数学-2025届长郡中学高二10月联考数学试题+答案

长郡中学2023级高二上学期模块测试命题：长郡中学高二数学备课组一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)3.已知圆M:x²+y²-2aB.2y=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2,则圆M与圆N:的位置关系是B.相交C.外切D.相离4.在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∠BCA=90°,D₁,F₁分别是A₁B₁,A₁C₁的中点，BC=CA=CC,则BD₁与AF₁所成角的余弦值是5.如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1,E为CD的中点，则点D₁到平面AEC₁的距离等于数学试题(长郡版)第1页(共6页)6.当点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ为任意实数)AA7.若圆x²+y²—4x—4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为2√2,则直线lA.19.下面三条直线l₁:4x+y-4=0,l₂:mx+y=0,l₃:2x—A.圆O与直线mx+y—m—1=0必有两个交点B.圆O上存在4个点到直线l:x—y+√2=0的距离都等于1最小值为811.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2,M为CC₁的中点，点P为侧面BCC₁B₁上的动点，且满足AM//平面A₁BP,则下列结论正确的是A.AM_B₁MB.CD₁//平面A₁BPC.AM与A₁B₁所成角的余弦值D.动点P的轨迹长题号23456789第Ⅱ卷三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)13.正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点，在侧棱CC₁上存在一点14.设圆满足：①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1.在满足条件①,②的所有圆中，圆心到直线l:x—2y=0的距离最小的圆的方程为 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，圆C:(x—1)²+y²=4,直线l:x+y+m=0.(1)若直线l与圆C相切于点N,求切点N的坐标；(2)若m>0,直线l上有且仅有一点A满足：过点A作圆C的两条切线AP,AQ,切点分别为P,Q,且使得四边形APCQ为正方形，求m的值.数学试题(长郡版)第3页(共6页)16.(本小题满分15分)已知平面直角坐标系中三点A(—2,—4),B(2,0),C(一1,1).(1)求直线AB的斜率和倾斜角；(2)若点A,B,C,D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标；17.(本小题满分15分)(3)求平面CPB与平面PBD夹角的大小.18.(本小题满分17分)如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是边(1)当a=√6时，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁(2)设点P为侧棱BB₁上一动点，当a=3时，求直线PC₁与平面ACC₁A₁所成角的正弦值的取值范围.数学试题(长郡版)第5页(共6页)19.(本小题满分17分)距离之比值为常数λ(λ>0,λ≠1)的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点P到A(0,—2)的距离是点P到B(0,1)的距离的2倍.(1)求点P的轨迹2的方程；(i)过点B作与直线l₁垂直的直线l₂,交轨迹Ω于E,F两点，记四边形EPFQ的面积为S,(ii)设轨迹Ω与y轴正半轴的交点为C,直线OP,CQ相交于点N,试证明点N在定直线上，求出该直线方程.数学试题(长郡版)第6页(共6页)数学参考答案题号123456789BDBACCBC数学参考答案(长郡版)—1则A(0,0,2),A₁(0,2,2),B(0,0,0),B₁(0,2,0),M(2,1,0),P(x,y,0),对于选项B:CD₁//A₁B,A₁BC平面ABP,C,所以P₁B=,::数学参考答案(长郡版)一2又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r²=a²+1,从而得2b²—a²=1.所以5d²=|a-2b|²=a²+4b²-4ab≥a²+4b²-2(a²+b²)=2由于r²=2b²知r=√2.则解数学参考答案(长郡版)一3故直线BE的斜率的取值范围为,而EGC平面EDB,且PAC平面EDB,(3)已知PB_EF,由(2)可知PB⊥D所以,点F,,,,因为AB₁=√6,所以AO+B₁O=AB²,所以B₁O⊥AO,数学参考答案(长郡版)—4(2)由(1)BCLAO,BC⊥B₁O,又B₁O∩AO=O,所以BC⊥平面AOB.,,…10分则则设直线PC与平面ACC₁A₁所成角为0,则圆心(0,2)到直线l₁的距离若k≠0,若k≠0,则直线