北师大版八年级数学下册 1.3线段的垂直平分线线段垂直平分线的综合应用教学设计

北师大版八年级数学下册1.3线段的垂直平分线线段垂直平分线的综合应用教学设计授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间课程基本信息1.课程名称：北师大版八年级数学下册1.3线段的垂直平分线

2.教学年级和班级：八年级（2）班

3.授课时间：2023年5月15日

4.教学时数：1课时

本节课主要教授线段的垂直平分线的概念、性质以及综合应用，通过实例讲解和练习，使学生掌握线段的垂直平分线在实际问题中的应用，提高学生的空间想象能力和解决问题的能力。核心素养目标1.通过探究线段垂直平分线的性质，培养学生的逻辑思维能力和推理能力。

2.通过解决与线段垂直平分线相关的实际问题，提高学生的数学建模和问题解决能力。

3.在小组讨论中，增强学生的合作交流意识，提升团队协作能力。

4.培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，提高学生的应用意识和创新意识。重点难点及解决办法重点：

1.理解线段垂直平分线的定义和性质。

2.掌握线段垂直平分线在几何证明和解决问题中的应用。

难点：

1.线段垂直平分线性质的证明过程。

2.综合运用线段垂直平分线解决复杂的几何问题。

解决办法：

1.通过直观的图示和实物模型，帮助学生形象理解线段垂直平分线的概念。

2.以循序渐进的方式，引导学生通过观察、猜想、验证，逐步掌握线段垂直平分线的性质。

3.对证明过程进行详细讲解，分解步骤，让学生逐步理解并能够独立完成证明。

4.提供不同难度的练习题，让学生在实际操作中巩固知识点，尤其是综合应用题，引导学生自主发现解题思路。

5.鼓励学生相互讨论，通过小组合作学习，共同解决难点问题，培养合作精神和批判性思维。教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的方式，讲解线段垂直平分线的定义和性质，并通过实例引导学生参与讨论，加深理解。

2.设计几何模型制作活动，让学生通过动手操作，直观感受线段垂直平分线的特性。

3.运用多媒体教学，展示动态几何图形，帮助学生形象化理解垂直平分线的概念和性质。

4.采用小组合作学习，让学生在解决实际问题的过程中，相互交流思路，共同探讨解决方案。教学流程1.导入新课（5分钟）

详细内容：通过一个简单的几何问题导入，如“如何找到线段AB的中点？”让学生回顾已知的线段中点概念，然后提出本节课的主题——线段的垂直平分线，引导学生思考它与线段中点的关系。

2.新课讲授（15分钟）

详细内容：

（1）介绍线段垂直平分线的定义，通过实际操作演示，让学生直观感受垂直平分线的特点。

（2）讲解线段垂直平分线的性质，包括它的唯一性和它上面的点到线段两端点距离相等的特点。

（3）通过几个例题，展示线段垂直平分线在几何证明中的应用，如证明两个角相等或证明两条线段相等。

3.实践活动（10分钟）

详细内容：

（1）让学生在纸上画出一条线段，并尝试作出该线段的垂直平分线，观察并记录结果。

（2）给出一个几何问题，要求学生运用线段垂直平分线的性质来解决问题，如“已知线段AB，求作一个点P，使得PA=PB且∠APB=90°”。

（3）通过几何软件，让学生观察当线段的一端固定，另一端移动时，垂直平分线的变化情况。

4.学生小组讨论（10分钟）

详细内容：

（1）讨论线段垂直平分线在实际生活中的应用，例如在建筑设计、工程测量中的使用。

（2）探讨线段垂直平分线性质在几何证明中的重要性，举例说明如何利用这些性质简化证明过程。

（3）分享在实践活动中的发现和疑问，讨论如何解决在作图和证明过程中遇到的问题。

5.总结回顾（5分钟）

详细内容：回顾本节课的主要内容，强调线段垂直平分线的定义、性质及其在几何证明中的应用。通过提问的方式检查学生对知识点的掌握情况，并鼓励学生在课后继续探索相关的问题。

整个教学流程设计旨在让学生通过直观感受、实际操作和合作讨论，深入理解和掌握线段垂直平分线的相关知识点，同时培养他们的空间想象能力、逻辑推理能力和合作学习能力。教学资源拓展1.拓展资源：

（1）相关数学概念：介绍线段的垂直平分线与线段的中点、角平分线等其他几何概念的关系，探讨它们在几何图形中的应用。

（2）历史背景：介绍线段垂直平分线在古代数学中的起源和发展，以及它在不同文化和时期的重要性。

（3）实际应用：探讨线段垂直平分线在工程、建筑、物理学等领域中的应用，例如在建筑设计中的对称性原则，在物理学中的力的平衡问题。

（4）数学问题库：收集和整理一系列与线段垂直平分线相关的数学问题和习题，包括基础题、提高题和挑战题，以供学生练习和巩固。

（5）数学软件工具：介绍一些可以帮助学生更好地理解线段垂直平分线概念的数学软件工具，如几何画板、CAD软件等。

2.拓展建议：

（1）自主学习：鼓励学生在课后通过查阅数学书籍、观看教育视频等方式，自主学习线段垂直平分线的相关知识，加深理解。

（2）实践操作：建议学生在家中尝试使用尺规作图，制作线段垂直平分线的模型，通过实际操作加深对概念的理解。

（3）小组研究：组织学生进行小组研究，探讨线段垂直平分线在解决实际问题中的应用，如设计一个对称的花园布局，或者分析一座建筑物的对称结构。

（4）跨学科学习：鼓励学生将线段垂直平分线的知识应用到其他学科中，如物理学中的力学平衡问题，艺术中的对称设计等。

（5）数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，通过解决竞赛中的几何问题，提高自己的数学解题能力和逻辑思维能力。板书设计①线段垂直平分线的定义

-定义：线段垂直平分线是指通过线段中点且垂直于该线段的直线。

-关键词：线段、中点、垂直、平分线

②线段垂直平分线的性质

-性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

-性质2：线段的垂直平分线唯一。

-性质3：线段垂直平分线上的点与线段所在平面内的其他点到线段两端点的距离之和最小。

③线段垂直平分线的应用

-应用1：在几何证明中使用线段垂直平分线的性质证明角相等或线段相等。

-应用2：解决实际问题时，利用线段垂直平分线找到对称点或构建对称图形。

-应用3：在工程和建筑设计中，利用线段垂直平分线保证结构的对称性和稳定性。课后作业1.作业题目：

（1）画出线段AB的垂直平分线，并标出线段AB的中点。

（2）证明：如果点P在线段AB的垂直平分线上，那么PA=PB。

（3）已知线段AB=6cm，点P在线段AB的垂直平分线上，且PA=4cm，求BP的长度。

（4）在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，求证：AD是∠BAC的平分线。

（5）在平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-2,1)，求线段AB的垂直平分线的方程。

2.补充说明及答案：

（1）作业题目要求学生运用尺规作图，巩固线段垂直平分线的概念。答案：线段AB的垂直平分线通过中点M，且垂直于AB。

（2）作业题目要求学生证明线段垂直平分线的性质。答案：证明过程如下：

-设点P在线段AB的垂直平分线上，M为AB的中点。

-连接PM和AM，由于PM垂直于AB，所以∠PMA=90°。

-由于M是AB的中点，所以AM=MB。

-在直角三角形PMA和直角三角形PMB中，PM是公共边，∠PMA=∠PMB=90°，AM=MB。

-根据直角三角形的性质，PMA≅PMB。

-因此，PA=PB，得证。

（3）作业题目考察学生对线段垂直平分线性质的应用。答案：由于点P在线段AB的垂直平分线上，所以PA=PB。已知PA=4cm，因此BP=4cm，所以BP的长度为4cm。

（4）作业题目要求学生运用线段垂直平分线的性质证明角平分线。答案：证明过程如下：

-由于D是BC的中点，所以BD=DC。

-连接AD，由于AD垂直于BC，所以∠ADB=∠ADC=90°。

-在直角三角形ADB和直角三角形ADC中，AD是公共边，∠ADB=∠ADC=90°，BD=DC。

-根据直角三角形的性质，ADB≅ADC。

-因此，∠BAD=∠CAD，得证AD是∠BAC的平分线。

（5）作业题目要求学生在坐标系中找到线段AB的垂直平分线的方程。答案：首先找到线段AB的中点M，M的坐标为((2+(-2))/2,(3+1)/2)，即M(0,2)。线段AB的斜率为(1-3)/(-2-2)=1/2，垂直平分线的斜率为-2（垂直线斜率的负倒数）。因此，垂直平分线的方程为y-2=-2(x-0)，即y=-2x+2。课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课我们学习了线段的垂直平分线的定义、性质及其在几何证明中的应用。通过实际操作和讨论，我们理解了线段垂直平分线的基本概念，包括它是通过线段中点且垂直于线段的直线，以及它上面的点到线段两端点的距离相等这一重要性质。我们还探讨了线段垂直平分线在几何证明中的重要作用，例如证明角相等或线段相等。通过本节课的学习，同学们应该能够独立作出线段的垂直平分线，并能够运用其性质解决实际问题。

当堂检测：

为了检验同学们对本节课内容的掌握情况，下面进行当堂检测，请同学们独立完成以下题目：

1.填空题：线段AB的垂直平分线上的点到线段两端点的距离______。

2.判断题：线段的垂直平分线是唯一的。（）

3.解答题：在平面直角坐标系中，点A(0,0)，点B(4,0)，求线段AB的垂直平分线的方程。

4.证明题：已知线段AB=6cm，点P在线段AB的垂直平分线上，且PA=5cm，求证：PB=5cm。

5.应用题：在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，求证：AD垂直平分BC。

检测答案：

1.相等

2.正确

3.线段AB的中点坐标为(2,0)，斜率为0，垂直平分线的斜率为无穷大（或垂直线的斜率的负倒数），因此方程为x=2。

4.证明过程：由于P在线段AB的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质，PA=PB。已知PA=5cm