2021年沪教版数学初三专题讲义20 旋转相似解题方法专练

专题20旋转相似解题方法专练

第I卷（选择题）

一、单选题

1.如图，正方形ABC。中，点尸是BC边上一点，连接Ab，以Ab为对角线作正方

形AEFG,边FG与正方形ABC。的对角线AC相交于点“，连接。G.以下四个结

论：①ZEAB=NGAD；②AAFCSAAGD；③2AE?=AC;④OGLAC.其

中正确的个数为（）

C.3个D.4个

第II卷（非选择题）

二、解答题

2.在△ABC和AADE中，BA=BC,DA=DE，且NABC=NADE=a，点E

在△ABC的内部，连接EC,EB,EA和并且NACE+NABE=90°.

（观察猜想）

（1）如图①，当a=60°时，线段与CE的数量关系为,线段E4,EB,

EC的数量关系为.

（探究证明）

（2）如图②，当a=90°时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若

不成立，请说明理由；

（拓展应用）

（3）在（2）的条件下，当点E在线段CZ）上时，若8。=2布，请直接写出ABDE的

面积.

3.一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、。在

同一条直线上），发现BE=DG且BE工DG.

小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

（1）将正方形的G绕点A按逆时针方向旋转（如图1）,还能得到8E=OG吗？若

能，请给出证明，请说明理由；

（2）把背景中的正方形分别改成菱形型'G和菱形ABCD,将菱形AEFG绕点A按

顺时针方向旋转（如图2）,试问当ZE4G与㈤。的大小满足怎样的关系时，

BE=DG；

A.PAD2

（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形4BCD，且一=—=一,

AGAD3

AE=2a,AB=2b（如图3）,连接DE，BG.试求。^2+532的值（用“，b表

4.数学课上，老师拿出两块不同大小的含30度角的三角板让同学们在不同位置尝试操

作.

（1）如图1摆放，当点。在上，点E在上，得知AD=7,DB=1，求CE的

长.

(2)如图2,在(1)的条件下，连结CO,求ZXACD的面积.

(3)如图3摆放，把这同样的两块三角板的直角顶点互相重合放置，小三角板用CN绕

着点C旋转，连结AM、BN,当AMCM时，求cos/ABN的值.

(4)ZMCB不变，当/\MCN的三边长扩大一倍后，绕点C旋转一周，直线AM与8N

交于点H，请你直接写出点“所经过的运动路径.

5.在△ABC中，AB=AC,/8AC=a，点P是△ABC外一点，连接BP,将线段8P绕

点尸逆时针旋转a得到线段PZ),连接CD,AP.

观察猜想：

CD

(1)如图1,当&=60。时，——的值为，直线CD与AP所成的较小角的度数为

AP---

类比探究:

CD

(2)如图2,当a=90。时，求出二一的值及直线CD与A尸所成的较小角的度数;

AP

拓展应用:

(3)如图3,当a=90。时，点E,F分别为AS,AC的中点，点尸在线段FE的延长线

上，点A,D,P三点在一条直线上，BD交PF于悬G,CD交AB于点、H.若C£>=2

+0,求2。的长.

6.如图，△ACB和AOCE均为等腰直角三角形,

ZACB=NDCE=90°,AC^BC,DC=EC.现将&DCE绕点C旋转.

E

A图3

(1)如图1,若A,D,E三点共线，AD=非,求点3到直线CE的距离；

(2)如图2,连接AE,BD,点尸为线段3。的中点，连接CF,求证：AE±CF；

(3)如图3,若点G在线段AB上，且AC=8,AG=7夜，在AACG内部有一点0,

请直接写出在OC+J5Q4+巫0G的最小值.

22

7.某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：

(1)问题发现：如图1,在等边ABC中，点P是边BC上任意一点，连接小，以赫

为边作等边AAPQ,连接C。，BP与C。的数量关系是；

(2)变式探究：如图2,在等腰AMC中，AB=3C,点P是边上任意一点，

以转为腰作等腰AAPQ,使4P=PQ,ZAPQ=ZABC,连接CQ,判断NABC和

NACQ的数量关系，并说明理由;

(3)解决问题：如图3,在正方形AD3C中，点P是边上一点，以AP为边作正

方形APEF，。是正方形的中心，连接CQ.若正方形AP所的边长为5,

CQ=*，求正方形ADBC的边长.

8.如图，正方形ABCD,对角线AC,8。相交于0,Q为线段03上的一点，ZMQN=90°,

点M、N分别在直线8C、0c上.

(2)如图2,当。为线段08的中点，点N在CD的延长线上时，则线段CW、BM、

BC的数量关系为；

(3)在(2)的条件下，连接MN,交AO、B£)于点E、F,若MB:MC=3:l,NQ=9后，

求EF的长.

9.如图1,AO,B。分别是AABC的内角NB4C,NABC的平分线，过点A作

AE1AD，交的延长线于点E.

图1图2

(1)求证：Z.E=—ZC；

2

(2)如图2,如果AE=",且BD:OE=2:3,求cos/ABC的值;

(3)如果NA8C是锐角，且AA6c与AAOE相似，求NABC的度数，并直接写出

沁的值.

3AA8c

10.如图1,在中，NC=90°,ZA=3O°,BC=1,点D,E分别为AC,

BC的中点./XCDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为a(00<a<360°.记直线A£>

与直线BE的交点为点P.

图1图2备用图

(1)如图1,当《=0°时，AD与5E的数量关系为,AZ)与3E的位置关

系为;

(2)当0°<aW360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；

若不成立，请说明理由；

(3)△€!)£：绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中尸点运动轨迹的长度和

P点到直线8C距离的最大值.

11.如图，以△ABC的两边AB、AC分别向外作等边△450和等边△ACE,BE与

CD交于点、P,已知PA=3,PB=4,PC=5.

(1)求证：AAPC三AABE；

(2)求/DE5的度数及BE的长；

(3)若点。、R分别是等边△A8D和等边△ACE的重心(三边中线的交点)，连接

AQ、AR、QR，作出图象，求QR的长.

12.如图1,在中，ZACfi=90°,AC=8C，在斜边A8上取一点。，过

点、D作DE”BC,交AC于点£现将AADE绕点A旋转一定角度到如图2所示的位

置(点。在AABC的内部)，使得乙WD+NACD=90".

②若CD=1,BD=y/6,求A£>的长;

Ap

(2)如图3,将原题中的条件“AC=BC”去掉，其它条件不变，—=F=Z设,

ABAD

若CD=LBD=3,AD=4,求A的值;

ArAf2

⑶如图4,将原题中的条件“N4C5=90°”去掉，其它条件不变，若——=——=-

ABAD3

设CD=m,BD=〃,AD=p,试探究加，n,〃三者之间满足的等量关系.(直接写

出结果，不必写出解答过程)

13.如图1所示，矩形A8C。中，点E,产分别为边AB,AD的中点，将AAE尸绕点A

逆时针旋转a(0。〈仁360。)，直线8E、。尸相交于点P.

图1图2图3

(1)若AB=AD,将4AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE与DF

的数量关系是.

(2)若AO=〃AB(n/1),将△AEF绕点A逆时针旋转，则(1)中的结论是否仍然成

立？若成立，请就图3所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由.

(3)若AB=8,8c=12,将旋转至AEJ_BE,请算出DP的长.

14.(1)观察猜想：

如图1,在中，NACB=90°，点。，E分别在边AB，AC上，

ABAC=ZDAE=45°,DE=AE，将AADE绕点A逆时针旋转到如图2所示的位

置，连接8D，交AC于点G,连接CE交3。于点尸，则g2值为,ZBFC的

度数为.

（2）类比探究：

如图3,当NACB=NA£O=90°,NB4C=ND4E=30°时，请求出处的值及

CE

ZBFC的度数.

（3）拓展应用：

如图4,在四边形A8OC中，AC=BC,ZACB=90°，Z5DC=45°.若8=8,

BD=6,请直接写出A,。两点之间的距离.

图1

15.在矩形A3CD中，AB:5C=1:2,点M为AO的中点，点P为对角线6。的中

点，点、E、F分别在边A3、AD上，且PELPF.

（1）求治的值.

(2)求证：BE=—AB+2MF.

2

（3）作射线EF与射线3。交于点Q，若BE:AE=3:4,EF=回,求。Q的长.

16.如图，在用AABC中，ZAC8=90°,/BAC=a，点D在边AC上（不与点A、C

重合）连接BD,点K为线段BD的中点，过点D作。EJL至于点E,连结CK,EK,

CE,将△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90度）

（1）如图1.若a=45。，则A3CK的形状为；

（2）在（1）的条件下，若将图1中的三角形ADE绕点A旋转，使得D,E,B三点共线，

点K为线段BD的中点，如图2所示，求证：BE-AE=2CK：

（3）若三角形ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D,E,B三点共线，点K仍为线段

BD的中点，请你直接写出BE,AE,CK三者之间的数量关系（用含a的三角函数表示）

17.（问题发现）（1）如图1,在RtAABC中，AB=AC,。为BC边上一点（不与点8、

C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90。得到AE,连结EC,则线段BD与CE的数量

关系是，位置关系是

（探究证明）（2）如图2,在RSA2C和RtaAOE中，AB=AC,AD=AE,ADE

绕点4旋转，当点C,D,E在同一直线时，BO与CE具有怎样的位置关系，并说明理

由：

（拓展延伸）（3）如图3,在RtZiBCQ中，NBCD=90。，8c=28=4,将△AC。绕

顺时针旋转，点C对应点E,设旋转角/C4E为a（0。＜0（＜360。），当点C,D,E在

同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度.

18.（1）尝试探究：如图①，在AABC中，ZACB=90°,NA=30。，点E、F分

别是边8C、AC上的点，且EF〃AB.

①--的值为_________;

BE

②直线AF与直线BE的位置关系为；

（2）类比延伸：如图②，若将图①中的ACEF绕点C顺时针旋转，连接AE,BE,

则在旋转的过程中，请判断笔的值及直线Ab与直线3E的位置关系，并说明理由;

（3）拓展运用：若BC=3,CE=2,在旋转过程中，当反E,尸三点在同一直线上时,

请直接写出此时线段AE的长.

19.△ABE内接于。O,C在劣弧AB上，连CO交AB于D,连BO,ZCOB=ZE.

(2)如图2,BO平分NABE,求证：AB=BE；

(3)如图3,在(2)条件下，点P在OC延长线上，连PB,ET1AB于T,ZP=2ZAET,

ET=18,OP=25,求。O半径的长.

20.矩形ABCD中，AB=6,5C=8,点M,N分别在边8c,4)上，且

BM=3,DN=2,连接MN并延长，交CD的延长线于点E，点。为射线MN上一

动点，过点。作AQ的垂线，交CD于点P.

①DE=；②QA与QP的等量关系为

(2)拓展探究

如图，若点。在MN的延长线上，QA与QP能否相等？若能，求出OP的长；若不能，

请说明理由.

(3)思维延伸

如图，点G是线段CO上异于点。一点，连接4G,过点G作直线G/_L4G,交直

线MN于点/,是否存在点G,使AG,G/相等？若存在，请直接写出OG的长；若不

存在，请说明理由.

21.已知，AABC中，AB=AC,ZBAC=2a°,点D为BC边中点，连接AD,点E

为线段AD上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2a。得到线段EF,连接FG,FD.

(1)如图1,当NBAC=60。时，请直接写出一的值；

AE

(2)如图2,当/BAC=90。时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;

若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；

DF

(3)如图3,当点E在AD上移动时，请直接写出点E运动到什么位置时——的值最

DC

小.最小值是多少？(用含a的三角函数表示)

22.如图，函数y=-N+bx+c的图象经过点A(w,0),B(01n)两点，相，〃分别是

方程N-2x-3=0的两个实数根，且根＜”.

(1)求胆，〃的值以及函数的解析式；

(II)设抛物线y=-x2+bx+c与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D,连接AB,

BC,BD,CD.求证：XBCDsAOBA；

(III)对于(I)中所求的函数尸-x2+bx+c,

(1)当0SE3时，求函数)，的最大值和最小值；

(2)设函数y在0&+1内的最大值为p,最小值为4，若p-q=3,求f的值.

23.如图1,在正方形ABC。中，G为线段BO上一点，连接AG,过G作AG_LGE

交BC于E，连接AE.

(1)求证：BG=DG+近BE;

(2)如图2,A8=4,E为BC中点,P,。分别为线段A6，AE上的动点，满足

QE=WP,则在P,。运动过程中，当以P2为对角线的正方形PRQS的一边恰好

落在A4BE的某一边上时，直接写出正方形PROS的面积.

24.如图，四边形ABC。和四边形AEFG都是正方形，C,F,G三点在一直线上，连

接AF并延长交边CD于点M.

(1)求证：△MFCs△MCA；

(2)求C—的值，

BE

(3)若。M=l,CM=2,求正方形AEFG的边长.

25.如图，在△ABC中，4B=AC,点。是8c边上的中点，点P是AC边上的一个动

点，延长OP到点E,使NCAE=NCDE,作NOCG=N4CE,其中G点在OE上.

(1)如图1,若NB=45。，则——=；

DG

(2)如图2,若N£>CG=30。，42=*,求：今监=.

DG4SMBC一

(3)如图3,若NA8C=60。，延长CG至点M,使得MG=GC,连接AM,BM.在点

CP

P运动的过程中，探究：当一的值为多少时，线段AM与DM的长度之和取得最小值?

AC

26.如图1所示，矩形ABCD中，点E,F分别为边AB,AD的中点，将△AEF绕点

A逆时针旋转a(0°<«<360°),直线BE,DF相交于点P.

(1)若AB=AD,将△AEF绕点A逆时针旋至如图2所示的位置上，则线段BE与

DF的位置关系是,数量关系是.

(2)若AD=i1AB(n^l)将△AEF绕点A逆时针旋转，则(1)中的结论是否仍然成

立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由.

(3)若AB=6,BC=8,将△AEF旋转至AE_LBE时，请直接写出DP的长.

27.如图(1),在矩形ABC。中，AB=8,AD=6,点民尸分别是边。的中点,

四边形OEGE为矩形，连接BG.

(1)问题发现

CE

在图(1)中,

~BG

(2)拓展探究

CE

将图（1）中的矩形DFGE绕点。旋转一周，在旋转过程中，——的大小有无变化?

BG

请仅就图（2）的情形给出证明;

（3）问题解决

当矩形OF6E旋转至&G,E三点共线时，请直接写出线段CE的长.

28.如图1,若点P是△ABC内一点，且有NPBC=NPCA=NPAB,则称点P是△ABC

的“等角点”

(1)如图1,ZABC=70°,则/APB=

(2)如图2,在AABC中，NACB=90。，点P是△ABC的“等角点”，若/BAC=45。

CP

①求---的值:

AP

②求tanZPBC的值;

29.（感知）（1）如图①，在四边形ABCD中，ZC=ZD=90°,点E在边CD上，ZAEB=90°,

求证：丝=丝

EBCB

（探究）（2）如图②，在四边形ABCD中，NC=/ADC=90。，点E在边CD上，点F

EFAE

在边AD的延长线上，ZFEG=ZAEB=90°,且一=——，连接BG交CD于点H.求

EGEB

证：BH=GH.

APDE

（拓展）（3）如图③，点E在四边形ABCD内，NAEB+NDEC=I8O。，且——=——

EBEC

过E作EF交AD于点F,若NEFA=NAEB,延长FE交BC于点G.求证：BG=CG.

(1)如图①，AABC与都是等边三角形，直线8。,CE交于点尸.直线BO,

AC交于点H.求ZBPC的度数

(2)已知：AABC与AAOE的位置如图②所示，直线BD,CE交于点尸.直线

AC交于点H.若NABC=NAT>E=a,^ACB=AAED=/3,求ZBEC的度数

应用结论:

(3)如图③，在平面直角坐标系中，点0的坐标为(0,0),点M的坐标为(3,0),N

为了轴上一动点，连接MN.将线段MN绕点M逆时针旋转60得到线段"K，连接

NK,OK,求线段OK长度的最小值

31.在A4BC中，NACB=90°,BC=AC=2,将AABC绕点A顺时针方向旋转1角

(0°<«<180°)至。的位置.

(1)如图1,当旋转角为60°时，连接C'C与AB交于点M，则C'C=

图1

(2)如图2,在(1)条件下，连接89,延长CC'交B夕于点。，求CD的长.

S2

(3)如图3,在旋转的过程中，连线CC'、所在直线交88'于点。，那么C。

的长有没有最大值?如果有，求出C。的最大值：如果没有，请说明理由.

图3

32.问题背景：如图(1),已知△/WCS/WDE,求证：△ABOSAACE;

尝试应用：如图(2),在AABC和AADE中，ABAC=ZDAE=90\

ADlDF

448C=NA0E=3O°，AC与相交于点尸.点。在8。边上，一=J3,求——

BDCF

的值；

拓展创新：如图(3),。是AABC内一点，/BAD=NCBD=30°，ZBDC=90°，

A3=4，AC=20，直接写出AO的长.

，3

33.如图，二次函数y=af+—x+c的图象交x轴于A,B(4,0)两点，交y轴于

点C(0,2).

(1)求二次函数的解析式；

(2)点P为第一象限抛物线上一个动点，PMJ_x轴于点M.交直线BC于点Q,过点

C作CN_LPM于点N.连接PC；

①若△PCQ为以CQ为腰的等腰三角形，求点P的横坐标；

②点G为点N关于PC的对称点，当点G落在坐标轴上时，直接写出点P的坐标.

34.将正方形A3CD的边A3绕点A逆时针旋转至,记旋转角为a.连接,

过点。作OE垂直于直线33'，垂足为点E，连接。B',CE,

DDr

(1)如图1,当a=60°时，\DEB'的形状为，连接30,可求出——的值

CE

为

R

mi

(2)当0。<a<360。且a*90°时，

①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立,

请说明理由；

BE

②当以点8',E,CD为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出——的值.

B'E

35.如图，在RtZ\ABC中，AC=BC=4,ZACB=90°,正方形BDEF的边长为2,将

正方形8CEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD.

(1)请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由；

(2)求当点E在线段AF上时CD的长；

(3)设4E的中点为连接尸M,试求尸M长的取值范围.

36.如图，在等腰RtZkABC中，ZACB=90°,AB=8&.点D,E分别在边AB,

AC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90。得到EF,连结BF,BF的中点为G.

图3

图】图2

(1)当点E与点C重合时.

①如图1,若AD=BD,求BF的长.

②当点D从点A运动到点B时，求点G的运动路径长.

(2)当AE=3,点G在△DEF一边所在直线上时，求AD的长.

37.在△ABC中，ZAC3=90°,CO是中线，AC=BC,一个以点。为顶点的45。

角绕点。旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F,DF

与AE交于点M,DE与BC交于点、N.

(1)如图1,若CE=CF,求证：DE=DF；

(2)如图2,在不绕点。旋转的过程中，试证明CD?=CE.C/Z恒成立；

(3)若8=2,CF=母,求ON的长.

38.(1)问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG.AE

<AB,连接BE与DG,请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系.并

请说明理由.

(2)理解应用：如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG,AE

<AB,AB=10,将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当NABE=15。，且点D、

E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长；

(3)拓展应用：如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG,AD=

4713-AB=4屈，AG=4,AE=4百，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，

连接BD,DE,点M,N分别是BD,DE的中点，连接MN,当点D、E、G三点在同

一条直线上时，请直接写出MN的长

图2

图1图3

39.几何探究：

（问题发现）

（1）如图1所示,△48。和4ADE是有公共顶点的等边三角形,BZXCE的关系是

（选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）

图3

（类比探究）

（2）如图2所示，aABC和AAOE是有公共顶点的含有30。角的直角三角形，（1）中

的结论还成立吗?请说明理由；

（拓展延伸）

（3）如图3所示，AADE和AA8C是有公共顶点且相似比为1:2的两个等腰直角三角

形，将△AOE绕点A自由旋转，若BC=2C，当B、D、E三点共线时，直接写出8。

的长.

40.如图1,点E为△ABC边AB上的一点，。。为△8CE的外接圆，点。为8OC上

任意一点.若4E=AC=2",BC-n2—\,BE-n2-2n+\.（n>2,且n为正整数）.

（1）求证：ZCAE+ZCDE=90°；

（2）①如图2,当CQ过圆心。时，①将△ACD绕点A顺时针旋转得△AEF,连接DF,

请补全图形，猜想C。、DE.之间的数量关系，并证明你的猜想；②若〃=3,求AO

的长.

41.如图，在RtAABC中，AC=BC=4,NACB=90°,正方形5Z5EF的边长为2,

将正方形3DE/绕点3旋转一周，连接4E、BE、CD.

（2）探究：直线。E与AE垂直时，求线段8的长：

（3）拓展：取AE的中点M，连接RW,直接写出线段尸M长的取值范围.

42.如图1,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点0,将△C0D绕点0逆时针旋转

得到△EOF（旋转角为锐角），连AE,BF,DF,则AE=BF.

（1）如图2,若（1）中的正方形为矩形，其他条件不变.

①探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论；

②若BD=7,AE=40，求DF的长;

（2）如图3,若（1）中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且BD=10,AC=6,

AE=5,请直接写出DF的长.

F

F

F

图3

43.(1)问题发现如图1,在△Q4B和AOCZ)中,OA=OB,OC=OD,

AC

ZAOB=ZCOD=40°,连接AC,8。交于点填空：①空•的值为.;②

BD

ZAMB的度数为.

(2)类比探究如图2,在AOLB和△OC£＞中，ZAOB=ZCOD=90°,

AC

ZOAB=NOCD=30°，连接AC交3。的延长线于点M.请判断—的值及ZAMB

BD

的度数，并说明理由;

(3)拓展延伸在(2)的条件下，将AOCD绕点。在平面内旋转，AC,8。所在直线

交于点M，若OD=1,0B=6请直接写出当点4与点0、。在同一条直线上时

A。的长.

备■用图

44.如图，。。是AABC的外接圆，AB为。0的直径，过点A作AO平分/BAC交。0

于点D,过点D作BC的平行线分别交AC、AB的延长线于点E、F,DGLAB于点G,

连接BD.

(1)求证：△4E£>s4£)GB；

(2)求证：EF是。。的切线；

(3)若f=理，。4=4,求劣弧80的长度(结果保留兀).

45.如图1,抛物线y=a(x+2)(x-6)(a>0)与x轴交于C,D两点(点C在点D

的左边)，与y轴负半轴交于点A.

(1)若△ACD的面积为16.

①求抛物线解析式；

②S为线段0D上一点，过S作x轴的垂线，交抛物线于点P,将线段SC,SP绕点S

顺时针旋转任意相同的角到SC1,SP|的位置，使点C,P的对应点Cl,Pl都在x轴上

SN

方，GC与P6交于点M,PiP与x轴交于点N.求——的最大值；

SM

(2)如图2,直线y=x-12a与x轴交于点B,点M在抛物线上，且满足NMAB=75。

的点M有且只有两个，求a的取值范围.

三、填空题

46.如图，在一个12x13的网格中，点O,AB都在格点上，OA=AB=8,点尸是

线段AB上的一个动点，连接0P,将线段0A沿直线0P进行翻折，点A落在点C处，

连接BC,以BC为斜边在直线BC的左侧(或下方)构造等腰直角三角形8OC,则点

P从A运动到B的过程中，线段BC的长的最小值为,线段8。所扫过的

区域内的格点的个数为(不包含所扫过的区域边界上的点).

47.如图，正方形ABCD的边长为8,线段CE绕着点C逆时针方向旋转，且CE=3,

连接BE，以BE为边作正方形BEFG,M为AB边的中点，当线段FM的长最小时,

tanZ.ECB—.

48.如图，在△ABC中，AB=5,。为边AB上一动点，以CD为一边作正方形CQEF,

当点。从点B运动到点A时，点E运动的路径长为.

49.已知正方形ABCD的边长为12,E、尸分别在边AB、BC上，将沿EE

折叠，使得点3落在正方形内部（不含边界）的点？处，。夕的延长线交AB于点G.若

点3'在正方形的对称轴上，且满足5必0c=；S正方形Ape。，则折痕EF的长为

50.如图，已知四边形A8C。与四边形CFGE都是矩形，点E在CD上，点”为4G

的中点，AB=3,BC=2,CE=L5,CF=1,则。”的长为.

参考答案

I.D

【分析】

①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，/EAB、NGAD与NBAG的和均为90。，即

ACAF

可证明NEAB与NGAD相等；②由题意易得AD=DC,AG=FG,进而可得——=——，

ADAG

ZDAG=ZCAF,然后问题可证；③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证

△HAF-AFAC,则有——=——，然后根据等量关系可求解；④由②及题意知

AHAF

NADG=NACF=45。，则问题可求证.

【详解】

解：①：四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形

二NEAG=/BAD=90°

又ZEAB=90°-ZBAG,ZGAD=90。-ZBAG

.IZEAB=ZGAD

，①正确

②四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形

/.AD=DC,AG=FG

.♦.AC=QAD,AF=y/2AG

谎s著也

即生

ADAG

又：ZDAG+ZGAC=ZFAC+ZGAC

NDAG=NCAF

.••②正确

③：四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线

；./AFH=NACF=45°

又•:ZFAH=ZCAF

.'.△HAF^AFAC

.AF-AC

"~AH~~AF

即AF2=ACAH

又：AF=^AE

2AE2=AHAC

③正确

④由②知AAFC^AAGD

又四边形ABCD为正方形，AC为对角线

.,.ZADG=ZACF=45°

；.DG在正方形另外一条对角线上

.\DG1AC

，④正确

故选：D.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在

于找到需要的相似三角形进而证明.

2.(1)BD=CE,EB2+EC2=E42；(2)不成立，理由见解析；(3)2

【分析】

(1)EtlADAB^/XEAC(SAS),可得8£>=EC,ZABD=ZACE,由NACE+/ABE=90。，推

出/A8£)+/A8E=90。，可得/O8E=90。，由此即可解决问题；

(2)结论：EA2=EG+2B氏由题意△ABC,△49E都是等腰直角三角形，想办法证明

DBABF)

△DAB^^EAC,推出——=■~~'=—,NACE=NABD,可得/DBE=90。,推出

ECAC2

DE^BA+BE2,即可解决问题；

(3)首先证明AO=OE=EC,设AD=OE=EC=x,在R/AAOC中，利用勾股定理即可解决问

题；

【详解】

(1)如图①中,

B

D

"：BA=BC,DA=DE.且NA8C=N4DE=60。,

...△ABC,△ADE都是等边三角形，

：.AD=AE,AB=AC,NDAE=NBAC=60°,

：.ZDAB=ZEAC,

.•.△D4跆△EAC(SAS),

：.BD=EC,NABD=NACE,

'：ZACE+ZABE=90°,

：./48O+/A8E=90。，

NDBE=9Q：

J.D^BD^BE1,

'：EA=DE,BD=EC,

.,.EA^BE^+EC2.

故答案为：BD=EC,E^EB-+EC1.

(2)结论：£A2=£C2+2BE2.

理由：如图②中，

图②

,：BA=BC,D4=QE.且NA8C=/AZ)E=90。,

/.△ABC,△AOE都是等腰直角三角形，

/.ZDAE=ZBAC=45°,

：.NDAB=NEAC,

..AD_V2AB垃

'7E-V花-V

ADAB

~AE~~AC'

△DABMEAC,

DB

~EC

ZACE+ZABE=90°9

ZABD+ZABE=90°,

ZDBE=90°,

DE2;BD2+BE2,

历

EA=6DE,BD=—ECf

2

—£A2=—EC2+BE2,

22

.,.£A2=£C2+2B£2.

(3)如图③中,

VZA£D=45°,D,E,C共线,

：.ZAEC=\35°,

,：△△£)8s△AEC,

，NAO8=/4EC=135。,

ZADE=ZDBE=90°,

：.NBDE=/BED=45。,

：.BD=BE,

：.DE=y/2BD,

•:EC=^BD,

：.AD=DE=EC,AD=DE=EC=x,

在RAABC中，•：AB=BC=2后,

."。=2而，

在RmADC中,

'JAiy+D^AC2,

：.x2+4x2=40,

：.x=2框（负根已经舍弃），

：.AD=DE=2y/2,

：.BD=BE=2,

SABDE=--x2x2=2.

2

【点睛】

本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，

全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确

寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题.

3.（1）见解析；（2）当NE4G=时，BE=DG,理由见解析；（3）136+13^.

【分析】

（1）由正方形的性质得出AE=AG,ZEAG=90°,AB=AD，N84D=90°，得出

ZEAB^ZGAD,则可证明△?1£1的△AG£＞（£45）,从而可得出结论；

（2）由菱形的性质得出AE=AG,AB=AT＞，则可证明△4EB四△AGO（SA5）,由全

等三角形的性质可得出结论；

（3）设8E与。G交于Q,砥与AG交于点尸，证明AE48s△G4O,得出

/EBA=/GDA，得出G0LE8,连接EG,BD，由勾股定理可求出答案.

【详解】

（1）•四边形AEFG为正方形，

/.AE=AG,ZEAG=90°，

又：四边形ABCD为正方形，

AAB=AD<ZR4D=90°，

ZEAG-ZBAG=ABAD-/BAG

ZEAB=ZGAD,

在△AEB和△AGO中，

AE^AG

<NEAB=ZGAD,

AB=AD

：.^AEB^^AGD(SAS),

:.BE=DG；

(2)当Z£4G=Z5Ap时，BE=DG，

理由如下：

ZEAG^ZBAD,

；•ZEAG+ZBAG=ZBAD+/BAG

：.ZEAB=ZGAD,

又•.•四边形AEFG和四边形ABCD均为菱形，

AAE=AG,AB=AD^

在△AEB和△AGO中，

AE=AG

<NEAB=ZGAD,

AB=AD

AAEB^AAGD(SAS),

BE=DG；

(3)设BE与DG交于Q,BEqAG交于点P,

由题意知，AE=2a，

APAB2

***==—，Z.EAB=/GDA=90°+/GAB，

AGAD3

/\EAB^/\GAD，

NEBA=NGDA,

■：ZADB+ZABD=ZGDA+ZQDB+ZABD=90°,

：.ZQDB+ZQBD=ZEBA+ZQDB+ZABD=90°,

:.GDLEB,

连接EG，BD，

ED2+GB2

=EQ2+QD2+GQ2+QB2

=EG2+Bb2，

,,AEAB_2

AE=2a,AB=2b,

'~AG~AD~3

AG-3a,AD=3b,

在心AEAG中，由勾股定理得：EG2=AE2+AG2.同理如2=AB2+AC>2，

:.E