专题38二次函数中的宽高模型(原卷版+解析)

专题38二次函数中的宽高模型【模型展示】特点面积处理之“宽高模型”如图，试探究△ABC面积.如图1，过点C（定点）作CD⊥x轴交AB于点D，则S△ABC=S△ACD+S△BCD图1图2如图2，过点B作BF⊥CD于点F，过点A作AE⊥CD于点E，过点A作AG⊥x轴于点G，则S△ABC=S△ACD+S△BCD=CD·AE+CD·BF=CD·（AE+BF）=CD·OG说明：其中OG表示A、B两点之间在水平方向上的距离，可称为△ABC的水平宽，CD可称为△ABC的铅垂高，即S△ABC=×水平宽×铅垂高，可称为“宽高公式”结论S△ABC=×水平宽×铅垂高【模型证明】解决方案1、如图3，过点 A作AD⊥x轴交BC的延长线于点D，则S△ABC=S△ABD-S△ACD图3图4如图4，过点B作BH⊥AD交于点H，则S△ABC=S△ABD-S△ACD=AD·BH-AD·CG=AD·（BH-CG）=AD·OC说明：OC是△ABC的水平宽，AD是△ABC的铅垂高.2、如图5，过点B作BD⊥y轴交AC于点D，则S△ABC=S△ABD+S△BCD图5图6如图6，过点C作CH⊥BD于点H，过点A作AG⊥x轴于点G，交BD的延长线于点E，则S△ABC=S△ABD+S△BCD=BD·AE+BD·CH=BD·（AE+CH）=BD·AG说明：BD是△ABC的水平宽，AG是△ABC的铅垂高.3、如图7，过点 A作AE⊥y轴于点E，延长AE交BC反向延长线于点D，则S△ABC=S△ACD-S△ABD图7图8如图8，过点C作CF⊥AD交于点F，则S△ABC=S△ACD-S△ABD=AD·CF-AD·BE=AD·（CF-BE）=AD·OB说明：AD是△ABC的水平宽，OB是△ABC的铅垂高.[反思总结]无论点A、B、C三点的相对位置如何，“宽高模型”对图形面积求解总是适用，其证明方法、证明过程、最终结论都基本一致，利用大面积-小面积或割补法求解，体现出数学中“变中不变”的和谐统一之美.【题型演练】1、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；

在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：

“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．

例如：三点坐标分别为A（1，2），B（-3，1），C（2，-2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．

（1）已知点A（1，2），B（-3，1），P（0，t）．

①若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；

②直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．

（2）已知点E（4，0），F（0，2），M（m，4m），N（n，），其中m＞0，n＞0．

①若E，F，M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围；

②直接写出E，F，N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围．3、如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A（-4，0），B（2，0），在y轴上有一点E（0，-2），连接AE．

（1）求二次函数的表达式；

（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．

①求△ADE面积最大值并写出此时点D的坐标；

②若tan∠AED=，求此时点D坐标；

（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A，则动点Q所经过的路径长等于（直接写出答案）4．（2020·浙江杭州·九年级专题练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，顶点坐标为．则与的面积之比是（

）．A． B． C． D．5、如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标;（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积;（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．6、如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．（1）求b,c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.7、如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.8、如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；(3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.图图-2xCOyABD119、如图，抛物线与x轴交于A(1,0),B(-3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.专题38二次函数中的宽高模型【模型展示】特点面积处理之“宽高模型”如图，试探究△ABC面积.如图1，过点C（定点）作CD⊥x轴交AB于点D，则S△ABC=S△ACD+S△BCD图1图2如图2，过点B作BF⊥CD于点F，过点A作AE⊥CD于点E，过点A作AG⊥x轴于点G，则S△ABC=S△ACD+S△BCD=CD·AE+CD·BF=CD·（AE+BF）=CD·OG说明：其中OG表示A、B两点之间在水平方向上的距离，可称为△ABC的水平宽，CD可称为△ABC的铅垂高，即S△ABC=×水平宽×铅垂高，可称为“宽高公式”结论S△ABC=×水平宽×铅垂高【模型证明】解决方案1、如图3，过点 A作AD⊥x轴交BC的延长线于点D，则S△ABC=S△ABD-S△ACD图3图4如图4，过点B作BH⊥AD交于点H，则S△ABC=S△ABD-S△ACD=AD·BH-AD·CG=AD·（BH-CG）=AD·OC说明：OC是△ABC的水平宽，AD是△ABC的铅垂高.2、如图5，过点B作BD⊥y轴交AC于点D，则S△ABC=S△ABD+S△BCD图5图6如图6，过点C作CH⊥BD于点H，过点A作AG⊥x轴于点G，交BD的延长线于点E，则S△ABC=S△ABD+S△BCD=BD·AE+BD·CH=BD·（AE+CH）=BD·AG说明：BD是△ABC的水平宽，AG是△ABC的铅垂高.3、如图7，过点 A作AE⊥y轴于点E，延长AE交BC反向延长线于点D，则S△ABC=S△ACD-S△ABD图7图8如图8，过点C作CF⊥AD交于点F，则S△ABC=S△ACD-S△ABD=AD·CF-AD·BE=AD·（CF-BE）=AD·OB说明：AD是△ABC的水平宽，OB是△ABC的铅垂高.[反思总结]无论点A、B、C三点的相对位置如何，“宽高模型”对图形面积求解总是适用，其证明方法、证明过程、最终结论都基本一致，利用大面积-小面积或割补法求解，体现出数学中“变中不变”的和谐统一之美.【题型演练】1、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；

解：（1）y=-x2-2x+3；如图，过点P作PQ//y轴，交AC于点Q，∵A（-3,0），B（0,3）∴直线AC：y=x+3设P（x,-x2-2x+3），Q（x，x+3）∴PQ=-x2-2x+3-(x+3)=-x2-3x∴S△PAC=PQ·OA∴（-x2-3x）·3=3解得：x1=-1,x2=-2∴P（-1,4）或（-2,3）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：

“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．

例如：三点坐标分别为A（1，2），B（-3，1），C（2，-2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．

（1）已知点A（1，2），B（-3，1），P（0，t）．

①若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；

②直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．

（2）已知点E（4，0），F（0，2），M（m，4m），N（n，），其中m＞0，n＞0．

①若E，F，M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围；

②直接写出E，F，N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围．解：（1）①由题意：a=4．

当t＞2时，h=t-1，

则4（t-1）=12，可得t=4，故点P的坐标为（0，4）；

当t＜1时，h=2-t，

则4（2-t）=12，可得t=-1，故点P

的坐标为（0，-1）；

②∵根据题意得：h的最小值为：1，

∴A，B，P三点的“矩面积”的最小值为4；

故答案为：4；

（2）∵E，F，M三点的“矩面积”为8，

∴a=4，h=2，∴0≤m≤．

∵m＞0，

∴0＜m≤．3、如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A（-4，0），B（2，0），在y轴上有一点E（0，-2），连接AE．

（1）求二次函数的表达式；

（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．

①求△ADE面积最大值并写出此时点D的坐标；

②若tan∠AED=，求此时点D坐标；

（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A，则动点Q所经过的路径长等于（直接写出答案）解：（1）将A（-4，0），B（2，0）代入y=ax2+bx+6（a≠0），可得：a=，b=∴y=x2x+6（2）①如图所示，由“宽高模型”易证得S△ADE=DF·OE由A（-4,0）E（0，-2）可得：直线AE解析式为：y=x-2设D（x，x2x+6）则F点的纵坐标为x2x+6∵点F在直线AE上，∴F的横坐标为x2x-16∴DF=x2x+16又OE=2∴S△ADE=DF·OE=x2x+16=（x+）2+∵<0，∴抛物线开口向下∴当x=-时，S△ADE取最大值，此时点D（-，）②如图，过点A作AH⊥DE交DE于点H，∵tan∠AED=，∴∵OA=4，OE=2∴AE=∴AH=，HE=3易证△AHG∽△EOG∴=设OG=m，则HG=m∴GE=HE-HG=3-m∴在Rt△OGE中，由勾股定理可得：m=2∴OG=2∴G（-2,0）∴直线GE解析式为：y=-x-2∴联立抛物线和直线GE函数解析式，可得：D（）（3）如图所示，∵Q点随P点运动而运动，P点在线段AC上运动，

∴Q点的运动轨迹是线段，

当P点在A点时，Q（-4，-4），

当P点在C点时，Q（-6，6），

∴Q点的轨迹长为2.4．（2020·浙江杭州·九年级专题练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，顶点坐标为．则与的面积之比是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出C和D点坐标，然后根据三角形面积公式，可知S△ABC：S△ABD=BC边上的高之比，进而即可求解．【详解】∵，∴C点坐标为(0，−2)，D点坐标为(−1，−)，∵△ABC与△ABD的底相同，高线长分别为2和，∴S△ABC：S△ABD=2：=．故选B．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与平面几何的综合，掌握二次函数图象的顶点坐标以及与y轴交点坐标的求法，是解题的关键．5、如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标;（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积;（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．【解析】解：（1）令，得解得令，得∴ABC（2）∵OA=OB=OC=∴BAC=ACO=BCO=∵AP∥CB，∴PAB=过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形令OE=，则PE=∴P∵点P在抛物线上∴解得，（不合题意，舍去）

∴PE=∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE=(3)．假设存在∵PAB=BAC=∴PAAC∵MG轴于点G，∴MGA=PAC=在Rt△AOC中，OA=OC=∴AC=在Rt△PAE中，AE=PE=∴AP=设M点的横坐标为，则M①点M在轴左侧时，则(ⅰ)当AMGPCA时，有=∵AG=，MG=即解得（舍去）（舍去）(ⅱ)当MAGPCA时有=即解得：（舍去）∴M②点M在轴右侧时，则(ⅰ)当AMGPCA时有=∵AG=，MG=∴解得（舍去）∴M(ⅱ)当MAGPCA时有=即解得：（舍去）∴M∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似M点的坐标为，，6、如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．（1）求b,c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.【解析】解：（1）由已知得：A（-1，0）B（4，5）∵二次函数的图像经过点A（-1，0）B(4,5)∴解得：b=-2c=-3（2）如２６题图：∵直线AB经过点A（-1，0）B(4,5)∴直线AB的解析式为：y=x+1∵二次函数∴设点E(t，t+1),则F（t，）∴EF==∴当时，EF的最大值=∴点E的坐标为（，）（3）①如２６题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形ＥＢＦＤ．可求出点F的坐标（，）,点D的坐标为（1，-4）S=S+S==②如２６题备用图：ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,)则有：解得:,∴,ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于，设（n，）则有：解得：，（与点F重合，舍去）∴综上所述：所有点P的坐标：，（.能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．7、如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.解：（1）B（1，）（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1,），得，因此（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.设直线AB为y=kx+b.所以，因此直线AB为，当x=－1时，，因此点C的坐标为（－1，/3）.（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.当x=