数学例题与探究：任意角、弧度

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲例1一条弦的长度等于半径r,求:（1）这条弦所对的劣弧长；(2）这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.思路分析：解决此类问题，首先要根据题意画出相关的图形,然后对涉及的量的大小进行确定.由已知可知圆心角的大小为，然后用公式求解即可求弧长，弓形面积可以由扇形面积减三角形面积求得。解:(1）如图1—1—1,因为半径为r的圆O中弦AB=r,则△OAB为等边三角形，所以∠AOB=。则弦AB所对的劣弧长为r。图1-1-1（2)∵S△AOB=OA·OB·sin∠AOB=r2，S扇形OAB=|α｜r2=××r2=r2,∴S弓形=S扇形OAB—S△AOB=r2—r2=(-)r2.绿色通道:图形的分解与组合是解决数学问题的基本方法之一，本例把扇形看成三角形与弓形的组合，即可运用已有知识解决要求解的问题。此类数形结合的题目，要尽可能地从图中,从各种图形的组合关系中找到解决问题的突破口。变式训练地球赤道的半径是6370km,所以赤道上1′的弧长是____________（精确到0。01km).思路解析:1′=rad，弧长l=r|α|=6370××=1。85(km）.答案:1。85km例2（2005全国高考卷Ⅲ，1)已知α为第三象限角，则所在的象限是(）A。第一或第二象限B。第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限思路解析：因为第三象限角与-π之间的角并不等价,由α在第三象限，α应在区间（2kπ+π,2kπ+）(k∈Z)内，要判定在第几象限，需分k是奇数,k是偶数两种情况去讨论解决，即2kπ+π＜α＜2kπ+kπ+＜<kπ+,当k为偶数时,在第二象限，当k为奇数时，在第四象限。答案：D绿色通道:(1)由α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角,对此特殊情况应特别指出。如α=45°，2α=90°就不再是象限角。(2）在本例的基础上，还可以进一步推导出各个象限角的半角范围。可以借助图1—1—2来记忆。图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第一、二、三、四象限角的半角范围.如当α为第一象限角时,为第一、三象限角的前半区域；当α为第二象限角时,为第一、三象限角的后半区域.依此类推。图1—1—2黑色陷阱:（1)由α是第二象限角，仅想到90°<α<180°，从而得到45°＜＜90°和仅得到为第一象限角，而将是第三象限角的可能性丢掉。(2）解题时容易将α的范围误认为90°〈α<180°，即误认为α是钝角，导致错误.同时在得出α的范围时,不进行分类讨论，或者讨论时不按奇数和偶数分类。变式训练1已知单位圆上一点A(1,0）按逆时针方向做匀速圆周运动，1秒钟时间转过θ(0〈θ≤π）角,经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟转到与最初位置重合的位置，求θ角的弧度数。思路分析：这是一个涉及终边相同的角和匀速圆周运动的问题，可以根据题意画图分析，并由此列出角的等式或不等式.解:由0<θ≤π,得0<2θ≤2π，又因为2θ在第三象限，所以π<2θ≤。由14θ=2kπ（k∈Z），得2θ=(k∈Z)，所以π<<，即〈k<.所以k=4或5;θ=或。变式训练2若锐角α的终边与它的10倍角的终边相同，求α。思路分析:与角α终边相同的角均可以表示为2kπ+α(k∈Z）的形式，注意题目中α是锐角。可以根据题意列出方程解出α，这一方法也体现了在三角函数中“方程思想”的应用。解:由题意，得10α=2kπ+α(k∈Z)，∴α=（k∈Z）.又∵α为锐角，∴k可以取1、2两个值，即α=40°或α=80°.例3已知扇形的周长为20cm，当扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大?思路分析：根据题中的已知条件，列出扇形的半径、圆心角及周长的关系表达式，然后把扇形的面积表示成半径的函数，然后利用求函数最值的方法求解。解:设扇形的圆心角为θ,半径为r，由已知条件,得扇形的弧长l=rθ。∴2r+rθ=20,θ=.∴S扇形=r2θ=r2·=r（10-r）=-r2+10r.当r=—=5时，S扇形最大=25，此时θ=2.绿色通道:几何图形求最值的途径有两种：一是利用几何意义，从图形中直接找出(本例不好找);二是利用函数求解，即设出未知量,建立函数关系式，然后用函数的方法解决。变式训练一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在半圆的弧长，那么扇形的圆心角是_______弧度，扇形的面积是_______。思路解析:设扇形的圆心角是θ弧度，则扇形的弧长是rθ，扇形的周长是2r+rθ。由题意,知2r+rθ=rπ，∴θ=π-2.扇形的面积为S=θ·r2=r2（π-2）.答案:π-2r2(π—2)问题探究问题1在体操、花样滑冰、跳台跳水比赛中,常常听到“转体三周"“转体两周半”的说法,像这种动作名称表示的角是多大？导思：解答此类问题时，要考虑到问题的多种情况，不要上来就盲目地解答。首先对问题有个大体的了解，然后再联系所学知识进行解答，可能起到事半功倍的效果.此题不要忽视了转体的顺、逆方向会影响到角的正负号。利用角的定义及正角、负角的概念，这个问题就迎刃而解。探究：如果是逆时针转体，则分别是360°×3=1080°和360°×2。5=900°；若是顺时针转体，则分别为—1080°和—900°。问题2在炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是很好的办法.纸扇在美观的设计上，可考虑用料、图案和形状。若从数学角度看,能否利用黄金比例(0.618)去设计一把有美感的白纸扇呢?此时的张角是多大呢?导思：在设计纸扇张开角（θ)时，可以考虑从一圆形(半径为r）分割出来的扇形的面积（A1）与剩余面积(A2)的比值.若这一比值等于黄金比例，便可