专项23三角形的内心与外心(原卷版+解析)

专项23三角形的内心与外心考点1三角形的内心（1）三角形的内切圆：在三角形内部且与三角形三边都相切的圆；（2）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，实质是三角形的三个内角平分线交点；【解题技巧】（3）见到三角形的内心就想以下两点：①角平分线：内心与顶点的连线必然平分三角形的内角.如图，点O为△ABC的内心，连接AO、BO、CO，必有AO平分∠CAB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB②等距：内心到三角形三边的距离必定相等.如图，点O为△ABC的内心，过点O作三边的垂线，必有OD=OE=OF.注意：内切圆及有关计算。（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r=。BOAD（3）S△ABC=BOAD（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。C考点2三角形的外心（1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆；（2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，实质是三角形的三条边的垂直平分线交点；【解题技巧】（3）见到三角形的外心就想以下两点：①垂直平分线：外心到三角形三边的垂线必然平分三条边.如图，点P为△ABC的外心，若PD⊥AC，PE⊥BC，必有AD=CD，BE=CE.②等距：外心到三角形三个顶点的距离必然相等.如图，点P为△ABC的外心，连接PA、PB、PC，必有PA=PB=PC.（4）与三角形外心有关的角度问题：①外心在三角形的内部三角形为锐角三角形三个角都小于90°②外心在三角形的边上三角形为直角三角形有一个角为90°；③外心在三角形的外部三角形为钝角三角形有一个角大于90°.【考点1三角形的内心】【典例1】（2022•河池模拟）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，AB＝14，BC＝13，CA＝9，则AD的长是（）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【变式1-1】（2022•五华区校级三模）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．已知△ABC的周长为36，AB＝9，BC＝14，则AF的长为（）A．4 B．5 C．9 D．13【典例2】（2019秋•江岸区校级月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F．若AD＝10，BC＝5，则OB的长为（）A．4 B． C． D．【变式2-1】（2021秋•南丹县期末）如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，AC，BC相切于点D，E，F．若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径等于．【变式2-2】（2021秋•南开区期末）图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是．【典例3】（2019秋•岳麓区校级月考）如图为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线分别交AB、AC于D、E两点，若△ABC的周长与△ADE的周长的差等于12，则BC的长为（）A．12 B．10 C．8 D．6【变式3-1】（2021秋•陵城区期末）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（）A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm【变式3-2】（2022春•西乡塘区校级期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为．【典例4】（2022•黄石模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是步．【变式6】（2022•石家庄模拟）如图，已知△ABC的周长是20，点O为三角形内心，连接OB、OC，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是（）A．20 B．25 C．30 D．35【典例7】（2022•海曙区校级开学）如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于（）A．100° B．104° C．105° D．114°【变式7-1】（2021秋•大余县期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝（）A．125° B．115° C．100° D．130°【变式7-2】（2020秋•曲靖期末）如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝65°，∠C＝75°，则∠EDF的度数是（）A．65° B．140° C．55° D．70°【考点2三角形的外心】【典例8】（2022•沈阳模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径长为（）A． B．2 C．3 D．4【变式8-1】（2022•东营模拟）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α，AB为∠OBC的角平分线，则∠BCA等于（）A． B． C． D．【变式8-2】（2022•瓜州县校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝110°．AB＝BC，AD是⊙O的直径．则∠DAB的度数是（）A．35° B．55° C．65° D．70°【典例9】（2022•邵阳）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB＝3，则⊙O的半径是（）A． B． C． D．【变式9-1】（2022•怀宁县模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC于点P，，则⊙O的直径为（）A． B． C．6 D．12【变式9-2】（2021秋•通州区期末）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若⊙O的半径为2，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．【典例10】（2021秋•无锡期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．则△ABC的外心坐标为（）A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）【变式10】（2021秋•盐都区月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）1．（2021秋•鄞州区期末）直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（）A．12 B．14 C．16 D．182．（2021秋•兰山区期末）等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（）A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：23．（2022•新洲区模拟）如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（）A． B． C．2 D．44．（2022•梧州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（）A．60° B．62° C．72° D．73°5．（2022•衢州一模）如图，BD是△ABC外接圆的直径，BE⊥AC于点E，连结CD．若∠ABE＝40°，则∠CBD的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°6．（2022•宁津县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是（）A． B． C． D．7．（2022•龙岗区模拟）如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（）A．40° B．55° C．70° D．110°8．（2022•朝阳区校级一模）如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB为⊙O的直径，若OC＝AC＝5，则BC长为（）A．10 B．9 C．8 D．59．（2022•云南模拟）如图，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径．若OA＝3，则劣弧BD的长是（）A． B．π C． D．2π10．（2021秋•长乐区期末）在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为步．11．（2022•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，⊙O是它的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，若∠ACB＝40°，则∠DOE＝．12．（2022•常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝，则⊙O的半径是．13．（2022•玉林）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来．14．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm．C为⊙O上一点，∠ACB＝60°，则AB的长为cm．15．（2022•玉林模拟）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝60°，则∠ACB＝．16．（2021秋•乌兰察布期末）如图，⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F、若AB＝5，AC＝6，BC＝7，求AD、BE、CF的长．17．（2022•鼓楼区一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，经过点A，C，D的圆与BC相交于点E，连接AE．（1）求证：△ABE是等边三角形．（2）F是上一点，且FA＝FC，连接EF．求证：EF＝BC．专项23三角形的内心与外心考点1三角形的内心（1）三角形的内切圆：在三角形内部且与三角形三边都相切的圆；（2）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，实质是三角形的三个内角平分线交点；【解题技巧】（3）见到三角形的内心就想以下两点：①角平分线：内心与顶点的连线必然平分三角形的内角.如图，点O为△ABC的内心，连接AO、BO、CO，必有AO平分∠CAB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB②等距：内心到三角形三边的距离必定相等.如图，点O为△ABC的内心，过点O作三边的垂线，必有OD=OE=OF.注意：内切圆及有关计算。（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r=。BOAD（3）S△ABC=BOAD（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。C考点2三角形的外心（1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆；（2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，实质是三角形的三条边的垂直平分线交点；【解题技巧】（3）见到三角形的外心就想以下两点：①垂直平分线：外心到三角形三边的垂线必然平分三条边.如图，点P为△ABC的外心，若PD⊥AC，PE⊥BC，必有AD=CD，BE=CE.②等距：外心到三角形三个顶点的距离必然相等.如图，点P为△ABC的外心，连接PA、PB、PC，必有PA=PB=PC.（4）与三角形外心有关的角度问题：①外心在三角形的内部三角形为锐角三角形三个角都小于90°②外心在三角形的边上三角形为直角三角形有一个角为90°；③外心在三角形的外部三角形为钝角三角形有一个角大于90°.【考点1三角形的内心】【典例1】（2022•河池模拟）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，AB＝14，BC＝13，CA＝9，则AD的长是（）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【答案】D【解答】解：设AD＝x，∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴AF＝AD，CE＝CF，BD＝BE，∵AB＝14，BC＝13，CA＝9，∴BD＝BE＝14﹣x，CF＝CE＝9﹣x，∵CE+BE＝BC＝13，∴9﹣x+14﹣x＝13，∴x＝5，∴AD＝5．故选：D．【变式1-1】（2022•五华区校级三模）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．已知△ABC的周长为36，AB＝9，BC＝14，则AF的长为（）A．4 B．5 C．9 D．13【答案】A【解答】解：设AF＝a，∵△ABC的周长为36，AB＝9，BC＝14，∴AC＝13，∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，∴AF＝AE，CE＝CD，BF＝BD，∵AB＝9，BC＝14，CA＝13，∴BD＝BF＝9﹣a，CD＝CE＝13﹣a，∵BD+CD＝BC＝14，∴（9﹣a）+（13﹣a）＝14，解得：a＝4，即AF＝4．故选：A．【典例2】（2019秋•江岸区校级月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F．若AD＝10，BC＝5，则OB的长为（）A．4 B． C． D．【答案】C【解答】解：连接OE、OF，如图所示：∵⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∴AD＝AF＝10，BD＝BE，CE＝CF，OE⊥BC，OF⊥AC，∵∠ACB＝90°，∴四边形OECF是正方形，∴OE＝CE＝CF，设BD＝BE＝x，则OE＝CF＝CE＝5﹣x．AC＝AF+CF＝10+5﹣x＝15﹣x，在Rt△ABC中，由勾股定理得：52+（15﹣x）2＝（10+x）2，解得：x＝3，∴BE＝3，OE＝2，∴OB＝＝＝；故选：C．【变式2-1】（2021秋•南丹县期末）如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，AC，BC相切于点D，E，F．若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径等于．【答案】2【解答】解：如图，连结OD，OE，OF，设⊙O半径为r，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，F，E，∴AC⊥OE，AB⊥OD，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，∴四边形OECF是正方形，∴CF＝CE＝OF＝r，∴AE＝AE＝AC﹣CE＝6﹣r，BF＝BD＝BC﹣CF＝8﹣r，∵AD+BD＝AB＝10，∴6﹣r+8﹣r＝10，∴r＝2．∴⊙O的半径等于2．故答案为：2．【变式2-2】（2021秋•南开区期末）图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是．【答案】6【解答】解：连接DO，EO，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝2，AF＝AE＝3，又∵∠C＝90°，∴四边形OECD是矩形，又∵EO＝DO，∴矩形OECD是正方形，设EO＝x，则EC＝CD＝x，在Rt△ABC中BC2+AC2＝AB2，故（x+2）2+（x+3）2＝52，解得：x＝1，∴BC＝3，AC＝4，∴S△ABC＝×3×4＝6，故答案为：6．【典例3】（2019秋•岳麓区校级月考）如图为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线分别交AB、AC于D、E两点，若△ABC的周长与△ADE的周长的差等于12，则BC的长为（）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】D【解答】解：如图，设⊙I与DE的切点为点M，⊙I与△ABC三边的切点分别为N、G、H，∵⊙I为△ABC的内切圆，∴DM＝DN，EM＝EH，BN＝BG，CH＝CG，∵△ABC的周长与△ADE的周长的差等于12，∴AB+AC+BC﹣（AD+DE+AE）＝12，即AD+DN+BN+AE+EH+CH+BC﹣（AD+DM+EM+AE）＝12，∴2BC＝12，∴BC＝6；故选：D．【变式3-1】（2021秋•陵城区期末）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（）A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm【答案】B【解答】解：∵圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，∴BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，∵△ABC周长为20cm，BC＝6cm，∴AE＝AD＝＝＝＝4（cm），∴△AMN的周长为AM+MG+NG+AN＝AM+ME+AN+ND＝AE+AD＝4+4＝8（cm），故选：B．【变式3-2】（2022春•西乡塘区校级期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为．【答案】7cm【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC＝5cm，∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．故答案为：7cm．【典例4】（2022•黄石模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是步．【答案】6【解答】解：设三角形为△ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，∴AB＝＝＝17，设内切圆的半径为r，则S△ABC＝（AB+BC+CA）•r，∴AC•BC＝（AB+BC+CA）•r，即×8×15＝×（8+15+17）•r，解得r＝3，∴内切圆的直径是6步，故答案为：6．【变式6】（2022•石家庄模拟）如图，已知△ABC的周长是20，点O为三角形内心，连接OB、OC，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是（）A．20 B．25 C．30 D．35【答案】C【解答】解：如图，连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，∵点O为三角形内心，OD⊥BC，∴OD＝OE＝OF＝3，∴S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC＝AB•OE+AC•OF+BC•OD＝×OD（AB+AC+BC）＝3×20＝30．故选：C．【典例7】（2022•海曙区校级开学）如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于（）A．100° B．104° C．105° D．114°【答案】B【解答】解：∵∠A＝28°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝152°，∵⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，∴∠IBC+∠ICB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝76°，∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣76°＝104°，故选：B．【变式7-1】（2021秋•大余县期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝（）A．125° B．115° C．100° D．130°【答案】A【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝180°+×70°＝125°．故选：A．【变式7-2】（2020秋•曲靖期末）如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝65°，∠C＝75°，则∠EDF的度数是（）A．65° B．140° C．55° D．70°【答案】D【解答】解：连接IE、IF，如图，∵内切圆I和边AC、AB分别相切于点E、F，∴OE⊥AC，OF⊥AB，∴∠AEI＝∠AFI＝90°，∴∠A＝180°﹣∠EIF，∵∠EDF＝∠EIF，∴∠EDF＝90°﹣∠A，∵∠B＝65°，∠C＝75°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，∴∠EDF＝90°﹣×40°＝70°．故选：D．【考点2三角形的外心】【典例8】（2022•沈阳模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径长为（）A． B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：如图，连接OA，OB，∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，在Rt△OAB中，OA2+OB2＝AB2，AB＝6，∴2OA2＝36，∴OA＝3，即⊙O的半径是3，故选：C．【变式8-1】（2022•东营模拟）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α，AB为∠OBC的角平分线，则∠BCA等于（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：连接OC，∵∠A＝α，∴∠O＝2∠A＝2α，∵OB＝OC，∴∠OBC＝×（180°﹣∠O）＝90°﹣α，∵AB为∠OBC的角平分线，∴∠ABC＝OBC＝45°﹣，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣α﹣（45°﹣）＝135°﹣α，故选：C．【变式8-2】（2022•瓜州县校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝110°．AB＝BC，AD是⊙O的直径．则∠DAB的度数是（）A．35° B．55° C．65° D．70°【答案】B【解答】解：∵AB＝BC，∠ABC＝110°，∴∠C＝35°，∴∠D＝∠C＝35°，∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠DAB＝90°﹣∠D＝90°﹣35°＝55°．故选：B．【典例9】（2022•邵阳）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB＝3，则⊙O的半径是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：连接OB，过点O作OE⊥BC，∵⊙O是等边△ABC的外接圆，∴OB平分∠ABC，∴∠OBE＝30°，又∵OE⊥BC，∴BE＝BC＝AB＝，在Rt△OBE中，cos30°＝，∴，解得：OB＝，故选：C．【变式9-1】（2022•怀宁县模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC于点P，，则⊙O的直径为（）A． B． C．6 D．12【答案】B【解答】解：∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∵OP⊥AC，∴∠APO＝90°，在Rt△AOP中，OP＝2，∠OAC＝30°，∴OA＝2OP＝4，∴圆O的直径为8．故选：B．【变式9-2】（2021秋•通州区期末）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若⊙O的半径为2，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，∴BC＝2BD，∵⊙O是等边△ABC的外接圆，∴∠BOC＝×360°＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝＝＝30°，∵⊙O的半径为2，∴OB＝2，∴BD＝OB•cos∠OBD＝2×cos30°＝2×＝，OD＝OB＝1，∴BC＝2．∴等边△ABC的面积为3S△BCO＝3×BC•OD＝3××1＝3．故选：D．【典例10】（2021秋•无锡期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．则△ABC的外心坐标为（）A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）【答案】D【解答】解：如图，根据网格点O′即为所求．∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是（﹣2，1）．故选：D．【变式10】（2021秋•盐都区月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）【答案】D【解答】解：∵点A，B的坐标为（1，4），（5，4），∴线段AB的垂直平分线方程为x＝3，同理，线段AC的垂直平分线方程为y＝1，∴△ABC外接圆的圆心坐标是（3，1），故选：D．1．（2021秋•鄞州区期末）直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【解答】解：如图，设⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，则∠CDI＝∠C＝∠CFI＝90°，ID＝IF＝1，∴四边形CDIF是正方形，∴CD＝CF＝1，由切线长定理得：AD＝AE，BE＝BF，CF＝CD，∵直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，∴AB＝6＝AE+BE＝BF+AD，即△ABC的周长是AC+BC+AB＝AD+CD+CF+BF+AB＝6+1+1+6＝14，故选：B．2．（2021秋•兰山区期末）等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（）A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：2【答案】B【解答】解：如图，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为r，作AH⊥BC于H，∵△ABC为等边三角形，∴AH平分∠BAC，即∠BAH＝30°，∴点O在AH上，∴OH＝r，连接OB，∵⊙O为△ABC的内切圆，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∴OA＝OB，在Rt△OBH中，OB＝2OH＝2r，∴AH＝2r+r＝3r，∴OH：OA：AH＝1：2：3，即等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3．故选：B．3．（2022•新洲区模拟）如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（）A． B． C．2 D．4【答案】B【解答】解：如图，过点C作CH⊥BO的延长线于点H，∵点O为△ABC的内心，∠A＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°+A＝120°，∴∠COH＝60°，∵OB＝2，OC＝4，∴OH＝2∴CH＝2，∴△OBC的面积＝OB•CH＝2×2＝2．故选：B．4．（2022•梧州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（）A．60° B．62° C．72° D．73°【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠D+∠C＝180°，∴∠D＝180°﹣∠C＝108°，∴∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠D＝72°，故选：C．5．（2022•衢州一模）如图，BD是△ABC外接圆的直径，BE⊥AC于点E，连结CD．若∠ABE＝40°，则∠CBD的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【解答】解：∵BD是△ABC外接圆的直径，BE⊥AC，∴＝，AE＝CE，∴AB＝CB，∴∠CBD＝∠ABE＝40°，故选B．6．（2022•宁津县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，∴∠ABO+∠ACO＝180°，∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙D的直径，∴D点为AB的中点，在Rt△ABO中，∠ABO＝60°，∴OB＝AB＝2，∴OA＝OB＝∴A（，0），B（0，2），∴D点坐标为（，1）．故选：B．7．（2022•龙岗区模拟）如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（）A．40° B．55° C．70° D．110°【答案】B【解答】解：连接OB，OC，∵∠D＝70°，∴∠BOC＝2∠D＝140°，∵OA⊥BC，∴∠COA＝，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣70°）＝55°，故选：B．8．（2022•朝阳区校级一模）如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB为⊙O的直径，若OC＝AC＝5，则BC长为（）A．10 B．9 C．8 D．5【答案】D【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∵OC＝AC＝5，∴AB＝2OC＝10，∴BC＝＝＝5．故选：D．9．（2022•云南模拟）如图，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径．若OA＝3，则劣弧BD的长是（）A． B．π C． D．2π【答案】B【解答】解：连接OB、BD，如图：∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝60°，∴∠D＝∠C＝60°，∵OB＝OD，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∵半径OA＝3，∴劣弧BD的长为＝π，故选：B．10．（2021秋•长乐区期末）在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为步．【答案】6【解答】解：根据勾股定理得：斜边AB＝＝17，∴内切圆直径＝8+15﹣17＝6（步），故答案为：6．11．（2022•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，⊙O是它的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，若∠ACB＝40°，则∠DOE＝．【答案】130°【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，∠ACB＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣40°＝50°，∵⊙O是R