专题02二次根式运算及运用(原卷版+解析)

专题02二次根式运算及运用专题说明专题说明二次根式运算及运用是本章节考试必考考点，也是为学习后面内容打下扎实基础。主要在解答题中的计算题或者材料阅读题为主。这个专题难度不大，但很重要，需要反复练习巩固。【考点刨析】考点1：分母有理化分母有理化：分母中的根号化去，叫做分母有理化有理化因式：如果两个二次根式相乘的积不含二次根式，那么这两个二次根式为有理化因式。有理化因式确定方法如下：①单项分母：利用.②两项分母：利用平方差公式如：考点2：二次根式的混合运算考点3：二次根式的大小比较方法1：公式法：将括号外的因数移到根号内，比较被开方数的大小平方法：将二次根式平方，去掉根号，再比较大小方法2：倒数法：下把元二次根式写出他的倒数，通过比较两者间倒数的大小，倒数的则原二次根式反而小。考点4：二次根式的化简求值【典例分析】【考点1：分母有理化】【典例1】（2022秋•丰城市校级期末）在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可将其进一步简化：＝；（一）＝＝；（二）＝＝＝；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：＝＝＝；（四）（1）化简＝＝（2）请用不同的方法化简．①参照（三）式得＝②步骤（四）式得＝（3）化简：+++…+．【变式1-1】（2022春•西宁期末）【观察】；﹣1；【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中与+1与﹣1相乘的积都不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式．【运用】（1）的有理化因式是；﹣2的有理化因式是；（2）将下列各式分母有理化：①；②．【典例1-2】（2021秋•渭滨区期末）（一）阅读下面内容：＝＝；＝＝﹣；＝＝﹣2．（二）计算：（1）；（2）（n为正整数）．（3）+++…+．【典例1-3】（2022春•浏阳市期中）阅读下列运算过程：①＝＝，②＝＝＝数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．模仿上述运算过程，完成下列各题：（1）（2）+++…+．【考点2：二次根式的混合运算】【典例2】（2022秋•丰泽区校级期末）计算：（1）；（2）．【变式2-1】（2022秋•渠县校级期末）计算：（1）﹣（2+）2．（2）3﹣﹣．【变式2-2】（2022秋•二道区校级期末）计算：（1）；（2）．【变式2-3】（2022秋•通川区校级期末）计算：（1）（﹣）（+）+；（2）．【变式2-4】（2022秋•邯山区期末）计算：（1）（+1）（﹣1）+﹣（）0；（2）（﹣）×+|﹣2|﹣（）﹣1．【考点3：二次根式的大小比较】【典例3】（2021秋•岳麓区校级月考）比较二次根式的大小：﹣4﹣3（填“＜”、“＝”、“＞”）．【变式3-1】（2020秋•昌平区期末）比较大小：（1）5；（2）．【变式3-2】（2021秋•市北区期末）比较大小：．（选填“＞”、“＝”、“＜”）．【典例4】比较与的大小，并说明理由；【变式4-1】比较与的大小.【变式4-2】请你灵活运用上面介绍的方法，比较每组中两个无理数的大．①﹣与﹣；②+与+；【考点4：二次根式的化简求值】【典例5】（2022春•湖北期末）求值：已知x＝﹣1，求x2+5x﹣6的值．（2）先化简，再求值：，其中m＝．【变式5-1】（2022春•长顺县月考）先化简，再求值．（6x+）﹣（4y+），其中x＝，y＝3．【变式5-2】（2022春•汝南县月考）先化简，再求值：x+y2﹣（x2﹣5x），其中．【变式5-3】（2022秋•城关区校级期末）先化简，后求值：，其中．【夯实基础】1．（2012春•仁寿县校级期中）比较二次根式的大小：23．2．（2021秋•大丰区期末）比较大小：47．（填“＞”、“＝”、“＜”）3．（2021秋•浦东新区校级月考）比较大小：．（填“＞”“＝”“＜”）4．（2022秋•仓山区校级期末）计算：（1）．（2）．5．（2022秋•宣汉县校级期末）计算．（1）；（2）．6．（2022秋•青浦区校级期末）计算：．7．（2022秋•南关区校级期末）计算：（﹣2）×．8．（2022秋•沙坪坝区期末）计算：（1）（x+2）2﹣x（x+4）；（2）．9．（2022秋•北碚区校级期末）计算：．10．（2022秋•临湘市期末）计算：（1）﹣22+﹣2×；（2）．11．（2022秋•朝阳区校级期末）计算：．12．（2022秋•中宁县期末）化简计算：（1）﹣2；（2）．13．（2020•罗湖区校级一模）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a＝3，b＝2﹣．14．先化简，再求值：（1）﹣，其中x＝﹣；（2）÷（1﹣），其中a＝2+，b＝2﹣．15．（2022•东平县校级开学）化简计算（1）先化简，再求值：，其中．【能力提升】16．（2022•杭州模拟）在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还需要将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．也可以用如下方法化简：．（1）请用两种不同的方法化简；（2）选择合适的方法化简（n为正整数）；（3）求的值．专题02二次根式运算及运用专题说明专题说明二次根式运算及运用是本章节考试必考考点，也是为学习后面内容打下扎实基础。主要在解答题中的计算题或者材料阅读题为主。这个专题难度不大，但很重要，需要反复练习巩固。【考点刨析】考点1：分母有理化分母有理化：分母中的根号化去，叫做分母有理化有理化因式：如果两个二次根式相乘的积不含二次根式，那么这两个二次根式为有理化因式。有理化因式确定方法如下：①单项分母：利用.②两项分母：利用平方差公式如：考点2：二次根式的混合运算考点3：二次根式的大小比较方法1：公式法：将括号外的因数移到根号内，比较被开方数的大小平方法：将二次根式平方，去掉根号，再比较大小方法2：倒数法：下把元二次根式写出他的倒数，通过比较两者间倒数的大小，倒数的则原二次根式反而小。考点4：二次根式的化简求值【典例分析】【考点1：分母有理化】【典例1】（2022秋•丰城市校级期末）在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可将其进一步简化：＝；（一）＝＝；（二）＝＝＝；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：＝＝＝；（四）（1）化简＝＝（2）请用不同的方法化简．①参照（三）式得＝②步骤（四）式得＝（3）化简：+++…+．【解答】解：（1）＝＝，＝＝．故答案为：，；（2）①原式＝＝﹣．故答案为：﹣；②原式＝＝＝﹣．故答案为：﹣；（3）原式＝+++…+＝＝．【变式1-1】（2022春•西宁期末）【观察】；﹣1；【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中与+1与﹣1相乘的积都不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式．【运用】（1）的有理化因式是；﹣2的有理化因式是；（2）将下列各式分母有理化：①；②．【解答】解：（1）的有理化因式是；﹣2的有理化因式是，故答案为：；；（2）①＝＝＝；②＝＝＝﹣．【典例1-2】（2021秋•渭滨区期末）（一）阅读下面内容：＝＝；＝＝﹣；＝＝﹣2．（二）计算：（1）；（2）（n为正整数）．（3）+++…+．【解答】解：（二）（1）原式＝﹣；（2）﹣；（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣＝﹣1＝9．【典例1-3】（2022春•浏阳市期中）阅读下列运算过程：①＝＝，②＝＝＝数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．模仿上述运算过程，完成下列各题：（1）（2）+++…+．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣＝﹣1＝10﹣﹣1＝9．【考点2：二次根式的混合运算】【典例2】（2022秋•丰泽区校级期末）计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝3﹣（2+2+1）+3﹣1＝3﹣3﹣2+3﹣1＝﹣1；（2）原式＝+6x•﹣x2•＝+2x﹣x2•＝+2x﹣＝3x．【变式2-1】（2022秋•渠县校级期末）计算：（1）﹣（2+）2．（2）3﹣﹣．【解答】解：（1）原式＝4﹣（4+2+4）＝4﹣6﹣4＝﹣6；（2）原式＝6﹣3﹣＝．【变式2-2】（2022秋•二道区校级期末）计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝2+2﹣3+＝3﹣；（2）原式＝﹣+＝2﹣+4＝+4．【变式2-3】（2022秋•通川区校级期末）计算：（1）（﹣）（+）+；（2）．【解答】解：（1）（﹣）（+）+＝5﹣7+＝﹣2+；（2）＝3﹣2+2﹣（1﹣2+2）＝5﹣2﹣3+2＝2．【变式2-4】（2022秋•邯山区期末）计算：（1）（+1）（﹣1）+﹣（）0；（2）（﹣）×+|﹣2|﹣（）﹣1．【解答】解：（1）原式＝3﹣1+2﹣1＝2+1；（2）原式＝﹣+2﹣﹣2＝﹣2+2﹣﹣2＝﹣3．【考点3：二次根式的大小比较】【典例3】（2021秋•岳麓区校级月考）比较二次根式的大小：﹣4﹣3（填“＜”、“＝”、“＞”）．【答案】＜【解答】解：＝48，＝36，∵48＞36，∴﹣4＜﹣3．故答案为：＜．【变式3-1】（2020秋•昌平区期末）比较大小：（1）5；（2）．【答案】（1）＜（2）＞【解答】解：（1）＝24，52＝25，∵24＜25，∴＜5．（2）＝13+2，＝13+2，∵13+2＞13+2，∴＞．故答案为：＜、＞．【变式3-2】（2021秋•市北区期末）比较大小：．（选填“＞”、“＝”、“＜”）．【答案】＞【解答】解：2＝，即2＞，故答案为：＞．【典例4】比较与的大小，并说明理由；【解答】﹣＜﹣【解答】﹣＜﹣．理由如下：∵＝+，＝+，而+＞+，∵＞，∴﹣＜﹣；【变式4-1】比较与的大小.【答案】＜【解答】＜【变式4-2】请你灵活运用上面介绍的方法，比较每组中两个无理数的大．①﹣与﹣；②+与+；【答案】①﹣＜﹣②+＜+【解答】①＝，＝，而＞，即＞，∴﹣＜﹣；②∵＝+，＝+，而+＞+，即＞，∴﹣＜﹣，∴+＜+；【考点4：二次根式的化简求值】【典例5】（2022春•湖北期末）求值：（1）已知x＝﹣1，求x2+5x﹣6的值．（2）先化简，再求值：，其中m＝．【解答】解：（1）∵x＝﹣1，∴x2+5x﹣6＝（﹣1）2+5×（﹣1）﹣6＝5﹣2+1+5﹣5﹣6＝﹣5+3；（2）＝[﹣]÷＝（﹣）•＝•＝•＝，当m＝时，原式＝＝．【变式5-1】（2022春•长顺县月考）先化简，再求值．（6x+）﹣（4y+），其中x＝，y＝3．【解答】解：原式＝6+3﹣4﹣6＝﹣，当x＝，y＝3时，原式＝﹣＝﹣．【变式5-2】（2022春•汝南县月考）先化简，再求值：x+y2﹣（x2﹣5x），其中．【解答】解：原式＝2x+﹣x+5＝x+6，当x＝，y＝4时，原式＝+6＝+6＝．【变式5-3】（2022秋•城关区校级期末）先化简，后求值：，其中．【解答】解：∵a＝+＝+，∴（a+）（a﹣）﹣a（a﹣6），＝a2﹣3﹣a2+6a，＝6a﹣3，＝6×（+）﹣3，＝3．【夯实基础】1．（2012春•仁寿县校级期中）比较二次根式的大小：23．【答案】＜【解答】解：∵2＝＝，3＝＝，∴2＜3，故答案为：＜．2．（2021秋•大丰区期末）比较大小：47．（填“＞”、“＝”、“＜”）【答案】＜【解答】解：（4）2＝48，72＝49，∴，故答案为：＜．3．（2021秋•浦东新区校级月考）比较大小：．（填“＞”“＝”“＜”）【答案】＜【解答】解：＝＝﹣，＝＝﹣，∵﹣＞﹣，∴＜．故答案为：＜．4．（2022秋•仓山区校级期末）计算：（1）．（2）．【解答】解：（1）＝（﹣）÷＝（﹣）÷＝﹣＝2﹣；（2））＝2﹣2+1＝2﹣1．5．（2022秋•宣汉县校级期末）计算．（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝3×﹣（1+3﹣2）＝3×﹣4+2＝2﹣4+2＝4﹣4；（2）原式＝4﹣1+2﹣+3＝5+2．6．（2022秋•青浦区校级期末）计算：．【解答】解：＝﹣﹣2（2+）+1＝2﹣﹣4﹣2+1＝﹣．7．（2022秋•南关区校级期末）计算：（﹣2）×．【解答】解：（﹣2）×＝×﹣2×＝3﹣6．8．（2022秋•沙坪坝区期末）计算：（1）（x+2）2﹣x（x+4）；（2）．【解答】解：（1）原式＝x2+4x+4﹣（x2+4x）＝x2+4x+4﹣x2﹣4x＝4；（2）原式＝×﹣4×﹣6×＝3﹣12﹣3＝﹣12．9．（2022秋•北碚区校级期末）计算：．【解答】解：原式＝3﹣4﹣（2﹣2+1）＝3﹣4﹣3+2＝﹣4+2．10．（2022秋•临湘市期末）计算：