝（a+3）+（5﹣a）＝8．（5）当a≥4时，原式＝a+5+a﹣1+a﹣4＝3a，这时的最小值为3×4＝12当1≤a＜4时，原式＝a+5+a﹣1﹣a+4＝a+8，这时的最小值为1+8＝9当﹣5≤a＜1时，原式＝a+5﹣a+1﹣a+4＝﹣a+10，这时的最小值接近为1+8＝9当a≤﹣5时，原式＝﹣a﹣5﹣a+1﹣a+4＝﹣3a，这时的最小值为﹣3×（﹣5）＝15综上可得当a＝1时，式子的最小值为9故答案为：（1）1；3；（2）1或﹣3；（3）12；2；（4）8；（5）1；9．【变式71】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是3；表示﹣3和2两点之间的距离是5；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝﹣4或2．（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为6；（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是12．（4）当a＝1时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是7．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）|1﹣4|＝3，|﹣3﹣2|＝5，|a﹣（﹣1）|＝3，所以，a+1＝3或a+1＝﹣3，解得a＝﹣4或a＝2；（2）∵表示数a的点位于﹣4与2之间，∴a+4＞0，a﹣2＜0，∴|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+[﹣（a﹣2）]＝a+4﹣a+2＝6；（3）使得|x+2|+|x﹣5|＝7的整数点有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝12．故这些点表示的数的和是12；（4）a＝1有最小值，最小值＝|1+3|+|1﹣1|+|1﹣4|＝4+0+3＝7．故答案为：3，5，﹣4或2；6；12；1；7．【变式72】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是3；表示﹣3和2两点之间的距离是5；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝2或﹣4；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是8，最