2022年人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数专项测试试题（含答案及详细解析）

人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数专项测试

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的

答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、在正方形网格中，A/回的位置如图所示，点力、B、。均在格点上，则cos6的值为（）

B.fC.。.今

2、如图，4c是电杆47的一根拉线，测得BC=6米，ZACB=52°,则拉线47的长为（）

A.’—米B.6sin52°米C.6-cos52。米D-高米

sin52

3、如图，等边三角形4%和正方形力颇都内接于。。，则/〃：AB=（)

A

A.2&:&B.近:乖＞C.G：应D.6:2夜

4、如图，在AABC中，ZACB=90。，点〃为46边的中点，连接微若BC=4,CD=3,则sinNOCB的

值为（）

4

5、在Rt△力回中，ZC=90°,sinJ=-,则cosZ的值等于（）

6、在RtZUSC中，NC=90°,1。=4,BC=3,则下列选项正确的是（）

3433

A.sin/l=-B.cosA=—C.cos8=-D.tan£=-

4545

3

7、已知，在矩形ABC。中，£>E_LAC于E,设ZADE=a,且cosa=《，AB=4,则4）的长为（）

AD

BC

16

A.3C型D.

BT.3T

8、如图，在放△/!比1中，/ABC=90°,劭是4C边上的高，则下列选项中不能表示tan4的是

（）

A•空B."CD.瞿

ABAD席BDAC

9、如图所示，九（二）班的同学准备在坡角为。的河堤上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为8

m,那么这两棵树在坡面上的距离47为（）

88

A.8COS6rmB.----mC.8sinamD.——m

cosasina

10、在“比1中，（2cosA-忘y+"tanB|=O,则一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

4

1、如图，在菱形4抗力中，DELAB,cosA=-,则tanN颂'=

4

2、如图，已知/?大△/欧中，斜边8c上的高/。=4,COSB=M，则4

3、某人沿着坡度为1：2.4的斜坡向上前进了130m,那么他的高度上升了m.

4、如图，小明家附近有一观光塔切，他发现当光线角度变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生

变化.经测量发现，当小明站在点4处时，塔顶〃的仰角为37°,他往前再走5米到达点6(点4

B,C在同一直线上)，塔顶〃的仰角为53°,则观光塔切的高度约为.(精确到0.1米，参考

34

数值：tan37°七二,tan53°^-)

43

5、已知斜坡48的水平宽度为12米，斜面坡度为1：百，则斜坡的长为；坡角为

三、解答题(5小题，每小题10分，共计50分)

1、如图，抛物线y=“(x+4)(x-1)的图像与x轴的交分别为点4、点昆与y轴交于点C,且

tanZ.CBA=2.

(1)求抛物线解析式

、3

（2）点〃是对称轴左侧抛物线上一点，过点〃作DE_LAO于点色交力C于点RDP：求点〃的坐

标.

（3）在（2）的条件下，连接4?并延长交y轴于点凡点G在4C的延长线上，点C关于x轴的对称点

为点〃，连接/〃，GF、GH,点芯在上，GH^AK+AH,NKCH=；NCAO,GF:GH=3:4,过点C作

CRLGH,垂足为点兄延长底交抛物线于点Q,求点0坐标.

2、某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥.如图，河旁有

一座小山，山高5c=8（）m,点C、A与河岸E、尸在同一水平线上，从山顶5处测得河岸E和对岸厂的

俯角分别为ND8E=45。，"M=31。.若在此处建桥，求河宽E厂的长.（结果精确到1m）[参考数

据：sin3—.52,cos31o：==0.86,lan31°»0.60]

3、计算下列各式：

(1)&s/〃60°-4co/300+57/745°•tan600；

(2)J2cos230"-2cos30"+sin230”•

4、如图，平地上两栋建筑物A?和切相距30m,在建筑物4?的顶部测得建筑物切底部的俯角为

26.6°,测得建筑物切顶部的仰角为45°.求建筑物切的高度.（参考数据：sin26.6°^0.45,

cos26.6°比0.89,tan26.6°-0.50）

5、如图1,在AABC中A5=AC,BC=24cm,tanZABC=—.

图1图2

(1)求AB的长;

(2)如图2,点。沿线段8c从6点向C点以每秒2cm的速度运动，同时点。沿线段C4向4点以每秒

1cm的速度运动，且当。点停止运动时，另一点0也随之停止运动，若P点运动时间为1秒.

①若ZAPQ=4时，求证：^ABP^PCQ；并求此时£的值.

②点夕沿线段8c从8点向。点运动过程中，是否存在X的值，使△PQC的面积最大；若存在，请求出

/的值；若不存在，请说明理由.

---------参考答案

一、单选题

1、B

【分析】

如图所示，过点力作力。垂直比1的延长线于点〃得出△力劭为等腰直角三角形，再根据45°角的余弦

值即可得出答案.

【详解】

解：如图所示，过点力作力〃，6。交比'延长线于点〃，

•：AD=BD=4,ZADB=90°,

...△46〃为等腰直角三角形，

...N后45°

.④

•・cosBD=——

2

故选B.

本题主要考查了求特殊角三角函数值，解题的关键在于根据根据题意构造直角三角形求解.

2、D

【分析】

根据余弦定义：cosN4CB=MBC；即可解答.

AC

【详解】

解：,/cosZACB=

AC

AC=cos

•.•3C=6米，ZACB=52°

故选D.

【点睛】

此题考查了解直角三角形的应用，将其转化为解直角三角形的问题是本题的关键，用到的知识点是余

弦的定义.

3、B

【分析】

过点。作ONLAD,设圆的半径为r,根据垂径定理可得△应沥与△OW是直角三角形，根

据三角函数值进行求解即可得到结果.

【详解】

如图，过点。作ONLAD,设圆的半径为r,

.•.△如”与4如川是直角三角形，OD=OB=r,

•••等边三角形和正方形4颂都内接于。。，

...NO8M=30°,Z0DN=ADON=45°,

DN=OD.tan450=—r,BM=60.cos30°=—r,

22

AD=2DN=&r,BC=2BM=0r,

AD:AB=亚:技=&币■

故选B

【点睛】

本题主要考查了圆的垂径定理知识点应用，结合等边三角形和正方形的性质，利用三角函数求解是解

题的关键.

4、D

【分析】

根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出48,再根据三角函数的意义，可求出答案.

【详解】

解：•.•在中，N/==90°,点〃为边的中点，

：.AD=BD=CD=^AB,

又,：CD=3,

."6=6,

AC=^AB2-BC2=>/62-42=2x/5，

Z.sinZDCB=sinB=—=还=好,

AB63

故选：D.

【点睛】

本题考查直角三角形的性质和三角函数，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提.

5、A

【分析】

由三角函数的定义可知si.加二巴，可设折4,c=5,由勾股定理可求得比3,再利用余弦的定义代入计算

c

即可.

【详解】

解：VsinA--,

，可设炉4,c=5,由勾股定理可求得炉3,

：.cosA=-=~,

c5

故选：A.

【点睛】

本题主要考查三角函数的定义，掌握正弦、余弦函数的定义是解题的关键.

6、B

【分析】

根据勾股定理求出力反再根据锐角三角函数的定义求出sin/,cosA,cos6和tan£即可.

【详解】

由勾股定理得：AB=JAC2+BC2="+3?=5，

所以sinA=生、，cosA二生，，cos八生二，ta团生，

AB5AB5AB5BC3

即只有选项6正确，选项/、选项C、选项〃都错误.

故选：B.

【点睛】

本题主要是考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练掌握每个锐角三角函数的定义，是求解该

类问题的关键.

7、B

【分析】

根据同角的余角相等求出/4〃斤/4切，再根据两直线平行，内错角相等可得/的俏//切，然后求出

AC,再利用勾股定理求出6G然后根据矩形的对边相等可得4＞比：

【详解】

解："：DEVAC,

.,.N/1//。分90°,

VZACIAZCAD=90o,

ZACD=ZADB=a,

,,,矩形ABCD的对边AB//CD,

:.NBAO/ACD,

.cosa

.AB3

AC5

由勾股定理得，BC=y]AC2-AB2=J(y)2-42=y,

•••四边形力6（力是矩形，

:.AD=B*.

3

故选：B.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求

出a'是解题的关键.

【分析】

根据题意可推出△力尻、XADB、△劭C均为直角三角形,再在三个直角三角形中分别表示出tan4即

可.

【详解】

解：•在服△力比'中，ZABO9Q0,即是47边上的高，

:N里、XADB、△胸均为直角三角形，

又•.•/?!+/俏90°,N8NDBO90。,

：./归NDBC,

在/△4%中，tan片R荒C，故A选项不符合题意；

AB

在危△力加中，tan/=||,故B选项不符合题意；

AD

CD

在应△劭。中，tan/二tanN的万，故D选项不符合题意；

选项D表示的是sinC,故D选项符合题意；

故选D.

【点睛】

本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键.

9、B

【分析】

运用余弦函数求两树在坡面上的距离AB.

【详解】

解：•••坡角为a,相邻两树之间的水平距离为8米，

两树在坡面上的距离48=^（米）.

cosa

故选：B.

【点睛】

此题主要考查解直角三角形中的坡度坡角问题及学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力.

10、D

【分析】

结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得（2cosA-何=o,|l-tanfi|=0,从而得cosA考，tanB=l,

根据特殊角度三角函数的性质，得ZA=45。，NB=45。；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即

可得到答案.

【详解】

解：V（2cosA-V2）1+|l-tanZ?|=0

・，.（2cos=0,|l-tanB|=0

2cosA-血=0,l-tanB=0

cosA=,tanB=1

2

AZA=45°,4=45。

AZC=180°-ZA-ZB=90°,BC=AC

・・・阿一定是等腰直角三角形

故选：D.

【点睛】

本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、

三角函数的性质，从而完成求解.

二、填空题

1、3

【解析】

【分析】

4__________।-----------------

根据弧1四，cosA=~,设四=4x,AD=5x,根据勾股定理DE=jAh-AE?=J（5x]-（旬？=3x,根

据四边形ABCD为菱形，可得菱形的边46=4?=5x,可求小4azi氏5『4产x,根据正切定义求

tanN分田々=把=3即可.

BEx

【详解】

4

解：'：DELAB,cos/=w，

设AE=4x,AD=5x,

在RtAADE中，DE=>JAD2-AE2=>/（5x）2-（4x）2=3x,

•.•四边形ABCD为菱形,

••.菱形的边AB=AD=5x,

BB=AB-AE=5x-4x=x,

AtanZ/^—=—=3.

BEx

故答案为：3.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，根据根据菱形的四条边都相等求出菱形的边长是

解题的关键，利用的余弦设1后4x,4分5%使求解更加简便.

2、5

【解析】

【分析】

根据题意ND4C=N3,则cosNZMC=cos3,即可求得AC

【详解】

解：,l•Rt^ABC中,AD1BC

・•.ZBAD+ZB=ABAD+ADAC=90°

/./B=NDAC

八4

•/cosB=一

5

AD4

cosNDAC-----——

AC5

,/AD=4

AC=5

故答案为：5

【点睛】

本题考查了同角的余角互余，余弦的定义，求得"=是解题的关键.

3、50

【解析】

【分析】

设高度上升了〃，则水平前进了2.4力，然后根据勾股定理解答即可.

【详解】

设高度上升了力，则水平前进了2.4万，

由勾股定理得：J"+(2.4炉=130,

解得：71=50.

故答案为：50.

【点睛】

本题主要考查了坡度比与勾股定理得应用，根据坡度比和勾股定理列出关于力的方程成为解答本题的

关键.

4、8.6米

【解析】

【分析】

根据题意，利用锐角三角函数解直角三角形即可.

【详解】

解：由题意知，ZJ=37°,Z2^053°,Z^=90°,4比5,

CD

在Rt△狈中，tanNM>—,

CD———3

在Rta。〃中，tan//=三，即<3「c=tan37°生

AC5+-C£>4

4

解得：CD=-^-^8.6,

答：观光塔切的高度约为8.6米.

【点

本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数解直角三角形的方法是解答的关键.

5、8y[330°##30度

【解析】

【分析】

如图，由题意得：1,=12,:=/:6再利用坡度的含义求解/=30°,再利

用/的余弦函数值求解48即可.

【详解】

解：如图，由题意得:1=12,

B

:.N=30°,

而cos=—,

故答案为：8c30°

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用，坡度，坡角的含义，由坡度求解出坡角为30。是解本题的关键.

三、解答题

1Q325

1、(1)y=~x2-x+2；(2)0(-3,2)；(3)彳)

2228

【解析】

【分析】

(1)根据tanNCB4=2求出点C的坐标，把点C的坐标代入y=a(x+4)(x-l)即可求出a,即可得出抛物

线解析式；

(2)先求直线/。解析式，设以狐-g疗-|〃?+2),则可表示点尸坐标，y值相减即可得出答案；

(3)作NC4O的角平分线为4犷，作MN_LAC交于点儿过点《作KT^y轴交于点北

由(2)得点，坐标，求出直线加解析式，令x=0,求出厂点坐标，由对称得出点〃坐标，求出直线

/〃的解析式，求出/从力〃的值，可得GAFG,"满足勾股定理，即FGLHG,求出点G坐标，得出

直线内G解析式，即可得出直线解析式，与抛物线解析式联立，即可求出点。的坐标.

【详解】

(1)由题得：4-4,0),8(1,0),

：.OB=\,

VtanZC^4=2,

OC

A—=2,即OC=2,

OB

：.C(0,2),

把C(0,2)代入y=a(x+4)(x—1)得：a=~,

117

二・抛物线解析式为：y=--(-^+4)(x-l)=--x2--x+2；

(2)设直线4C的解析式为尸区+"

1Z+b=0

把A(-4,0),。(0,2)代入得：人。，

[0=2

k=—

解得：2,

6=2

...直线熊的解析式为y=gx+2,

1、31

]^D(rn,--m2-—m+2),则P(祖,/"z+2),

.13_Ac\12c3

z——m2——加+2x)-(一根+2)=——m-2m=一,

22222

解得：6=-3或加=-1,

3

13一73

•.•y=-92-9+2的对称轴为直线》=——2r=-9,点〃是对称轴左侧抛物线上一点,

222x(-1)2

:・m=—3,

，D(-3,2)；

(3)

如图，作/C4O的角平分线为AM,作MN±AC交于点N,过点｛作KTLy轴交于点T,

由A(T,0),0(-3⑵得直线AD解析式为y=2x+8,

AC=ylo/r+OC2=A/42+22=2石，F(0,8)，

•••〃是点C的对称点，

/.”(0,-2),

由A(Y,0),"(0,-2)得直线〃/解析式为y=-：x-2,

AH=AC=2也,

设何(0,f),

则。A/=WCM=2—t,CN=AC—AN=4C—OA=26—4,

/+(26-心(27)2,

解得：Z=4A/5-8,

丁ZKCH=-ZCAO,

2

，/KCT=NMAO,

:4CTK=ZAOM=90°,

，ACTX,

CTKT2+(-n+2)

----=------，即2-n

AOMO----------------45/5-8

解得："="星竺，

5

1c875-10

——n-2=-------------,

25

-16后-4084-10、

K(一一-「)，

由题知：AHTKfHOA,

16石-40

HKKT

,即HK二

~HA~~AO5

2垂)-4

解得：HK=4石-8,

AK=2后-(4石-8)=8-2退，

GH=AK+A//=8-2石+2后=8,

•；GF:G"=3:4,

AGF=6,

,/FH=8+2=10,

•••△FGH是直角三角形,

设G(x,gx+2),

5ra/=^x6x8=^xl0x,

解得：后日，

L+23

25

・・・G(y,y),

24223

由“。，8）,G（f《）得直线FG的解析式为k一片+8,

•:CRIGH,

：.CR//FG,

3

・・・直线CR解析式为尸亍+c,

3

把CQ2)代入得：,=---2.

3「

y=——x+2

.4

123「

y=­x—x+2

22

3

x-——

x=°广2

解得:G或1

y=225

y=一

「8

325

•・•。（-万，石）

【点睛】

本题考查二次函数综合问题，还涉及了解直角三角形以及相似三角形的判定与性质，属于中考压轴

题，掌握用待定系数法求解析式是解题的关键.

2、河宽EF的长约为53m

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的判定可得CE=3C=80m,在MA3c尸中，由三角函数的定义求出CF的长，根据线段

的和差即可求出£下的长度.

【详解】

解：在RfVBCE中，BC=80m,NBEC=QBE=45。,

：.NCBE=45。,

：.NBEC=NCBE=45。,

：.CE=5C=80m.

在RABCF中，BC=80m,NBFC=/DBF=31°,tanZBFC=—,

CF

：.—x0.60,

CF

：.CF®133.3,

，EF=CF-CE=133.3-80=53.3»53(m).

答：河宽E尸的长约为53m.

【点睛】

此题主要考查了解直角三角形的应用一-仰角俯角问题，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键.

3、(1)V6-3(2)

2

【解析】

【分析】

(1)根据特殊角的三角函数值化简，故可求解;

(2)根据特殊角的三角函数值化简，故可求解.

【详解】

(1)6sinQO°-4cos*30°+s力?45°,tan6Q°

=72X^-4x[f

且一4x3+远

242

V6-3

（2）J2cos230"-2cos300+sin2300

=“-4肉3

2-73

【点睛】

此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值、二次根式的运算即完全平方公式

的运算.

4、建筑物切的高度约为45m.

【解析】

【分析】

如图所示，过点4作力反1切于反先证明/后四，然后证明四边形4?应是矩形，则/后劭=30m,

年=0斤30m,DE=AEtanZE4D=3Otan26.6°®15m,由此即可得到答案.

【详解】

解：如图所示，过点力作熊J_G?于£,

.•.//3//力90°,

,：ZCAB=45°,

年45°,

：.ZC=ZCAE,

:.A拄CE,

,：ABVBD,CD1BD,

:./ABANBD片90°,

四边形48龙是矩形，

心勿=30m,

6^=4田30m,DE=AE-tanN£AD=3Otan26.6°x15m,

：.CD=CE^DE^^m,

答：建筑物切的高度约为451n.

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于

能够正确