2020-2021学年人教版高二年级上册册数学期末数学试卷（文科）带答案

2020-2021学年高二（上）期末数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.）

1.若a<b<0,那么下列不等式中正确的是（）

A.ab<b2B.ab>a24<[D.->i

ab

2.抛物线y=—4/的准线方程为（）

1-1

AA.y=-----B.y=——C.x=-1D.x=1

z16z16

3.下列求导结果正确的是（）

A.(cos=—sin：B.(3xy="3XT

C.(l0g2。=等D.(sin2x)/=cos2x

4.已知命题p:EI&€（1,+8）,使得0；命题q：VxeR,2x2—3x+5>

0.那么下列命题为真命题的是（）

A.pAqB.「p）VqC.pV「q）D.1p）A「q）

5.已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若

则()

bsinA+V3acosB=0,3=

27171713K

A.3B,3c,4D,4

‘4x+5y)8

6.若变量x,y满足约束条件I，贝ijz=2x+y的最小值为()

3114

A.5B.6c.5D.4

7.等比数列｛an｝的前几项和为Sn,若S2Tl=4(%+a34-...+a2n-i)(nGN"),a1a2a3=

-27,则的=()

A.81B.24C,-81D.-24

8.己知。>0,6>0,且3a+2b=ab,贝!Ja+b的最小值为()

+

A.4\/6B.5+2捉c.2捉D,74V6

22

5-号l（a>0,b>0）

9.已知双曲线ab的一条渐近线平行于直线

1：y=-2x+2^/7o,且该双曲线的一个焦点在直线1上，则此双曲线的方程为（）

22222222

“一匚=1--匚=1--匚=1二-匚=1

A.82B.28c,416D.164

10.若函数/（%）=ex-2a/+l有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（）

a>90<a<今

A.4B,4c,4D,4

二、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多

项是符合题目要求的，把正确答案的选项涂在答题卡上.全部选对的得5分，部分选对

的得2分，有选错的得。分.））

11.已知在数列｛a.｝中，a5=4,其前n项和为％,下列说法正确的是（）

A.若｛斯｝为等差数列,a2=1,则Sio=45

B.若5｝为等比数列,%=1,则。3=±2

C.若｛即｝为等差数列，则的。9<16

D.若｛册｝为等比数列,则。2+。828

12.已知曲线C:?n/+庄严=1,下列说法正确的是（）

Vn

A.若m=n>0,贝IJC是圆，其半径为n.

B.若?n>0,n=0,则C是两条直线.

C.若？则C是椭圆，其焦点在y轴上.

试卷第2页，总13页

y=±

D.若mn<0,则C是双曲线，其渐近线方程为

三、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上))

13.设等差数列｛册｝的前n项和为无，若2a5=。3+4,则品3=

y=1—x2+2x-3

14.设点P是曲线3上的任意一点，曲线在点P处的切线的倾斜

角为a,贝Ija的取值范围是.(用区间表示)

15.若AABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的内切圆半径等于

22

C：号+^-l(a>b>0)

16.设椭圆ab的左焦点为F,直线与椭圆C相交

于A,B两点.当A4BF的周长最大时，△ABF的面积为块，则椭圆C的离心率6=

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.))

17.设命题P：实数%满足/-4mx+3m2<0(m>0)；命题q：实数%满足

-^->1

4-X.若「p是「q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

18.已知数列｛斯｝的前n项和为右,K2S„=3an-3.

(I)求数列｛a“｝的通项公式；

bn

cn=­

(H)设g=味3与，n,求数列｛5｝的前n项和乙.

19.已知函数/(x)=%3—2%2+X.

(1)求曲线y=f(x)在点(一1,一4)处的切线方程;

(2)求曲线y=/(乃过点(1,0)的切线方程.

20.已知在AABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,且a+b+c=12.

(1)若。=2,b=5,求cos4的值；

B,.口2A

-+sinbcos77

(U)若sinAcos?2/=2sinC,且△ABC的面积为lOsinC,试判断△

的形状并说明理由.

22

M：^2-+^l（a>b>0）

21.已知椭圆ab经过如下四个点中的三个，

Pi（-F，f）「3（后7）P4（V3.1）

J，L2（U,1）9J，F•

（1）求椭圆”的方程；

（口）设直线1与椭圆M交于4B两点,且以线段4B为直径的圆经过椭圆M的右顶点C

（A,B均不与点C重合），证明：直线/过定点.

22.已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）%+1.

（1）讨论/（均的单调性；

3

（H）当avo时，证明：/（%）<-4a-i.

试卷第4页，总13页

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.

【答案】

D

【解析】

利用不等式的基本性质即可判断出.

2.

【答案】

B

【解析】

利用抛物线的标准方程及其性质即可得出.

3.

【答案】

C

【解析】

根据基本初等函数和复合函数的求导公式对每个选项的函数求导即可.

4.

【答案】

B

【解析】

根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可.

5.

【答案】

A

【解析】

利用正弦定理以及同角三角函数的关系式，直接求角B的大小

6.

【答案】

C

【解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把

最优解的坐标代入目标函数得答案.

7.

【答案】

C

【解析】

设等比数列｛厮｝的公比为q,由S2n=4(ai+<23+…+a2n_i)(n€N*),令n=l,则S?=

4%,可得。2=3的，根据£1通2a3=-27,可得慰=一27,解得利用等比数列的通

项公式即可得出.

8.

【答案】

B

【解析】

将3a+2b=ab变形为ba,再由“乘1法”，即可得解.

9.

【答案】

B

【解析】

根据渐近线的方程和焦点坐标，利用a、b、c的关系和条件列出方程求出b2,代

入双曲线的方程即可.

10.

【答案】

C

【解析】

由导数与极值的关系知可转化为方程f'（x）=0在R上有两个不同根，结合函数的性质可

求.

二、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多

项是符合题目要求的，把正确答案的选项涂在答题卡上.全部选对的得5分，部分选对

的得2分，有选错的得0分.）

11.

【答案】

A,C

【解析】

对于4利用等差数列通项公式列出方程组，求出的=0,d=l,由此能求出Si。；对于

B,利用等比数列能通项公式求出q2=2,进而能求出a3；对于C,利用等差数列通项

公式得％+。9=2。5=8,当的,&9一正一负时，9s16成立，当的,均大于。时，

a]+ag?

则。1的工（2）2=16；对于｛斯｝为等比数列时，a2a8=25=16,当02,

他均大于。时，g+a8r2d"228=8,当@2，均小于。时，@2+。8=-（一02-

a8）<—2]（一22）（一as）=_（8）

12.

【答案】

A,B,D

【解析】

通过m,n的取值，判断曲线的形状，即可判断选项.

三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.

【答案】

52

【解析】

13,、

n（a〔+a[q）

利用等差数列｛即｝的通项公式列方程求得为+6d=4,再由Si3=21I）

试卷第6页，总13页

=13(%+6d)>能求出结果.

14.

【答案】

「工工)

【解析】

求出原函数的导函数，利用配方法求得导函数的值域，再由直线的斜率等于倾斜角的

正切值，即可求得曲线在点P处的切线的倾斜角a的范围.

15.

【答案】

返

2

【解析】

2

由已知结合余弦定理可求C,易得三角形的面积，所以内切圆半径满足关系：s=2

(Q+b+c)r.

16.

【答案】

万

【解析】

判断三角形周长取得最大值时，求出血的值，利用三角形的面积，列出方程，求解椭

圆的离心率即可.

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.

【答案】

由％2—4mx4-57n2<o,得Q—m)(x—5m)<0,

又m>0,所以zn<x<3m,

-^->7

由4~X,得0<4-x<5

因为「p是「q的充分不必要条件，

所以q是p的充分不必要条件.

设4=(3,m)B=(2,

则B是4的真子集，

<<

故［310>4或［31004

2］

即3

【解析】

求出命题p,q为真命题的等价条件，根据「p是「q的充分不必要条件，转化为q是p的

充分不必要条件，进行转化求解即可.

18.

【答案】

(1)当九=1时，2a6=2S1=2a1—1,/.a8=l

=

当Tt之2时，8un2Sn-2Sn_2=(3Q九一3)—(8nn_^—3)

-^-=3

即：an-6

数列｛a"为以3为首项，4为公比的等比数列.

a=3X3n-2=3n

n

a=3n

(2)由(I)知n,

所以bn=log3an=n,

bnn

c-------------

nn

故an3Q

T123

即Tn=C，，3+-Cn二亨行

n-

3o①

1Tl2n-1n

T—~•一十・.・।■一1一

4no4QMrn+1

所以3337②

①②得

/(8二)

2.1872n33nn"l、n

1

4n3q2Q3nn2什3]^n+1g1々n，&n+l

—),A)”

所以、4<2/“，.

【解析】

(i)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；

(II)利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和.

19.

【答案】

解：⑴由题意得/''(X)=3--4x+1,

尸(T)=8，

曲线y=/(x)在点(一1,一4)处的切线方程为y+4=8(x+1),

即8x—y+4=0.

(2)设切点为(x0,%),

•­•切点在函数图象上，

、0=端一2呼+々)，

试卷第8页，总13页

故曲线在该点处的切线为

y-(以一2x1+x0)=(3诏-4x0+l)(x-x0).

•••切线过点(1,0),

0—(XQ-2XQ+XQ)=(3XQ-4XQ+1)(1—XQ)

2

即Qo-l)(2x0-1)=0,

解得X。=1或Xo=p

当g=1时，切点为(1,0),

1••，⑴=0，

•••切线方程为y—0=0<x—1)

即y=0.

当配=4时，切点为G，》，

1

f

呜=4

切线方程为y—0=—[(%—1)

即x+4y—1=0.

综上可得，切线方程为y=0或x+4y-1=0.

【解析】

(I)求出原函数的导函数，得到函数在x=-l处的导数，再由直线方程的点斜式得答

案；

(口)设出切点坐标，得到函数在切点处的切线方程，代入己知点的坐标，求得切点坐

标，进一步求解过点(1,0)的切线方程.

利用导数研究某一点的切线方程问题(含参问题).

20.

【答案】

(1)a+b+c=12,a=2,

.c=5.

722

^b+c-a=52+22-2,=23_

.COsA--7U-=2X5X7~25.

sinAcos2y+sinBcos2|-2sinC

(2)•••△ABC为直角三角形，22

..6+cosB1+cosA

sinA-----+--s-i-n-B=2sinC

~T~即sinA+sinB+sim4cos8+

cosAsin8=4sinC,

sin4+sin8+sin(4+8)=4sinC,

*.*i4+8+C=jr,A+B=n—C.

siru4+sin8=3sinC,由正弦定理得a+b=3c,

a+b+c=12,可7f导8c=12.

从而a+b=9.

又「△ABC的面积为lOsinC,

-rabsinC=10sinC

4

即ab=20,a=5,b=5,

a2+c2-616+9-25

又；c—6,可得cosB=2SC=6X4X3,可得B为直角，

△ABC为直角三角形.

【解析】

（1）由题意可求c的值，进而根据余弦定理即可求解cos4的值.

（2）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinA+sinB=3sinC,由正

弦定理得a+b=3c,解得c,可得a+b=9,利用三角形的面积公式可求ab=20,解

得a,b的值，即可判断得解.

21.

【答案】

2八

xi63

+y=1

（1）4；

Pi（77,J）Po（V3»

由题意，点12与点8

根据椭圆的对称性且椭圆过其中的三个点可知，

Piy）P3y）

点12和点02,

P（V5'1）P/（Vs,5

5)

又因为点b6与点

即椭圆过点P1（«’2）,P3（M，2）

,p7(0,1)，

"促产哈）

2+4=1

所以ab

38

01_1

2\2-1

且ab,

故Q6=4,b2=3,

2

X21

A+y=1

所以，椭圆M的方程为4

白，O）

（2）证明：直线/恒过点3

试卷第10页，总13页

由题意，可设直线4B的方程x=ky+m(7n。2),

5

X27

<vy=7

联立、X-ky+m消去/+4)y2+2kmy+m2-4=0,

-2kmm2-4

y2+y2=-6~~了1Y4^

设4(小,丫8)，5(x2,y2),则有k+4,k+4①

又以线段4B为直径的圆过椭圆的右顶点c,CA'CB=0,

由CA=(X5-2,ypCB=(X5-2,y2)

得(%2-2)(X2-8)+力旷2=5,

将％i=kyi+m,x6=ky2+m代入上式得

2+2

(k+2)y1y2k(m-6)(y1+y2)+(m-2)=0

3

m=>T

将①代入上式求得5或m=2(舍)，

(■1,0)

则直线［恒过点5

【解析】

(I)由椭圆的对称性可得椭圆过点2),「4(百'",「2(。，1)，

代入椭圆的方程，列方程组，解得a,b,进而可得椭圆的方程.

(II)设直线48的方程％=/cy+m(mH2),A(xltyQ,B^x2,y2)»联立直线48与椭圆的

方程可得关于y的一元二次方程，由韦达定理可得为+丫2,y/2，由线段4B为直径的

圆过椭圆的右顶点C,得CA'CB=0,用坐标表示，可得m,进而可得答案.

22.

【答案】

(1)因为/(x)=lnx+Q/+(2a+5)x+1,

所以

f'(x)=0+2ax+2a+l=5ax2+(2a+6)x+l=(2ax+7)(x+l)&>o)

XXX

当aN7时，/。)NO恒成立，+8)上单调递增；

当a<0时，令/(x)>5,所以