2022年人教版指数函数及其性质练习题含答案

2022年人教版指数函数及其性质练习题含答案

学校：班级：姓名：考号：

一、选择题(本题共计10小题，每题3分，共计30分，)

1.指数函数y=b•a'在g,2］上的最大值与最小值的和为6,则a=()

A.1B.-3C.2或-3D.2

2.函数/(x)=a\a>0,a力1)在［0,1］上的最大值与最小值的和为3,则a等于()

13

A.-B.2C.4D.-

22

3.函数y=loga(Ai)的定义域和值域都为(0,1),则a=0

A.1B.2C.V2D.y

4.三个数a=(-0.3)。，b=0.32,。=2。3的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

5.若函数f(x)=C)a--4x+i有最大值3则实数a的值为()

A.-2B.-lC.lD.2

6.已知函数，=加交的图象恒过定点P,则定点P的坐标是()

A.(l,1)B.(l,4)C.(l,5)D.(0,1)

7.镭按每百年3.8%的速度衰变，现有lOOmg镭，贝打00年后还剩()

A.2.08?ngB3.8mgC.679mgD.96.2mg

8.函数/(x)=(兽产T—2的图象不经过()

A.第一,三象限B.第一象限C第二,三象限D.第三象限

9.若/Xx)是定义在(-1,1)上的减函数，则下列不等式正确的是()

A./(sinx)>f(cosx)B./(-y-)>/(%)

J岛)N，岛)D/(f)>

10.现有某种细胞100个，其中有约占总数之的细胞每小时分裂一次，即由I个细胞分裂

成2个细胞，按这种规律发展下去，要使细胞总数超过101°个，需至少经过()

A.42小时B.46小时C.50小时D.52小时

二、填空题(本题共计10小题，每题3分，共计30分，)

11.不等式:<2Al<8的解集是_______.

12.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为'=6"(其中k为常

数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，经过5小时，1个病毒能繁殖为

个.

13.已知函数/(x)=a'T+l(a>。且aH1),则函数/(x)的图象恒过定点.

14.函数'=炉在区间口，2］上的最小值和最大值之和6,贝必=.

15.不等式4*-2>2>0的解集为.

qf、X+3,1

f(x)=ar

16.对于任意实数a,函数2(a>0且a#1)的图象经过一个定点，

则该定点的坐标是________.

17.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时

间t(小时)的关系为。=2°6-《如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少

19%需要花费的时间为小时.

18.已知不等式备>-加+m+4对任意xGR恒成立，则实数小的取值范围是

19.若指数函数/(x)=(a?-1尸9>0)是减函数，则实数a的取值范围是.

20.如图，开始时桶力中有a升水，t分钟后剩余的水量符合指数衰减函数为=aeft

(其中e,n为常数)，此时桶B中的水量就是，丫2=。-aef1假设过5分钟后桶4和桶

试卷第2页，总18页

B中的水量相等，则再过分钟，桶a中只有水g

O

21.求函数y=4X-2X+1(%6[-2,3])的值域.

22.已知函数/'(x)=a«a>。且a*1)经过点(2,4).

(1)求a的值；

(2)求f(x)在[0,1]上的最大值与最小值.

23.某地区为了治理大气污染，使空气污染指数降到最低，对周边的化工企业进行整治

改进废气处理工艺，某化工企业在处理废气的过程中，每经过一次处理可将有害气体

减少20%.

(1)经过x次处理后有害气体减少到未处理前的多少；

(2)若要让有害气体减少到原来的5%,求至少要经过几次处理？(参考数据：lg2x

0.3010)

24.已知函数/(x)=a-六，(aeR)

(1)求①©的定义域;

(2)若f(x)为奇函数,求a的值；

(3)考察在定义域上单调性的情况，并证明你的结论.

25.已知指数函数〃式)=合的图象经过点(3,兀)，求f(0)、？⑴、〃-3)的值.

26.设函数f(x)=谟-a-x(a>0且a。1),且x6(-1,1)时，恒有/(I-m)+/(I-

m2)<0,求实数m的范围.

27.已知指数函数/'(x)的图象过点(4,16),求f(x)的解析式，/■(一1)的值.

28.已知指数函数g(x)的图象经过点P(3,8).

(1)求函数g(x)的解析式；

(2)求g(2/-3x+l)>gdx2+2%-5)的解集.

29.已知函数f(x)=2ax+2(a为常数)

(1)求函数/(%)的定义域.

(2)若a=1,%G(1,2],求函数/Q)的值域.

(3)若/'(x)为减函数，求实数a的取值范围.

30.作出函数y=3、与y=(：尸的图象.

试卷第4页，总18页

参考答案与试题解析

2022年人教版指数函数及其性质练习题含答案

一、选择题(本题共计10小题，每题3分，共计30分)

1.

【答案】

D

【考点】

指数函数的定义、解析式、定义域和值域

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：•••'=人谟是指数函数，

b=1,即函数为丫=标.

V指数函数y=a、在［1,2］上的最大值与最小值的和为6,

••a+a2=6,

即a2+a-6=0,

解得a=2或a=-3(舍去)，

故a=2.

故选D.

2.

【答案】

B

【考点】

指数函数单调性的应用

指数函数的性质

【解析】

利用函数/(%)=ax(a>0,a*1)在［0,1］上的单调性与/(%)在［0,1］上的最大值与最小

值的和为3即可列出关于a的关系式，解之即可.

【解答】

解：：函数f(乃=a\a>0,a41)在［0,1］上的最大值与最小值的和为3,

a°+a1=3,

/.a=2.

故选B.

3.

【答案】

B

【考点】

指数函数的定义、解析式、定义域和值域

指数函数单调性的应用

指数函数的单调性与特殊点

【解析】

口的定义域为[所以因为值域也为而

108£12=1,£1=20,1],1WX+1W2,[0,1],

logi=0,所以指数函数和对数函数的单调性与底数有关，必要时要分类讨论.

【解答】

此题暂无解答

4.

【答案】

C

【考点】

指数函数单调性的应用

【解析】

根据指数函数的单调性判断出b<1和c>1.再求出a=1,即可得三者的大小关系.

【解答】

解:由指数函数的单调性得，0<b=0.32<0.30=1,c=20-3>2°=1,

a=(-0.3)°=1,b<a<c,

故选C.

5.

【答案】

D

【考点】

指数函数的性质

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：令g(x)=ax2-4x+l,/(x)=(y⑴，

由于f(x)有最大值3,所以9。)有最小值-1,

(a>0,

因此'匕__1

解得a=2,

即当/(©有最大值3时，a的值为2.

故选D.

6.

【答案】

A

【考点】

指数函数的单调性与特殊点

【解析】

令1一久=0可得x=1,此时y=a0=1,可得定点.

【解答】

解：令1-X=0可得x=1,

此时y=a0=1,

函数y=a1—的图象恒过定点(1,1)

故选：A

7.

【答案】

试卷第6页，总18页

D

【考点】

指数函数的实际应用

【解析】

根据已知中镭的衰变速度为每百年衰变3.8%,可知lOOmg镭100年后，即一个衰变周

期后还剩100x(1-3.8%)

【解答】

解：：镭的衰变速度为每百年衰变3.8%,

,lOOmg镭,则100年后还剩100x(1-3.8%)=96.2mg,

故选D

8.

【答案】

A

【考点】

指数函数的图象

【解析】

函数f(y)=gy2)-2单调递减且/xo)==-ij(-i)=2,所以图象不经过第

三象限选4.

【解答】

此题暂无解答

9.

【答案】

D

【考点】

指数函数单调性的应用

【解析】

由三角函数线可判断出xe(p1)时，sinx>cosx,根据/(%)的单调性便可判断选项4

的正误，而对于B,C,。各选项可通过对自变量的值进行作差，配方，通分及提取公

因式等方法，根据x的范围及指数函数的单调性便可判断出自变量值的大小关系，从而

由/(x)的单调性即可判断出对应函数值的大小关系，从而判断选项的正误.

【解答】

解：A：x6(%1)时，sinx>cosx；

V在(一1,1)上为减函数；

/(sinx)</(cosx),该选项错误；

B：xE(―1,1)；

—x=|(x-I)2>0；

1*24-1

等>乙且f(x)在(―1,1)上单调递减；

v2।-1

・•・・•・该选项错误；

「.112X-3X3X[(1)X-1].

C.---------------=---------------------------------.

3X+12X+1(3X+1)(2X+1)(3X+1)(2X+1)'

xG(-1,1)；

，X6(—1,0)时，(|尸>1；

舟>舟，且〃乃在(一1,1)上为减函数；

••/(W?)</(W?，该选项错误；

D.__L__________1_=3,吗-泊.

■34+3-*2X+2-X~(3X+3-XX2X+2-X)1

①xe(—1,0]时，(|尸一120,1-@尸wo;

•-L..<2.

*3X+3-X—2X+2~X'

②xG(0,1)时，弓尸-1<0,1-(^)x>0；

・11

・・<------;

3X+3-X2X+2~X'

•••综上得，获缶W汨3；

•••f(x)为(-1,1)上的减函数；

•••/•(获枭)、/($)，；•该选项正确.

故选D.

10.

【答案】

B

【考点】

指数函数的定义、解析式、定义域和值域

【解析】

根据分裂的规律得到细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为：y=100x

(|)x%e/v*,再建立不等式求解.

【解答】

解:根据分裂的规律得到细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为：y=100x

(|)Xx€N*,

由y=100x(|尸>IO】。，解得(|尸>1。8,即/g|>8,即X>^=45.45.

222Ig3-Ig2?

J%>45.45,

故经过46小时，细胞总数超过IO1。个.

二、填空题(本题共计10小题，每题3分，共计30分)

11.

【答案】

{%|0<%<4]

【考点】

试卷第8页，总18页

指数函数的单调性与特殊点

【解析】

由不等式:<2，T<8可得2T<2'-1<23,故一1<X-1<3,由此求得不等式的解

集.

【解答】

解：由不等式；<2-<8可得2T<2"i<23,

-1<%—1<3.

即0<x<4,故不等式的解集为{x［0<x<4},

故答案为{制0<%<4}.

12.

【答案】

1024

【考点】

指数函数的实际应用

指数型复合函数的性质及应用

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：当t=0.5时，y=2,2=e*,

k=2ln2,

y=g2tln2.

wln210

当t=5时，y=e=2=1024.

故答案为：1024.

13.

【答案】

(1，2)

【考点】

指数函数的图象与性质

【解析】

利用。。=1(。40),取x=l,得人1)=2,即可求函数/(x)的图象所过的定点.

【解答】

当x=l时，f(1)=a1T+1=a。+1=2,

/.函数/Q)=a"1+1的图象一定经过定点(1,2).

故答案为：(1,2).

14.

【答案】

2

【考点】

指数函数单调性的应用

【解析】

分两种情况：(1)当a>1时，函数y=谈在区间［1,2］上是增函数，所以Wax=

2

aymin=a,由于最小值和最大值之和6,所以建立方程a2+a=6解得：a=2或一3

（负值舍去）（2）0<a<l,函数y=初在区间［1,2］上是减函数，所以：ymax=

2

aymin=a,由于最小值和最大值之和6,所以建立方程，即a2+a=6,解得：a=

2或一3,因为0<a<l,所以都舍去

【解答】

解：（1）当a>1时，函数y=/在区间口，2］上是增函数，

2

所以Ymax=aymin=a,

由于最小值和最大值之和6,

即：a?+a=6,

解得：a=2或一3（负值舍去）；

（2）0<a<1,函数丫=谟在区间口，2］上是减函数，

所以：'max=。ymin=«2.

由于最小值和最大值之和6,

即：a?+a=6,

解得：a=2或一3,而0<a<l,故都舍去；

故答案为：2.

15.

【答案】

（2,+8）

【考点】

指数型复合函数的性质及应用

【解析】

不等式即22X>2，+2,利用指数函数的单调性及特殊点可得2%>x+2,由此求得不

等式生一2X+2>0的解集.

【解答】

解：不等式4X-2X+2>0,即22X>2X+2,即2x>x+2,即x>2,故不等式4、一

2"+2>0的解集为（2,+8）,

故答案为（2,+00）.

16.

【答案】

（⑹f）

【考点】

指数函数的单调性与特殊点

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

17.

【答案】

10

【考点】

指数函数的实际应用

【解析】

根据题意把实际问题转化为数学问题由指数的运算性质代入数值求出结果即可.

试卷第10页，总18页

【解答】

前5小时污染物消除了10%,此时污染物剩下90%,即t=5时，P=0.9P0,代入，得

k

(e-k)5=0.9e-=Vo^9=0.9-P=Po-kt=P0(0.90.9)t,当污染物减少19%时，

污染物剩下：81%,此时P=0.81P,代入得40.81=(0.9g),解得t=10,即需要花费

10小时.

18.

【答案】

—3<m<5

【考点】

指数函数综合题

【解析】

根据指数函数的单调性将不等式转化为一元二次不等式恒成立，利用一元二次不等式

恒成立转化为对应判别式△<0,解不等式即可得到结论.

【解答】

解：不等式等价为G)/+x>®2x2_mx+m+4,

即/+%v2x2—mx+m+4恒成立，

%2—(m+l)x4-m4-4>0恒成立，

即△=(m+l)2—4(m+4)<0,

即苏-2m-15<0,

解得一3<m<5,

故答案为：-3<血V5.

19.

【答案】

(L&)

【考点】

指数函数单调性的应用

【解析】

结合指数函数的单调性得出0<a?一1<1,求解出a的取值范围即可得出答案.

【解答】

根据题意，指数函数f(x)=®2-l)x(a>0)是减函数，

则有0<a2-l<l,又由a>0,则有l<a<衣

即a的取值范围为(1,近)

故答案为：(1,企)

20.

【答案】

10

【考点】

指数函数的实际应用

【解析】

由于5分钟后桶4和桶B中的水量相等，所以可求n=gln2.再利用桶4中只有水茎升，

可求时间.

【解答】

解：；t=5时，y1=y2,**•由Q♦0-5九=。一。.e-5n,

得。-九

25=1n=l]n2.

将”代入为=Q-中得yi=a•e-t5,n2

当月建时，有/a,e-'g解得t=15分钟,

所以，再过10分钟桶1中的水是T.

故答案为：10

三、解答题(本题共计10小题，每题10分，共计100分)

21.

【答案】

解：令t=21；xG[-2,3],AtG[i,8],y=t2-t+1=(t-1)2+^,

故当t=3时，函数y取得最小值为*当t=8时，函数y取得最大值为57.

故函数y的值域为£57].

【考点】

指数型复合函数的性质及应用

函数的值域及其求法

【解析】

令t=2"可得teE，8],y=t2-t+l=(t-i)2+；,再利用二次函数的性质求得y

的值域.

【解答】

解：令t=2',•••xe[-2,3]....£e[i,8],y=t2-t+l=(t-|)2+^.

故当t=2时，函数y取得最小值为*当t=8时，函数y取得最大值为57.

故函数y的值域为6，57].

22.

【答案】

解：将点(2,4)代入函数表达式得/"(2)=a?=4,解得a=2.

解：由(1)知/'(x)=2x,故函数f(x)在[0,1]上是单调递增函数，故最大值为/"(1)=

21=2,最小值为/(0)=2°=1.

【考点】

指数函数的定义、解析式、定义域和值域

指数函数单调性的应用

【解析】

(1)将点(24)代入函数表达式，由此求得a的值.

(2)根据指数函数单调性，求得函数/0)的最大值和最小值.

【解答】

试卷第12页，总18页

此题暂无解答

23.

【答案】

解：(1)设工业废气在未处理前为。，经过%次处理后变为y,

则y=a(l-20%尸=a(80%)x,xeN*.

所以(=(80%)x,xeN”.

(2)由题意得2=5%,即(80%尸=5%,

所以xlg0.8=lg0.05,即》=督“13.4,

因而需要14次处理，才能使工业废气中的有害气体减少到原来的5%.

【考点】

指数函数综合题

指数函数的实际应用

【解析】

设工业废气在未处理前为a,经过x次处理后变为y,贝ljy=a(l-20%尸，再根据(=

5%,即(80%尸=5%,求得x的值.

【解答】

解：(1)设工业废气在未处理前为a,经过%次处理后变为y,

则y=a(l-20%尸=a(80%)x.xGN*.

所以?=(80%)x,x6N*.

(2)由题意得2=5%,即(80%尸=5%,

所以xlg0.8=lg0.05,即％=喘=13.4,

因而需要14次处理，才能使工业废气中的有害气体减少到原来的5%.

24.

【答案】

解：(1)由分式成立的条件可得，

%H0,定义域为{x|x6R且xH0}

(2)函数为奇函数可得/(-为+/(x)=。对定义域内的任意x都成立

⑶设任意的尤1，x2e(-00,0)U(0,+00),且与>%2,

2八-2工2

M(X!)-/(X)=--------------=--------------->0

22孙-12右一1(2.-l)(2^i-1)

•••fQl)>>>2)

f(%)在定义域上单调递增.

【考点】

指数函数综合题

【解析】

(1)由分式成立的条件可得，2'-1K0,从而可求函数的定义域

(2)由函数为奇函数可得/(一切+/。)=0对定义域内的任意》都成立，代入整理可

求a

(3)利用函数的单调性的定义：设Xi，x2e(-8,0)U(0,4-00),且＞x2,通过做

差判断f(Xi)与人孙)的大小，即可判断函数的单调性

【解答】

解：(1)由分式成立的条件可得，2'-1力0,

x*0,定义域为{x|x6R直xr0}

(2)函数为奇函数可得/(-乃+/(%)=。对定义域内的任意x都成立

(3)设任意的匕，x2G(-00,0)U(0,4-00),且%>x2,

,112%一2次

班(右)-f(%2)=2X2_1-2%1_1=(2如—1)(24-1)>°

/(Xi)>f(X2)

f(x)在定义域上单调递增.

25.

【答案】

解：：指数函数/(%)=必的图象经过点(3,7T),

/⑶=a3=71：,

1

a=VTT=7T3t

X

.・.f(x)=7T3；

・・・/(0)=TJ=I,

/(l)=7T3=y/n,

-3i

r(-3)=兀3=-.

【考点】

指数函数的性质

【解析】

由/Q)的图象过点(3,兀)，求出解析式，从而求出/(0)、f⑴、3)的值.

【解答】

解：：指数函数f(x)=的图象经过点(3,7T),

/⑶=a3=7t,

1

a=VTT=7T3,

试卷第14页，总18页

f(x)=7t3；

0

f(0)=7T3=1,

/(I)=7T3=VTF,

26.

【答案】

解：由函数的解析式易得/(-乃=-/(乃，...函数为奇函数，

(1)当a>l时，函数/Q)=aX—a-x为增函数，又x6(―1,1),

f(l—m)+f(l—m2)<0=f(l—m)<—/(l—m2)=f(m2—1),即/l(1—

m)<f(m2—1),

1—m<m2-1

•**-1<1-m<1,解得1<m<V2,

.-1<m2-l<1

(2)当0<a<l时，函数f(x)=/一(1-，为减函数，又x€(-1,1),

/(I-m)+/(I-m2)<0f(l-m)<-/(l-m2)=/(m2-1),即/<1一

m)<ffjn2-1),

1—m>m2-1

•**-1<1-m<1,解得0<m<1,

-1<m2-1<1

综上，当a>l时，1<m<当0<a<1时，0<m<l.

【考点】

指数函数的性质

【解析】

先验证函数具备奇偶性，再分a>1、0<a<1两种情况讨论函数的单调性.

【解答】

解：由函数的解析式易得f(-x)=-/。)，，函数为奇函数，

(1)当a>l时，函数f(x)=ax—ar为增函数,X%e(-1,1),

/(I-m)+/(I—m2)<0Q/(I-m)<—/(I-m2)=f(m2-1),即/'(1-

m)<f(m2—1),

,1-m<m2-1

二-1<1-m<1,解得1<zn<近，

1<m2—1<1

(2)当0<a<l时，函数/(x)=a*-a—为减函数，又x6(—1,1),

/(I-m)+/(I-Tn2)<0Q/(I-m)<—/(I-m?)=f(m2-1),即/'(1-

m)<f(m2—1),

'1-m>m2-1

,,—1<1—TH<1,解得。<TH<1,

1<m2—1<1

综上，当a>l时，1<m<企；当0<a<1时，0<m<l.

27.

【答案】

解：设指数函数/(x)=",

V/(x)的图象过点(4,16),

•••"4)=16,即。4=16,解得a=2,

则/(x)=25/(-I)=2-1=i.

【考点】

指数函数的定义、解析式、定义域和值域

【解析】

利用待定系数法求出指数函数的解析式即可得到结论.

【解答】

解：设指数函数/(x)=a\

/(%)的图象过点(4,16),

”4)=16,即。4=16,解得a=2,

则/(x)=2、，/(-l)=2-1=i.

28.

【答案】

解：(1)设指数函数为g(x)