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文档简介
甘肃省陇南市徽县第三中学2025届高二上数学期末联考模拟试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知空间中四点,,,,则点D到平面ABC的距离为()A. B.C. D.02.函数的大致图象是()A. B.C. D.3.等差数列中,若,,则等于()A. B.C. D.4.已知角为第二象限角,,则的值为()A. B.C. D.5.命题“,”的否定是A, B.,C., D.,6.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为()A. B.C. D.7.为调查参加考试的高二级1200名学生的成绩情况,从中抽查了100名学生的成绩,就这个问题来说,下列说法正确的是()A.1200名学生是总体 B.每个学生是个体C.样本容量是100 D.抽取的100名学生是样本8.空气质量指数大小分为五级指数越大说明污染的情况越严重,对人体危害越大,指数范围在:,,,,分别对应“优”、“良”、“轻中度污染”、“中度重污染”、“重污染”五个等级,如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图,下面说法错误的是().A.这14天中有4天空气质量指数为“良”B.从2日到5日空气质量越来越差C.这14天中空气质量的中位数是103D.连续三天中空气质量指数方差最小是9日到11日9.设是等差数列的前项和,已知,,则等于()A. B.C. D.10.已知直线的方程为,则该直线的倾斜角为()A. B.C. D.11.已知椭圆:的左、右焦点为,,上顶点为P,则()A.为锐角三角形 B.为钝角三角形C.为直角三角形 D.,,三点构不成三角形12.已知直线与垂直,则为()A.2 B.C.-2 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量,,,若,则____________.14.已知曲线表示焦点在轴上的双曲线,则符合条件的的一个整数值为______.15.过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交于点.若点的横坐标为,则的离心率为.16.函数在上的最大值为______________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)椭圆的离心率为,设为坐标原点,为椭圆的左顶点,动直线过线段的中点,且与椭圆相交于、两点.已知当直线的倾斜角为时,(1)求椭圆的标准方程;(2)是否存在定直线,使得直线、分别与相交于、两点,且点总在以线段为直径的圆上,若存在,求出所有满足条件的直线的方程;若不存在,请说明理由18.(12分)已知,两地的距离是.根据交通法规,,两地之间的公路车速(单位:)应满足.假设油价是7元/,以的速度行驶时,汽车的耗油率为,当车速为时,汽车每小时耗油,司机每小时的工资是91元.(1)求的值;(2)如果不考虑其他费用,当车速是多少时,这次行车的总费用最低?19.(12分)已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,椭圆上的动点到焦点的最大距离为.(1)求椭圆的标准方程;(2)过作一条不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点,弦的中垂线交轴于,当变化时,是否为定值?若是,定值为多少?20.(12分)已知椭圆的方程为,双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点,而的左、右顶点分别是的左、右焦点(1)求双曲线的方程;(2)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和,且(其中为原点),求的取值范围21.(12分)在①,②,③,,成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件,补充在下面的问题中,并求解.已知数列中,公差不等于的等差数列满足_________,求数列的前项和.22.(10分)已知圆:与直线:.(1)证明:直线过定点,并求出其坐标;(2)当时,直线l与圆C交于A,B两点,求弦的长度.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据题意,求得平面的一个法向量,结合距离公式,即可求解.【详解】由题意,空间中四点,,,,可得,设平面的法向量为,则,令,可得,所以,所以点D到平面ABC的距离为.故选:C.2、A【解析】由得出函数是奇函数,再求得,,运用排除法可得选项.【详解】法一:由函数,则,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,所以排除B;因为,所以排除D;因为,所以排除C,故选:A.【点睛】思路点睛:函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.3、C【解析】由等差数列下标和性质可得.【详解】因为,,所以.故选:C4、C【解析】由同角三角函数关系可得,进而直接利用两角和的余弦展开求解即可.【详解】∵,是第二象限角,∴,∴.故选:C.5、C【解析】特称命题的否定是全称命题,并将结论加以否定,所以命题的否定为:,考点:全称命题与特称命题6、B【解析】写出每次循环的结果,即可得到答案.【详解】当时,,,,;,此时,退出循环,输出的的为.故选:B【点睛】本题考查程序框图的应用,此类题要注意何时循环结束,建议数据不大时采用写出来的办法,是一道容易题.7、C【解析】根据总体、个体、样本容量、样本的定义,结合题意,即可判断和选择.【详解】根据题意,总体是名学生的成绩;个体是每个学生的成绩;样本容量是,样本是抽取的100名学生的成绩;故正确的是C.故选:C.8、C【解析】根据题图分析数据,对选项逐一判断【详解】对于A,14天中有1,3,12,13共4日空气质量指数为“良”,故A正确对于B,从2日到5日空气质量指数越来越高,故空气质量越来越差,故B正确对于C,14个数据中位数为:,故C错误对于D,观察折线图可知D正确故选:C9、C【解析】依题意有,解得,所以.考点:等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念.在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量,通过建立方程(组)获得解.即等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及五个量,知其中三个就能求另外两个,即知三求二,多利用方程组的思想,体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量、,掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过“设而不求,整体代入”来简化运算10、C【解析】设直线的倾斜角为,则,解方程即可.【详解】由已知,设直线的倾斜角为,则,又,所以.故选:C11、A【解析】根据题意求得,要判断的形状,只需要看是什么角即可,利用余弦定理判断,从而可得结论.【详解】解:由椭圆:,得,则,则,所以且为锐角,因为,所以锐角,所以为锐角三角形.故选:A.12、A【解析】利用一般式中直线垂直的系数关系列式求解.【详解】因为直线与垂直,故选:A.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】首先求出的坐标,再根据向量垂直得到,即可得到方程,解得即可;【详解】解:因为向量,,,所以向量,因为,所以,即,解得故答案为:14、.(答案不唯一)【解析】给出一个符合条件的值即可.【详解】当时,曲线表示焦点在轴上的双曲线,故答案为:.(答案不唯一)15、【解析】双曲线的右焦点为.不妨设所作直线与双曲线的渐近线平行,其方程为,代入求得点的横坐标为,由,得,解之得,(舍去,因为离心率),故双曲线的离心率为.考点:1.双曲线的几何性质;2.直线方程.16、【解析】对原函数求导得,令,解得或,且所以原函数在上的最大值为考点:1.函数求导;2.利用导函数求最值三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)存在,且直线的方程为或【解析】(1)分析可知,,直线的方程为,设点、,将直线的方程与椭圆的方程联立,列出韦达定理,利用弦长公式可求得的值,即可得出椭圆的标准方程;(2)设点、,设直线的方程为,将该直线方程与椭圆的方程联立,列出韦达定理,求出点、,由已知得出,求出的值,即可得出结论.【小问1详解】解:因为,则,,所以,椭圆的方程为,即,易知点,则点,当直线的倾斜角为时,直线的方程为,设点、,联立,可得,,由韦达定理可得,,所以,,解得,则,,因此,椭圆的标准方程为.【小问2详解】解:易知点,若直线与轴重合,则、为椭圆长轴的两个端点,不合乎题意.设直线的方程为,设点、,联立,可得,,由韦达定理可得,,直线的斜率为,直线的方程为,故点,同理可得点,,,由题意可得,解得或.因此,存在满足题设条件的直线,且直线的方程为或,点总在以线段为直径的圆上.【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:(1)设直线方程,设交点坐标为、;(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于(或)的一元二次方程,必要时计算;(3)列出韦达定理;(4)将所求问题或题中的关系转化为、(或、)的形式;(5)代入韦达定理求解.18、(1);(2).【解析】(1)根据题中给出的车速和油耗之间的关系式,结合已知条件,待定系数即可;(2)根据题意求得以行驶所用时间,构造费用关于的函数,利用导数研究其单调性和最值,即可求得结果.【小问1详解】因为汽车以的速度行驶时,汽车的耗油率为,又当时,,解得.【小问2详解】若汽车的行驶速度为,则从地到地所需用时,则这次行车的总费用,则,令,解得,则当,,单调递减,即.故时,该次行车总费用最低.19、(1)(2)是,【解析】(1)由抛物线方程求出其焦点坐标,结合椭圆的几何性质列出,的方程,解方程求,由此可得椭圆方程,(2)联立直线椭圆椭圆方程,求出弦的长和其中垂线方程,再计算,由此完成证明.【小问1详解】抛物线的交点坐标为(1,0),,又,又,∴,椭圆的标准方程为.【小问2详解】设直线的斜率为,则直线的方程为,联立消元得到,显然,,∴,又的中点坐标为,直线的中垂线的斜率为∴直线的中垂线方程为,令,,(常数).【点睛】求定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值20、(1);(2)【解析】(1)求出椭圆的焦点和顶点,即得双曲线的顶点和焦点,从而易求得标准方程;(2)将代入,得由直线与双曲线交于不同的两点,得的取值范围,设,由韦达定理得则代入可求得的范围【详解】(1)设双曲线的方程为,则,再由,得故的方程为(2)将代入,得由直线与双曲线交于不同的两点,得①设则又,得,,即,解得②由①②得<k2<1,故的取值范围【点睛】本题考查双曲线的标准方程,考查直线与双曲线相交中的范围问题.应注意:(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围21、详见解析【解析】根据已知求出的通项公式.当①②时,设数列公差为,利用赋值法得到与的关系式,列方程求出与,求出,写出的通项公式,可得数列的通项公式,利用错位相减法求和即可;选②③时,设数列公差为,根据题意得到与的关系式,解出与,写出的通项公式,可得数列的通项公式,利用错位相减法求和即可;选①③时,设数列公差为,根据题意得到与的关系式,发现无解,则等差数列不存在,故不合题意.【详解】解:因为,,所以是以为首项,为公比的等比数列,所以,选①②时,设数列公差为,因为,所以,因为,所以时,,解得,,所以,所以.所以.(i)所以(ii)(i)(ii),得:所以.选②③时,设数列公差为,因为,所以,即,因为,,成等比数列,所以,即,化简得,因为,所以,从而,所以,所以,(i)所以(ii)
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