专题18二次函数中线段、周长、面积最值问题(重点突围)(原卷版+解析)

专题18二次函数中线段、周长、面积最值问题【中考考向导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【直击中考】 1【考向一二次函数中求线段和最值问题】 1【考向二二次函数中求三角形周长最值问题】 13【考向三二次函数中求三角形面积最值问题】 18【直击中考】【考向一二次函数中求线段和最值问题】例题：（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如已知二次函数的图象过点和点，且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是．(1)求抛物线的解析式；(2)写出这个二次函数图象的对称轴、顶点坐标：(3)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值．【变式训练】1．（2023秋·安徽合肥·九年级校考期末）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点D，交直线BC于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)求线段的最大值；(3)当时，求点的坐标．2．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）抛物线分别交x轴于点，，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且．(1)求抛物线的表达式；(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；(3)在M，N移动的过程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，请写出理由．3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，抛物线的图象与直线有唯一交点．(1)求抛物线和直线的解析式；(2)若点拋物线与轴的交点分别为点、，抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由．(3)直线与轴交于点，点是轴上一动点，请你写出使是等腰三角形的所有点的横坐标．4．（2022·山东济南·校考一模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线过点A．(1)求出抛物线解析式的一般式；(2)抛物线上的动点D在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点D的坐标；(3)若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求的最小值．【考向二二次函数中求三角形周长最值问题】例题：（2020·贵州遵义·统考一模）已知抛物线经过、、三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使以、、为顶点的三角形为直角三形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练】1．（2022秋·山东菏泽·九年级校考期末）如图，抛物线与轴交于，两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由．【考向三二次函数中求三角形面积最值问题】例题：（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线．(1)求抛物线的解析式；(2)点D是第三象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值．【变式训练】1．（2023·湖北省直辖县级单位·校考一模）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点D，与x轴交于点A和点B，其中B的坐标为．直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为．(1)求抛物线和直线l的解析式；(2)直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为t．当t为何值时，四边形是平行四边形？(3)在（2）的条件下，设的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？2．（2023秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，抛物线与x轴交于，两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在抛物线的第二象限图像上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由．专题18二次函数中线段、周长、面积最值问题【中考考向导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【直击中考】 1【考向一二次函数中求线段和最值问题】 1【考向二二次函数中求三角形周长最值问题】 13【考向三二次函数中求三角形面积最值问题】 18【直击中考】【考向一二次函数中求线段和最值问题】例题：（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如已知二次函数的图象过点和点，且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是．(1)求抛物线的解析式；(2)写出这个二次函数图象的对称轴、顶点坐标：(3)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值．【答案】(1)(2)二次函数图象的对称轴为直线、顶点坐标为(3)【分析】（1）将点和点，代入解析式，待定系数法求解析式即可求解；（2）将解析式化为顶点式即可求解；（3）根据二次函数图象的对称性得出的最小值为的长，勾股定理即可求解．【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点和点，∴解得：∴；（2）解：，∴二次函数图象的对称轴为直线、顶点坐标为（3）解：令中，，则，∴，∵，关于对称轴对称，则，连接，交对称轴于点，则此时取最小值，∵,，∴，此时．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·安徽合肥·九年级校考期末）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点D，交直线BC于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)求线段的最大值；(3)当时，求点的坐标．【答案】(1)(2)最大值为(3)【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求出，利用待定系数法求出的解析式为：，根据直线轴，可知点P、E的横坐标相等，设为m，且，可得，，即可得，问题得解；（3）过C点作于点F，先证明四边形是矩形，即有，在等腰中，有，根据点P、E的横坐标相等，设为m，且，即有，，可得，再根据，，可得，解方程即可求解．【详解】（1）将、代入中，可得：，解得：，即抛物线解析式为：；（2）当时，，∴，设的解析式为：，又∵，∴，解得：，即的解析式为：，∵直线轴，∴点P、E的横坐标相等，设为m，且，∴，，∴，∴，∵，∴当时，有最大值，最大值为，即最大值为；（3）过C点作于点F，如图，∵，∴，∵，直线轴，，∴四边形是矩形，∴，∵，，∴在等腰中，有，∵直线轴，∴点P、E的横坐标相等，设为m，且，∴，，∴，∵，，∴，且，解得，或者（舍去），当时，，∴，即点坐标为：．【点睛】本题主要考查了待定系数法求解抛物线解析式，等腰三角形的性质，二次函数的图象与性质以及解一元二次方程等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．2．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）抛物线分别交x轴于点，，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且．(1)求抛物线的表达式；(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；(3)在M，N移动的过程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，请写出理由．【答案】(1)(2)，见解析(3)有，最小值为【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）在中，，，根据，有，即可得，问题得解；（3）先求出，即，即有，则的最小值是的最小值，即点D到AC的垂线段DN的长，问题随之得解．【详解】（1）把点，代入抛物线中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2），理由是：如图1，令，则，即，∵，，∴，，，在中，，，∵，∴，∴，∴，∴；（3）在M，N移动的过程中，有最小值是，理由如下：由（2）知：，∴，即，∴，∴的最小值是的最小值，即D、M、N三点共线时，点D到AC的垂线段DN的长，如图2，抛物线解析式为：；∴对称轴是：，即，∴，在中，，∴，即，∴在M，N移动的过程中，有最小值是．【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的性质，解直角三角形以及垂线段最短等知识．题目难度不大，细心作答即可．掌握二次函数的性质是解答本题的关键．3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，抛物线的图象与直线有唯一交点．(1)求抛物线和直线的解析式；(2)若点拋物线与轴的交点分别为点、，抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由．(3)直线与轴交于点，点是轴上一动点，请你写出使是等腰三角形的所有点的横坐标．【答案】(1)，(2)(3)或或或【分析】（1）将点代入，可求抛物线的解析式；将点代入，然后根据抛物线与直线由唯一交点，求出，即可求直线的解析式；（2）根据抛物线的对称轴可知M、N点关于对称轴对称，则当A、P、N三点共线时，有最小值，最小值为的长；（3）设，分别求出，，，再由等腰三角形三边关系，分类讨论即可．【详解】（1）将点代入，∴，解得，∴抛物线的解析式为，将点代入，∴，∴，∵抛物线的图象与直线有唯一交点，∴有两个相等实数根时，∴，解得，∴直线解析式为；（2）存在点P，使的值最小，理由如下，连接，，．当时，，解得或，∴，，∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵M、N点关于对称轴对称，∴，∴，∴当A、P、N三点共线时，有最小值，最小值为的长．∵，∴，∴的最小值为；（3）当时，，∴，设，∴，当时，，解得或（舍）；当时，，解得或；当时，，解得；综上所述：Q点横坐标为或或或．【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，勾股定理，等腰三角形的定义，轴对称的性质，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用抛物线的对称性求最小值的方法是解题的关键．4．（2022·山东济南·校考一模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线过点A．(1)求出抛物线解析式的一般式；(2)抛物线上的动点D在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点D的坐标；(3)若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求的最小值．【答案】(1)；(2)，；(3)3．【分析】（1）利用函数求解的坐标，再把的坐标代入二次函数解析式可得答案，（2）过点作轴交于，得到，利用二次函数的性质可得答案，（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，证明，从而得到，从而可得答案．【详解】（1）解：令，解得：，∴点，∴，∴，∴，即．（2）解：令，化简可得：解得或，如图，过点作轴交于，设，，则，∴，所以：①当时，；②当时，；∴，∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为．（3）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点．∵，，∴，，∴，设则∴，∴，∵、关于轴对称，∴，∴，此时最小．∵，∴，∴，∴的最小值是3．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最大值，同时考查利用轴对称求线段和的最小值，同时考查锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．【考向二二次函数中求三角形周长最值问题】例题：（2020·贵州遵义·统考一模）已知抛物线经过、、三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使以、、为顶点的三角形为直角三形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】（1）把三点坐标代入，得到关于的方程组即可；（2）因为长度确定，所以的周长最小，等同于最小，问题转化为：在直线取一点使得到两定点的距离之和最小（“将军饮马”模型），所以在同一条直线，在利用待定系数法求出直线的解析式即可确定点坐标；（3）分别讨论直角顶点在、、的情况，计算即可，见详解．【详解】（1）解：把、、三点分别代入得：，解得，．（2）解：与关于直线对称，点在直线上，当点在线段与直线的交点时，最短，的周长=，的长度确定，当最小时，的周长最小，由以上可知：当点在线段与直线的交点时，的周长最小，设线段所在直线方程为：，把、代入得：解得：直线的解析式为：直线为：，将代入得：，即点坐标为，（3）解：要使以、、为顶点的三角形为直角三形，只要考虑直角顶点分别为、、情况，如图1所示：（a）直角顶点为时，过点作交直线于点，设直线与轴交点为，则，根据相似三角形对应边成比例性质得：

其中：，，，计算可得：，故点坐标为：（b）直角顶点为时，过点作交直线于点，过点作轴垂线，垂足为点，，由相似性质定理可得：其中：，，，计算可得：，则，故点坐标为：（c）直角顶点为时，点为以线段为直径的圆与直线的交点，过点作垂足为点

如图2所示：在与中有：，，

其中：，，，代入数据整理得：即，或，即或，点坐标为或．故答案为：或或或．【点睛】本题考查了二次函数表达式求解，动点+最值问题，以及相似和圆的知识，综合性较大，其中第（3）问的关键是要分情况讨论各种直角顶点存在性和计算结果，特别是直角顶点为点时就用到“直径所对圆周角是直角”这一原理和“一线三等角”模型．【变式训练】1．（2022秋·山东菏泽·九年级校考期末）如图，抛物线与轴交于，两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由．【答案】(1)抛物线的解析式为：(2)存在，点的坐标为(3)存在，最大值为【分析】（1）根据题意可知，将点、的坐标代入函数解析式，列出方程组即可求得、的值，求得函数解析式；（2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点的对称点，求得直线的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；（3）设，过点作轴交于点，连接、、，根据，将表示成二次函数，再根据二次函数的性质，即可求得的最大值．【详解】（1）解：将，代入中，可得：，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）解：存在，理由如下：如图，∵、两点关于抛物线的对称轴对称，∴直线与的交点即为点，此时周长最小，连接、，∵点是抛物线与轴的交点，∴的坐标为，又∵，∴直线解析式为：，∴点坐标即为，解得：，∴；（3）解：存在，理由如下：如图，设，过点作轴交于点，连接、、，∵，若有最大值，则就最大，∴，∵，又∵，∴，∴，∴，∴当时，最大值为．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用．【考向三二次函数中求三角形面积最值问题】例题：（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线．(1)求抛物线的解析式；(2)点D是第三象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由得，结合对称轴建立方程组求解即可；（2）如图，由（1）求出即，即设是第三象限内抛物线上的动点，根据，用坐标表示三角形面积即可求解．【详解】（1）解：，，对称轴为，，解得：，抛物线解析式为：；（2）如图，抛物线与x轴交于点，对称轴为，即，抛物线解析式为：，,即，设是第三象限内抛物线上的动点，则且，，开口向下，当时有最大值，面积的最大值为．【点睛】本题考查了代入法求二次函数解析式、二次函数的图像和性质求三角形最大面积；解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．【变式训练】1．（2023·湖北省直辖县级单位·校考一模）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点D，与x轴交于点A和点B，其中B的坐标为．直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为．(1)求抛物线和直线l的解析式；(2)直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为t．当t为何值时，四边形是平行四边形？(3)在（2）的条件下，设的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？【答案】(1)；(2)(3)，【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）根据平行四边形的性质可得，，得到关于的方程，求解即可；（3）由题意可得，利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：将点、点代入抛物线解析式