押广东卷第15题最值四边形规律

押广东卷第15题最值四边形规律广东中考数学对15题的知识的考查要求高，一般均是以函数综合与几何综合求最值、规律题的形式进行考查，一般难度较大。如：2019年考查代数式规律题；2020年与2021年考几何最值及隐形圆的最值模型。预计2023年广东数学还是会以隐圆为基础的最值压轴问题。必备知识若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．如图，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点在以点O为圆心、OA为半径的圆上．模型2：对角互补共圆模型2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°）则A，B，C，D四点在同一个圆上．拓展：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD中，∠CDE为外角，若∠B＝∠CDE，则A，B，C，D四点在同一个圆上．模型3：定弦定角共圆模型若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆如图，点A，D在线段BC的同侧，若∠A＝∠D，则A，B，C，D四点在同一个圆上．解题技巧纵观近几年的中考考试题，主要考查以下两个方面：一是动点函数图形与几何结合求多解问题，二是几何函数结合求点的坐标，解析式等，三是图形动点求最值情况。1．（2021·广东·统考中考真题）在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____．【答案】【分析】由已知，，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点在以为圆心为半径的圆上，线段长度的最小值为．【详解】如图：以为半径作圆，过圆心作，以为圆心为半径作圆，则点在圆上，,线段长度的最小值为:．故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．2．（2020·广东·统考中考真题）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为_________．【答案】【分析】根据当、、三点共线，距离最小，求出BE和BD即可得出答案．【详解】如图当、、三点共线，距离最小，∵，为的中点，∴，，，故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，两点间的距离线段最短，判断出距离最短的情况是解题关键．3．（2019·广东广州·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM=45°，点F在射线AM上，且，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：①∠ECF=45°；②的周长为；③；④的面积的最大值.其中正确的结论是____.（填写所有正确结论的序号）【答案】①④【分析】①正确．如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS），即可解决问题；②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS），即可解决问题；④正确．设BE=x，则AE=ax，AF=，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．【详解】解：如图1，在BC上截取BH=BE，连接EH．∵BE=BH，∠EBH=90°，∴EH=BE，∵AF=BE，∴AF=EH，∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，∴∠FAE=∠EHC=135°，∵BA=BC，BE=BH，∴AE=HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），∴EF=EC，∠AEF=∠ECH，∵∠ECH+∠CEB=90°，∴∠AEF+∠CEB=90°，∴∠FEC=90°，∴∠ECF=∠EFC=45°，故①正确，如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），∴∠ECB=∠DCH，∴∠ECH=∠BCD=90°，∴∠ECG=∠GCH=45°，∵CG=CG，CE=CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG=GH，∵GH=DG+DH，DH=BE，∴EG=BE+DG，故③错误，∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AG+GH+AE=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a，故②错误，设BE=x，则AE=ax，AF=，∴∴，∴当时，的面积有最大值，最大值是，④正确；故答案为①④.【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.4．（2023·广东珠海·校考一模）在中，，点分别在边上，且，将绕点旋转至，点分别对应点，当三点共线时，则的长为___________．【答案】或/或【分析】根据题意分两种情况讨论，当点在线段上，证明四边形是矩形，得出,当点在线段的延长线上，证明根据全等三角形的性质进行分析即可求解．【详解】解：如图1，当点在线段上，∵，∴，∵将绕点旋转至，∴，∴，∴，且，∴四边形是平行四边形，且，∴四边形是矩形，∴，如图2，当点在线段的延长线上，∵，∴点四点共圆，∴，∵，∴∴，∴，∴，综上所述：或，故答案为：或12．【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，直角所对的弦是直径，勾股定理等知识，利用分类讨论解决问题是解答本题的关键．5．（2023·广东东莞·虎门五中校联考一模）如图，是直径，点C在上，垂足为D，点E是上动点（不与C重合），点F为的中点，若，，则的最大值为_____．【答案】7.5【分析】延长交于点G，连接、，根据垂径定理得到，推出，得到当取最大值时，也取得最大值，然后在中利用勾股定理即可求解．【详解】解：延长交于点G，连接、，∵，即，且是的直径，∴，∵点F为的中点，∴，∴当取最大值时，也取得最大值，设的半径为r，则，在中，，∴，解得：，∴的最大值为15，∴的最大值为7.5，故答案为：7.5．【点睛】本题考查了垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．6．（2023·广东江门·统考一模）在《九章算术》“割圆术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种由有限到无限的转化思想．比如在求的和中，“…”代表按此规律无限个数相加不断求和．我们可设．则有，即，解得，故．类似地，请你计算：_________．（直接填计算结果即可）【答案】【分析】设，仿照例题进行求解．【详解】设，则，，解得，，故答案为：．【点睛】本题考查类比推理，一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键．7．（2023春·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习）如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值___________．【答案】【分析】由题意可知，，可得，可知点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧），设圆心为，连接，，，，，过点作，可知为等腰直角三角形，求得，，，，再由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号，即可求得的最小值．【详解】解：∵B、G关于对称，∴，且∵E为中点，则为的中位线，∴，∴，∵，即，∴点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧）设圆心为，连接，，，，，过点作，则，∵，∴，则为等腰直角三角形，∴，又∵为中点，∴，，又∵四边形是矩形，∴，，∴四边形是正方形，∴，，∴，由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据得知点在以为弦，圆周角的圆上是解决问题的关键．8．（2022·湖南湘潭·校考模拟预测）如图，菱形草地中，沿对角线修建60米和80米两条道路，M、N分别是草地边、的中点，在线段BD上有一个流动饮水点，若要使的距离最短，则最短距离是_____米．【答案】50【分析】作关于的对称点，连接，交于，连接，当点与重合时，的值最小，根据菱形的性质和勾股定理求出长，即可得出答案．【详解】解：作关于的对称点，连接，交于，连接，当点与重合时，的值最小，四边形是菱形，，，即在上，，，为中点，为中点，为中点，四边形是菱形，，，四边形是平行四边形，，设与的交点为点，四边形是菱形，，米，米，米，的最小值是50米．故答案为：50．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出的位置．9．（2023秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末）如图，抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，则周长的最小值是______．【答案】【分析】根据“将军饮马”模型，先求出，由二次函数对称性，关于对称轴对称，从而，，则周长的最小值就是的最小值，根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，从而得到，即可得到答案．【详解】解：抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，当时，解得或，即；当时，，即，由二次函数对称性，关于对称轴对称，即，，，周长的最小值就是的最小值，根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，，周长的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键．10．（2023·湖北恩施·统考一模）一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动[即]，且每秒移动一个单位，那么第2023秒时质点所在位置的坐标是_____．【答案】【分析】应先判断出走到坐标轴上的点所用的时间以及相对应的坐标，可发现走完一个正方形所用的时间分别为3，5，7，9…，此时点在坐标轴上，进而得到规律．【详解】解：由题意可知，这点移动的速度是1个单位长度/每秒，设这点为，到达时用了3秒，到达时用了4秒，从到有4个单位长度，则到达时用了秒，到时用了9秒；从到有6个单位长度，则到达时用秒，到时用16秒；从到有8个单位长度，则到达时用秒，到时用了25秒；从到有10个单位长度，则到达时用秒，到时用了36秒；…，可得在轴上，横坐标为偶数时，所用时间为秒，在轴上时，纵坐标为奇数时，所用时间为秒，，，，，，第2023秒时这个点所在位置的坐标为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了点的坐标的变化规律，得出运动变化的规律是解决问题的关键．11．（2023·甘肃陇南·校考一模）按一定规律排列的式子：，……第n个式子是___________．【答案】【分析】根据所给式子找出各部分的规律解答即可．【详解】解：，…，分子可表示为：．，…，分母可表示为：，则第n个式子为：．故答案是：．【点睛】本题考查了规律型：数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．此题注意分别观察各部分的符号规律．12．（2023秋·河南许昌·九年级校考期末）平面直角坐标系中，若干个半径为1，圆心角为的扇形组成的图形如图所示，点P从原点O出发，向右沿箭头所指方向做上下起伏运动，点P在直线上运动的速度为每秒1个单位长度，在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，则2021秒时，点P的坐标是__________．【答案】，【分析】根据勾股定理和弧长公式求出的坐标，设第秒运动到为自然数）点，根据点的运动规律找出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，，，”，依此规律即可得出结论．【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为B，由题意可得：，，∴，，一段弧线长为，∴，，设第秒运动到为自然数）点，观察，发现规律：，，，，，，，，，，，，，，．，为，，故答案为：，．【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出变化规律，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据运动的规律找出点的坐标，根据坐标的变化找出坐标变化的规律是关键．13．（2023·江苏扬州·九年级专题练习）如图，在正方形中，顶点，，点是的中点，与轴交于点，与交于点，将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为______．【答案】【分析】根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据余角的性质得到，过作于，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，求得，找出规律即可得到结论．【详解】解：四边形是正方形，，，点是的中点，与轴交于点，，（SAS），，，，，，，，过作于，，，，，，，，，将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，第一次旋转后对应的点的坐标为，第二次旋转后对应的点的坐标为，第三次旋转后对应的点的坐标为，第四次旋转后对应的点的坐标为，，，每4次一个循环，第2023次旋转结束时，相当于正方形绕点顺时针旋转3次，第2023次旋转结束时，点的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形变换—旋转，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．14．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级校考期末）如图，把边长为2的等边绕原点O按逆时针方向依次旋转得到按此规律下去，那么点的坐标是_____．【答案】【分析】先根据图形旋转的规律可得每旋转6次坐标一循环，可求出点的坐标与点坐标相同，进而完成解答．【详解】解：由题意，得出每旋转=6次坐标一循环，得出余5，即的坐标与点坐标相同，即可得出点与点B1关于x轴对称，如图：过作于C∵等边∴∵∴由勾股定理可得：∴∵点与点B1关于x轴对称∴点坐标为：，∴点的坐标是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了坐标图形变化﹣旋转、规律型﹣点的坐标等知识，学会探究规律的方法是，解题的关键．15．（2023春·山东青岛·九年级专题练习）如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．【答案】【分析】分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接，当点M、N在上时，的周长最小．【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接．∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，∴；∵点P关于的对称点为D，∴，∴，，∴是等边三角形，∴．∴的周长的最小值．故答案为：．【点睛】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定．作点P关于OA、OB的对称点C、D是解题的关键所在．16．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是___________．【答案】【分析】取点，连接，．根据，有，即可证明，即有，进而可得，则有，利用勾股定理可得，则有，问题得解．【详解】解：如图，取点，连接，．，，，，，，，，，，，，，，，，，（当B、P、T三点共线时取等号）的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．17．（2022·全国·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为__________________．【答案】【分析】根据题意可知：点C在半径为的⊙B上．在x轴上取OD=OA=6，连接CD，易证明OM是△ACD的中位线，即得出OM=CD，即当OM最大时，CD最大，由D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，根据勾股定理求出BD的长，从而可求出CD的长，最后即可求出OM的最大值．【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，，∴C在⊙B上，且半径为，在x轴上取OD=OA=6，连接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=CD，∴即当OM最大时，CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB=OD=6，∠BOD=90°，∴BD=，∴CD=，且C(2,8),∴OM=CD，即OM的最大值为，∵M是AC的中点，则M（4,4），故答案为：（4,4）．【点睛】本题考查坐标和图形，三角形的中位线定理，勾股定理等知识．确定OM为最大值时点C的位置是解题关键，也是难点．18．（2022·湖北黄石·统考中考真题）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则______________，的最小值为______________．【答案】/30度【分析】①与为等边三角形，得到，，，从而证，最后得到答案．②过点D作定直线CF的对称点G，连CG，证出为等边三角形，为的中垂线，得到，，再证为直角三角形，利用勾股定理求出，即可得到答案．【详解】解：①∵为等边三角形，∴，，∴，∵是等边三角形，∵，，∴，，∴，在和中∴，得；故答案为：．②（将军饮马问题）过点D作定直线CF的对称点G，连CG，∴为等边三角形，为的中垂线，，∴，连接，∴，又，∴为直角三角形，∵，，∴，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，将军饮马，线段垂直平分线的判定及性质，勾股定理等内容，熟练运用将军饮马是解题的关键，具有较强的综合性．19．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为_____．【答案】4【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2＝＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果．【详解】解：如图，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴PA+2PB＝2＝＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB•sin45°＝4，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线．20．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=________．【答案】【分析】如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，此时，如图2，连接MC，证明AM垂直平分BC，证明AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x2，构建方程求出x可得结论．【详解】解：如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°，∴△BQN是等边三角形，∴BQ=QN，∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN，∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，此时，如图2，连接MC∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM，∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形，∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM，∵BM=CM，AB=AC，∴AM垂直平分BC，∵AD⊥BC，∠BQD=60°，∴BD=QD，∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，∴AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x2，∴x=，∴x=3+，∴PD=3+．故答案为：．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确运用等边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题．21．（2022·湖北武汉·校联考一模）如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______．【答案】【分析】过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，可将转化为，此时就等于，当共线时，即为所要求的最小值．【详解】解：如图所示，过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，，，，，，，，，当，，三点共线，即在图中在位置，在位置的时候有最小，当，，三点共线时，有最小值，此时，的最小值为，故答案为．【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归问题，解题的关键是在于将进行转换．22．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为_____．【答案】5【分析】因为DG＝EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证△GDI∽△CDG，从而得出GI＝CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值【详解】解：如图，在Rt△DEF中，G是EF的中点，∴DG＝，∴点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，在CD上截取DI＝1，连接GI，∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI，∴当B、G、I共线时，BG+CG最小＝BI，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点的运动轨迹是解题的关键．23．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一动点，且，点为线段的中点，连接，当取最大值时，点的纵坐标为____．【答案】【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在AB的延长线上时，AC最大，根据中点坐标公式可得结论．【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=2，∴C在⊙B上，且半径为2，∴当C在AB的延长线上时，AC最大，过点C作CD⊥x轴，∵点，的坐标分别为，，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∴．∵CD⊥x轴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，即，解得：，∴C点的纵坐标为，∵点为线段的中点，∴点的纵坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，动点线段最值问题，勾股定理等知识，确定AC为最大值时点C的位置是解题的关键．24．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．【答案】【分析】如图，连接，在上取一点，使得，进而证明,则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PDPM的最大值．连接PD，在△PDM中，PDPM＜DM，故当D、M、P共线时，PDPM=DM为最大值，勾股定理即可求得．【详解】如图，连接，在上取一点，使得，，在△PDM中，PDPM＜DM，当D、M、P共线时，PDPM=DM为最大值，四边形是正方形在中，故答案为：．【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键．25．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D为圆心，4为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，则点F与点C的最小距离为________．【答案】4【分析】如图，取AB的中点G，连接FG，FC，GC，由△FAG∽△EAD，推出FG：DE＝AF：AE＝1：3，因为DE＝4，可得FG＝，推出点F的运动轨迹是以G为圆心为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题．【详解】解：如图，取AB的中点G，连接FG．FC．GC．∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，∴＝，∵AB＝8，AG＝GB，∴AG＝GB＝4，∵AD＝12，∴，∴，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，∴∠FAG＝∠EAD，∴△FAG∽△EAD，∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，∵DE＝4，∴FG＝，∴点F的运动轨迹是以G为圆心为半径的圆，∵GC＝，∴FC≥GC−FG，∴FC≥4，∴CF的最小值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．26．（2023·广东东莞·东莞中学南城学校校联考一模）如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为______．【答案】【分析】根据，可得到点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆，连接OC交圆O于点，从而得到当点E位于点位置时，线段CE取最小值，再利用勾股定理即可求解【详解】解：∵，∴点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆，如图所示，连接OC交圆O于点，∴当点E位于点位置时，线段CE取最小值，在矩形中，∠ABC=90°，∵，∴OA=OB==1，∵，∴，∴故答案为：【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的基本性质及矩形的性质，勾股定理，根据，可得到点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆是解题的关键27．（2021·山东滨州·统考中考真题）如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为____________．【答案】【分析】根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根据勾股定理可以求得CB′的值，从而可以解答本题．【详解】解：以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，，如图所示，则∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′，∴△APP′是等边三角形，∴AP=PP′，∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，∵PP′+P′B′+PC≥CB′，∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2，∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB•cos∠BAC=2×cos30°=，∴CB′=，故答案为：．【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想．28．（2021·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，AD＝，点P为边AB上一点．以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA'交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是________【答案】【分析】如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．想办法求出RM，RT，求出MT的最小值，再根据QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得结论．【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠RAT＝90°，∵AR＝DR＝，AT＝2AB＝4，∴RT＝，∵A，A′关于DP对称，∴AA′⊥DP，∴∠AMD＝90°，∵AR＝RD，∴RM＝AD＝，∵MT≥RT−RM，∴MT≥4，∴MT的最小值为4，∵QA＋QM＝QT＋QM≥MT，∴QA＋QM≥4，∴QA＋QM的最小值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出MT的最小值，属于中考常考题型．29．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是___________．【答案】【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再