江苏省南京师大苏州实验学校2025届数学高二上期末质量检测试题含解析

江苏省南京师大苏州实验学校2025届数学高二上期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在空间直角坐标系中，方程所表示的图形是（）A圆 B.椭圆C.双曲线 D.球2．已知是空间的一个基底，若，，若，则（）A. B.C.3 D.3．“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件4．已知圆的方程为，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.5．函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（）A. B.C D.6．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.7．命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A.∀x∈R，|x|+x2<0 B.∀x∈R，|x|+x2≤0C.∃x0∈R，|x0|+<0 D.∃x0∈R，|x0|+≥08．把点随机投入长为，宽为的矩形内，则点与矩形四边的距离均不小于的概率为（）A. B.C. D.9．在数列中，若，则称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中不正确的为（）A.若是等方差数列，则是等差数列 B.若是等方差数列，则是等方差数列C.是等方差数列 D.若是等方差数列，则是等方差数列10．若关于x的方程有解，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.11．已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可表示为，则在时的瞬时降雨强度为（）mm/min.A. B.C.20 D.40012．已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），则3+2等于（）A.（5，8，3） B.（5，﹣6，4）C.（8，16，4） D.（16，0，4）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知为椭圆上的一点，，分别为圆和圆上的点，则的最小值为______14．设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为______.15．过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于A，两点，，则的值为__________16．若，m，三个数成等差数列，则圆锥曲线的离心率为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在三棱锥中，侧面PBC是边长为2的等边三角形，M，N分别为AB，AP的中点．过MN的平面与侧面PBC交于EF（1）求证：；（2）若平面平面ABC，，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值18．（12分）已知，使；不等式对一切恒成立.如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围.19．（12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点（1）求证：平面，并求直线与平面的距离；（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值20．（12分）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，直线与抛物线交于两点.（1）求此抛物线的方程；（2）若以为直径的圆过原点O，求实数k的值.21．（12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最值.22．（10分）设集合（1）若，求；（2）设，若是成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】方程表示空间中的点到坐标原点的距离为2，从而可知图形的形状【详解】由，得，表示空间中的点到坐标原点的距离为2，所以方程所表示的图形是以原点为球心，2为半径的球，故选：D2、C【解析】由，可得存在实数，使，然后将代入化简可求得结果【详解】，，因，所以存在实数，使，所以，所以，所以，得，，所以，故选：C3、D【解析】根据充分条件、必要条件的判定方法，结合不等式的性质，即可求解.【详解】由，可得，即，当时，，但的符号不确定，所以充分性不成立；反之当时，也不一定成立，所以必要性不成立，所以是的即不充分也不必要条件.故选：D.4、C【解析】根据可求得结果.【详解】因为表示圆，所以，解得.故选：C【点睛】关键点点睛：掌握方程表示圆的条件是解题关键.5、C【解析】根据函数的定义域和特殊点，判断出正确选项.【详解】由，解得，也即函数的定义域为，由此排除A,B选项.当时，，由此排除D选项.所以正确的为C选项.故选：C【点睛】本小题主要考查函数图像识别，属于基础题.6、C【解析】先求出椭圆的右焦点，从而可求抛物线的准线方程.【详解】，椭圆右焦点坐标为，故抛物线的准线方程为，故选：C.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，一般地，如果抛物线的方程为，则抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，本题属于基础题.7、C【解析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.故选：C.8、A【解析】确定矩形四边的距离均不小于的点构成的区域，由几何概型面积型的公式计算可得结果.【详解】若点与矩形四边的距离均不小于，则其落在如图所示的阴影区域内，所求概率.故选：A.9、B【解析】根据等方差数列的定义逐一进行判断即可【详解】选项A中，符合等差数列的定义，所以是等差数列，A正确；选项B中，不是常数，所以不是等方差数列，选项B错误；选项C中，，所以是等方差数列，C正确；选项D中，所以是等方差数列，D正确故选：B10、C【解析】将方程有解，转化为方程有解求解.【详解】解：因为方程有解，所以方程有解，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以实数a的取值范围为，故选：C11、B【解析】对题设函数求导，再求时对应的导数值，即可得答案.【详解】由题设，，则，所以在时的瞬时降雨强度为mm/min.故选：B12、A【解析】直接根据空间向量的线性运算，即可得到答案；【详解】，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、8【解析】根据椭圆的定义、点到圆上距离的最小值，即可得到答案；【详解】设为椭圆的左右焦点，则，等号成立，当共线，共线，的最小值为，故答案为：14、##2.25##【解析】求出直线的方程，与抛物线方程联立后得到两根之和，结合焦点弦弦长公式求出，用点到直线距离公式求高，进而求出三角形面积.【详解】易知抛物线中，焦点，直线的斜率，故直线的方程为，代人抛物线方程，整理得.设，则，由抛物线的定义可得弦长，原点到直线的距离，所以面积.故答案为：15、2【解析】求出直线的方程，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可，，由抛物线的定义可知，，，即可得到【详解】解：抛物线的焦点，，准线方程为，设，，，，则直线的方程为，代入可得，，，由抛物线的定义可知，，，，解得故答案为：216、【解析】由等差中项的性质求参数m，即可得曲线标准方程，进而求其离心率.【详解】由题意，，可得，所以圆锥曲线为，则，，故.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由题意先证明平面PBC，然后由线面平行的性质定理可证明.（2）由平面平面ABC，取BC中点O，则平面ABC，可得，由条件可得，以O坐标原点，分别以OB，AO，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】因为M，N分别为AB，AP的中点，所以，又平面PBC，所以平面PBC，因为平面平面，所以【小问2详解】因为平面平面ABC，取BC中点O，连接PO，AO，因为是等边三角形，所以，所以平面ABC，故，又因，所以，以O为坐标原点，分别以OB，AO，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可得：，，，，，所以，，，设平面PAC的法向量为，则,则，令，得，，所以，所以直线PB与平面PAC所成角的正弦值为18、【解析】若真命题，利用分离参数法结合指数函数性质，可得；若为真命题，利用分离参数法并结合基本不等式可得，再根据为真命题，为假命题，可知，一真命题一假命题；再分“为真命题，为假命题”和“为假命题，为真命题”两种情况，求解范围，即可得到结果.【详解】解：若为真命题，则有解，所以，即；若为真命题，则对一切恒成立,令则,当且仅当，即时，取得最小值；所以，即；又为真命题，为假命题，所以，一真命题一假命题；当为真命题，为假命题时，，所以；当为假命题，为真命题时，，所以；综上所述，.19、（1）证明见解析，直线与平面的距离为（2）【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可证得平面，以及求得直线与平面的距离；（2）利用空间向量法可求得平面与平面所成夹角的余弦值【小问1详解】解：因为平面，四边形为矩形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、、、，，，，，所以，，，所以，，，又因为，因此，平面.所以，平面的一个法向量为，，平面，平面，则平面，所以，直线到平面的距离为.【小问2详解】解：若，则、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，设平面的法向量为，，，则，取，可得，.因此，平面与平面所成夹角的余弦值为.20、（1）（2）【解析】（1）根据焦点到准线的距离，可得到，可得结果.（2）假设的坐标，得到，然后联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，根据，可得结果.【详解】（1）由题知：抛物线的焦点到准线的距离为，∴抛物线的方程为（2）设联立，得，则，，，∵以为直径圆过原点O，∴，∴，即，解得或（舍），∴【点睛】本题主要考查直线与抛物线的几何关系的应用，属基础题.21、（1）在、上是增函数，在上是减函数；（2）在区间，上的最大值为2，最小值为【解析】（1）求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间；（2）根据（1）可知，函数在，、上为增函数，在上为减函数，求出端点值和极值，比较即可求出最值【小问1详解】根据题意，由于，，得到，，在、上是增函数，当时，在上是减函数；【小问2详解】由（