专题08思想方法专题：勾股定理中的方程思想(原卷版+解析)(重点突围)

专题08思想方法专题：勾股定理中的方程思想【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】 1【考点二几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】 8【考点三实际问题中的方程思想】 10【典型例题】【考点一几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】例题：（2022·全国·八年级课时练习）如图，将直角三角形纸片沿AD折叠，使点B落在AC延长线上的点E处．若AC＝3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022秋·浙江·八年级期末）如图，Rt中，，现将沿进行翻折，使点A刚好落在上，则_____．2．（2022·江苏苏州·八年级期末）如图，三角形纸片中，，，．是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在延长线上的点处，则的长为__________．3．（2022秋·北京西城·八年级北京市第三十五中学校考期末）在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点A重合，则的长为___________．4．（2022秋·山东济南·八年级济南育英中学校考期末）如图，已知长方形纸片，点在边上，且，，将沿直线翻折，使点落在点，延长交于点，则线段的长为________．5．（2022·全国·八年级专题练习）如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，求．6．（2022·福建漳州·八年级期末）在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线BP翻折得到△A'BP．(1)如图1，当A'在BC上时，连接AA'，求AA'的长；(2)如图2，当AP＝6时，连接A'D，求A'D的长．【考点二几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】例题：（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，则BC边上的高为_______．【变式训练】1．（2023春·八年级单元测试）如图，在等腰中，，，垂足为，已知，．(1)求与的长；(2)点是线段上的一动点，当为何值时，为等腰三角形．【考点三实际问题中的方程思想】例题：（2022春·河南安阳·八年级统考期末）如图，小强放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度OA．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出2米，然后把风筝线沿直线l向后拉开6米，发现风筝线末端B刚好接触地面，请你帮小强求出风筝距离地面的高度OA．【变式训练】1．（2022·全国·八年级课时练习）如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸2．（2022春·湖北十堰·八年级统考期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈＝10尺，1尺＝米），这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为一丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？请你用所学知识解答这个问题．3．（2022秋·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．(1)求旗杆距地面多高处折断（）；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？4．（2022·重庆市求精中学校八年级期中）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．(2)求原来的路线AC的长．5．（2022秋·八年级单元测试）如图，地面上放着一个小凳子，点距离墙面，在图①中，一根细长的木杆一端与墙角重合，木杆靠在点处，．在图②中，木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上点处．（1）求小凳子的高度；（2）若，木杆的长度比长，求木杆的长度和小凳子坐板的宽．6．（2022秋·福建宁德·八年级统考期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．(1)应用场景1—在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是；(2)应用场景2—解决实际问题．如图2，秋千由静止铅锤位置AB推至AC处，它的绳索始终拉直，量得水平距离，求绳索的长．专题08思想方法专题：勾股定理中的方程思想【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】 1【考点二几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】 8【考点三实际问题中的方程思想】 10【典型例题】【考点一几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】例题：（2022·全国·八年级课时练习）如图，将直角三角形纸片沿AD折叠，使点B落在AC延长线上的点E处．若AC＝3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由勾股定理求出AB，设CD=x，则BD=4-x，根据求出x得到CD的长，利用面积求出答案．【详解】解：∵∠ACB=90°，∴，由折叠得AE=AB=5，DE=BD，设CD=x，则BD=4-x，在△DCE中，∠DCE=90°，CE=AE-AC=5-3=2，∵，∴，解得x=1.5，∴CD=1.5，∴图中阴影部分的面积是，故选：B．【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·浙江·八年级期末）如图，Rt中，，现将沿进行翻折，使点A刚好落在上，则_____．【答案】##2.5【分析】设，将沿进行翻折，使点A刚好落在上，则．则直角中根据勾股定理，即可得到一个关于的方程，即可求得．【详解】解：设，则在Rt中，．则．在Rt中：．即：．解得：【点睛】此题考查了勾股定理的运用，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．2．（2022·江苏苏州·八年级期末）如图，三角形纸片中，，，．是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在延长线上的点处，则的长为__________．【答案】##【解析】【分析】利用勾股定理求出AC，根据折叠的性质得到AB=AB′=5，BD=B′D，求出B′C，设CD=x，在△B′CD中，利用勾股定理列出方程，解之即可．【详解】解：∵∠ACB=90°，BC=3，AB=5，∴AC==4，由折叠可知：AB=AB′=5，BD=B′D，∴B′C=AB′-AC=1，设CD=x，则BD=B′D=3-x，在△B′CD中，，即，解得：x=，即CD=，故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，利用折叠的性质求出B′C的长是解题的关键．3．（2022秋·北京西城·八年级北京市第三十五中学校考期末）在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点A重合，则的长为___________．【答案】【分析】设，则，根据折叠的性质，勾股定理列方程求解即可；【详解】解：设，则，由题意得，由勾股定理得，∴，解得，即的长为；故答案为：【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，灵活使用勾股定理是解题的关键．4．（2022秋·山东济南·八年级济南育英中学校考期末）如图，已知长方形纸片，点在边上，且，，将沿直线翻折，使点落在点，延长交于点，则线段的长为________．【答案】【分析】由将沿直线翻折，使点落在点，可得，，，，设，则，根据勾股定理可得，即可解得答案．【详解】解：∵将沿直线翻折，使点落在点，∴，，，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，设，则，在中，，∴，解得，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了长方形中的翻折问题，勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质，得出．5．（2022·全国·八年级专题练习）如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，求．【答案】或【分析】分为两种情况，一种是点在线段上，另一种是点在的延长线上，利用勾股定理分别求解即可．【详解】解：①如图1，当点在线段上时，，，，三点共线，由折叠可知：，，，，，在中，由勾股定理，得；②如图2，当点在的延长线上时，，，，，设，则，，，，解得，，在中，由勾股定理，得；综上，的值为或．【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，解题的关键是正确进行分类讨论．6．（2022·福建漳州·八年级期末）在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线BP翻折得到△A'BP．(1)如图1，当A'在BC上时，连接AA'，求AA'的长；(2)如图2，当AP＝6时，连接A'D，求A'D的长．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据题意可得，再利用勾股定理，即可求解；（2）过点作于点M，延长交BC于点N，可得AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC，，AD=BC=10，再设，则，，在和中，根据勾股定理可得，，从而得到，，进而得到，再由勾股定理，即可求解．(1)解：根据题意得：，∴；(2)解：如图，过点作于点M，延长交BC于点N，根据题意得：AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥BC，，AD=BC=10，∴DP=4，∵，∴MN⊥BC，∴MN=AB=8，AM=BN，设，则，，在中，由勾股定理得，即，在中，由勾股定理得，即，由①②联立得：，把代入②得：或（舍去），∴，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，对应边相等是解题的关键．【考点二几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】例题：（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，则BC边上的高为_______．【答案】8【解析】【分析】作交的延长于点，在中，，在中,，根据列出方程即可求解．【详解】如图，作交的延长于点，则即为BC边上的高，在中，，在中,，，AB＝10，BC＝9，AC＝17，，解得，故答案为：8．【点睛】本题考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·八年级单元测试）如图，在等腰中，，，垂足为，已知，．(1)求与的长；(2)点是线段上的一动点，当为何值时，为等腰三角形．【答案】(1)，(2)当或3或3.6时，为等腰三角形【分析】（1）由勾股定理直接求得，设，由勾股定理列出的方程，即可求得；（2）分三种情况：，，，分别进行解答即可．【详解】（1）解：由勾股定理得，，设，则，在Rt中，由勾股定理得，，解得，；（2）解：当时，为等腰三角形，当时，如图，，，，，，当时，如图，过作于点，，设，则，，即，解得，，综上，当或3或3.6时，为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．【考点三实际问题中的方程思想】例题：（2022春·河南安阳·八年级统考期末）如图，小强放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度OA．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出2米，然后把风筝线沿直线l向后拉开6米，发现风筝线末端B刚好接触地面，请你帮小强求出风筝距离地面的高度OA．【答案】风筝距离地面的高度OA为8米【分析】设OA=x米，则AB=（x+2）米，依据勾股定理即可得到方程，进而得出风筝距离地面的高度OA．【详解】解：设OA=x米，则AB=（x+2）米，由图可得，，，在中，，即，解得．答：风筝距离地面的高度OA为8米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．【变式训练】1．（2022·全国·八年级课时练习）如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸【答案】C【解析】【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．【详解】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．2．（2022春·湖北十堰·八年级统考期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈＝10尺，1尺＝米），这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为一丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？请你用所学知识解答这个问题．【答案】水池里水的深度是4米，芦苇长为米【分析】根据题意，构建直角三角形，根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】．解：设水池里水的深度是x尺，则芦苇长为（x+1）尺，由题意得，x2+52=（x+1）2，解得：x=12，x+1=13，米，米，答：水池里水的深度是4米，芦苇长为米【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练地掌握勾股定理是解题的关键．3．（2022秋·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．(1)求旗杆距地面多高处折断（）；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？【答案】(1)旗杆距地面3m处折断(2)距离旗杆底部周围m的范围内有被砸伤的风险【分析】（1）设长为，则长，再利用勾股定理建立方程即可；（2）先画好图形，再求解，，再利用勾股定理可得答案．【详解】（1）解：由题意，知．因为，设长为，则长，则，解得．故旗杆距地面3m处折断；（2）如图．因为点D距地面，所以，所以，所以距离旗杆底部周围m的范围内有被砸伤的风险．【点睛】本题考查的是勾股定理的实际应用，熟练的从实际问题中构建直角三角形是解本题的关键．4．（2022·重庆市求精中学校八年级期中）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．(2)求原来的路线AC的长．【答案】(1)CH是从村庄C到河边的最近路；理由见解析；(2)原来的路线AC的长为1.25千米．【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明△CHB是直角三角形即可；（2）设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，再根据勾股定理解答即可．(1)解：是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25，BC2=2.25，∴CH2+BH2=BC2，∴△CHB是直角三角形，∴CH是从村庄C到河边的最近路；(2)设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，由勾股定理得：AC2=AH2+CH2∴x2=（x-0.9）2+1.22，解这个方程，得x=1.25，答：原来的路线AC的长为1.25千米．【点睛】本题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．5．（2022秋·八年级单元测试）如图，地面上放着一个小凳子，点距离墙面，在图①中，一根细长的木杆一端与墙角重合，木杆靠在点处，．在图②中，木杆