九年级上期中测试卷(A)-【重要笔记】2022-2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练(人教版)(原卷版+解析)

九年级上期中测试卷（A）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）在下列字母中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）一元二次方程x2﹣5x＝0的解是（）A．x＝5 B．x1＝，x2＝﹣ C．x1＝0，x2＝5 D．x1＝x2＝﹣3．（3分）已知m＞n，则不等式组的解集为（）A．x＞m+n B．x＞m﹣n C．无法确定 D．无解4．（3分）将抛物线y＝2x2向下平移2个单位，得到抛物线解析式是（）A．y＝2x2 B．y＝2（x﹣2）2 C．y＝2x2+2 D．y＝2x2﹣25．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根是1，则a的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．06．（3分）三角形的两边长分别为3和6，它的第三边长度为方程x2﹣5x+4＝0的根，则该三角形的周长为（）A．10 B．14 C．13 D．10或137．（3分）抛物线y＝﹣x2+ax+b交x轴正半轴于A、B两点，交y轴于C点，∠OAC＝60°，则下列各式成立的是（）A．b+a﹣3＝0 B．b﹣a+3＝0 C．a+b﹣3＝0 D．8．（3分）某种植物主干长出若干数目的支干，每个支干长出相同数目的分支，主干、分支、小分支的总数241，求每个支干长出多少个分支？若设主干有x个分支，依题意列方程正确的是（）A．1+x+x（x+1）＝241 B．1+x+x2＝241 C．1+（x+1）+（x+1）2＝241 D．1+（x+1）+x2＝249．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），以点O为圆心，将线段OA逆时针旋转，使点A落在x轴的负半轴上点B处，则点B的横坐标为（）A．﹣ B． C．﹣ D．10．（3分）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2与一次函数y＝mx+m的图象大致可能是（）A． B． C． D．二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11．（4分）若点A（3，a）、B（b，﹣2）两点关于平面直角坐标系的原点对称，则a+b＝．12．（4分）计算（2+1）（2﹣1）的结果等于．13．（4分）因式分解：m3﹣n2m＝．14．（4分）如图，△OAB绕点O顺时针旋转42°得到△ODC，点D恰好落在AB上，且∠AOC＝108°，则∠B度数是．15．（4分）若二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+m的顶点在x轴上，则m＝．16．（4分）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系为．17．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则AF的长为cm．三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）18．（6分）用适当的方法解下列方程：（1）2（x+5）2＝x（x+5）（2）2x2﹣1﹣3x＝019．（6分）阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设原方程的根为x1，x2则新方程的根为2x1，2x2．因为x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣1，所以2x1+2x2＝2（x1+x2）＝2×（﹣1）＝﹣2．2x1•2x2＝4x1x2＝4×（﹣1）＝﹣4．所以：所求新方程为x2+2x﹣4＝0．请用阅读材料提供的方法求新方程．（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为．（2）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的倒数．20．（6分）电动自行车已成为市民日常出行的首选工具，据我市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动车1月份销售150辆，3月份销售216辆，且从1月份到3月份销售量的月平均增长率相同．求该品牌电动自行车销售量的月增长率．四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）21．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，5），B（6，3），C（2，1）均在格点上．（1）画出将△ABC向左平移8个单位长度得到的△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标；（3）在平面直角坐标系中，过点A2的直线l将四边形BB1C1C分成面积相等的两部分，请直接写出直线l的函数表达式．22．（8分）如图，已知P为等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝3，PC＝4，将线段BP绕点P按逆时针方向旋转60°至PQ的位置．（1）求证：△ABP≌△CBQ；（2）求∠BPC的度数．23．（8分）设二次函数y＝ax2+bx+a﹣5（a、b为常数，a≠0），且2a+b＝3．（1）若该二次函数的图象经过点（﹣1，4），求该二次函数的解析式．（2）无论a取何常数，这个二次函数的图象始终经过一个定点，求出这个定点坐标．（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）都在二次函数的图象上，若x0＜1，且m＞n，求x0的取值范围（用含a的代数式表示）．五．解答题（共2小题，满分10分）24．（10分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为在40元的基础上上涨x（x＞0），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润W（元），并把结果填写在表格中：销售单价（元）40+x销售量y（件）销售玩具获得利润W（元）（2）在（1）问条件下，若商场获得10000元销售利润，则该玩具销售单价应定为多少元？（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为x＝2，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C，D两点之间的距离是；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求△BCE面积的最大值；（4）平面内存在点Q，使以点B、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标．九年级上期中测试卷（A）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）在下列字母中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（3分）一元二次方程x2﹣5x＝0的解是（）A．x＝5 B．x1＝，x2＝﹣ C．x1＝0，x2＝5 D．x1＝x2＝﹣【分析】利用提取公因式法进行因式分解，再将原方程转化为两个一元一次方程并求解即可．【解答】解：∵x2﹣5x＝0，∴x（x﹣5）＝0，∴x＝0或x﹣5＝0，∴x1＝0，x2＝5．故选：C．【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．3．（3分）已知m＞n，则不等式组的解集为（）A．x＞m+n B．x＞m﹣n C．无法确定 D．无解【分析】由m＞n，无法判断m+n与m﹣n的大小，从而得出答案．【解答】解：∵m＞n，∴无法判断m+n与m﹣n的大小，则不等式组的解集无法确定，故选：C．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．4．（3分）将抛物线y＝2x2向下平移2个单位，得到抛物线解析式是（）A．y＝2x2 B．y＝2（x﹣2）2 C．y＝2x2+2 D．y＝2x2﹣2【分析】根据题意，按照“左加右减，上加下减”的规律即可得出解析式．【解答】解：将抛物线y＝2x2向下平移2个单位抛物线变为y＝2x2﹣2，故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减，难度适中．5．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根是1，则a的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．0【分析】把x＝1代入一元二次方程x2﹣3x+a＝0即可得到a的值．【解答】解：把x＝1代入一元二次方程x2﹣3x+a＝0得1﹣3+a＝0，所以a＝2．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．6．（3分）三角形的两边长分别为3和6，它的第三边长度为方程x2﹣5x+4＝0的根，则该三角形的周长为（）A．10 B．14 C．13 D．10或13【分析】先利用因式分解法解方程求出x的值，再根据三角形三边关系确定符合条件的x的值，继而求出周长．【解答】解：∵x2﹣5x+4＝0，∴（x﹣1）（x﹣4）＝0，则x﹣1＝0或x﹣4＝0，解得x＝1或x＝4，当x＝1时，三边长度为1、3、6，由1+3＜6知不能构成三角形，此情况不符合题意；当x＝4时，三边长度为3、4、6，符合三角形三边长度关系，此时周长为3+4+6＝13，故选：C．【点评】本题主要考查解一元二次方程—因式分解法和三角形三边关系，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．7．（3分）抛物线y＝﹣x2+ax+b交x轴正半轴于A、B两点，交y轴于C点，∠OAC＝60°，则下列各式成立的是（）A．b+a﹣3＝0 B．b﹣a+3＝0 C．a+b﹣3＝0 D．【分析】根据题意画出图形，设OA的长为m，则OC＝m，由此可求出a和b，再结合各个选项得出结论即可．【解答】解：根据题意画出图形，设OA的长为m，则OC＝m，∴A（m，0），C（0，﹣m），∴，解得，①×+②，得，a+b＝3（＜a＜2）．故选：A．【点评】本题主要考查了待定系数法确定二次函数解析式，含30度的直角三角形等知识，设出参数表达m，关键是用m表达a和b，再消去m．8．（3分）某种植物主干长出若干数目的支干，每个支干长出相同数目的分支，主干、分支、小分支的总数241，求每个支干长出多少个分支？若设主干有x个分支，依题意列方程正确的是（）A．1+x+x（x+1）＝241 B．1+x+x2＝241 C．1+（x+1）+（x+1）2＝241 D．1+（x+1）+x2＝24【分析】植物有1个主干，1个主干有x个分支、x个分支有x2个小分支，根据题意列出算式即可．【解答】解：设主干有x个分支，则小分支有x2个，依据题意，得1+x+x2＝241，故选：B．【点评】本题要注意读清题意，弄清楚分支与小分支间的关系．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），以点O为圆心，将线段OA逆时针旋转，使点A落在x轴的负半轴上点B处，则点B的横坐标为（）A．﹣ B． C．﹣ D．【分析】利用勾股定理求出OA，可得结论．【解答】解：∵A（﹣1，2），∴OA＝＝，由旋转的性质可知，OB＝OA＝，∴B（﹣，0）．故选：C．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是利用勾股定理求出OA即可．10．（3分）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2与一次函数y＝mx+m的图象大致可能是（）A． B． C． D．【分析】由二次函数图象的开口及与y轴交点的位置可确定m的正负，再利用一次函数y＝mx+m经过的象限确定m的正负，对比后即可得出结论．【解答】解：∵y＝mx+m＝m（x+1），∴一次函数图象经过点（﹣1，0），故B、D不合题意；A、由二次函数y＝mx2的图象开口向上，可知m＞0，由一次函数y＝mx+m的图象经过第一、二、三象限可知m＞0，结论一致，A选项符合题意；C、由二次函数y＝mx2的图象开口向下，可知m＜0，由一次函数y＝mx+m的图象经过第一、二、三象限可知m＞0，结论矛盾，C选项不合题意；故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象，根据二次函数的图象和一次函数图象找出每个选项中m的正负是解题的关键．二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11．（4分）若点A（3，a）、B（b，﹣2）两点关于平面直角坐标系的原点对称，则a+b＝．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．【解答】解：∵点A（3，a）、B（b，﹣2）两点关于平面直角坐标系的原点对称，∴a＝2，b＝﹣3，∴a+b＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．12．（4分）计算（2+1）（2﹣1）的结果等于．【分析】根据平方差公式，可以解答本题．【解答】解：（2+1）（2﹣1）＝（）2﹣12＝12﹣1＝11，故答案为：11．【点评】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，解答本题的关键是明确题意，利用平方差公式解答．13．（4分）因式分解：m3﹣n2m＝．【分析】首先提取公因式m，再利用公式法分解因式得出答案．【解答】解：原式＝m（m2﹣n2）＝m（m+n）（m﹣n）．故答案为：m（m+n）（m﹣n）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．14．（4分）如图，△OAB绕点O顺时针旋转42°得到△ODC，点D恰好落在AB上，且∠AOC＝108°，则∠B度数是．【分析】由旋转性质可知∠AOD＝∠BOC＝42°，结合∠AOC＝108°可推出∠BOD＝24°，从而∠AOB＝66°．又AO＝DO，由等腰三角形性质可得∠A＝69°，最后利用三角形内角和公式可得∠B的度数．【解答】解：由旋转性质可知，∠AOD＝∠BOC＝42°，又∵∠AOC＝108°，∴∠BOD＝108°﹣∠AOD﹣∠BOC＝108°﹣42°﹣42°＝24°，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝42°+24°＝66°，∵AO＝DO，∵∠A＝∠ADO＝（180°﹣42°）÷2＝69°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB＝180°﹣69°﹣66°＝45°，故答案为：45°．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和公式，证明△ADO为等腰三角形是解题的关键．15．（4分）若二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+m的顶点在x轴上，则m＝．【分析】根据二次函数的顶点坐标列出方程求解即可．【解答】解：∵二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+m的顶点在x轴上，∴＝0，解得m＝﹣2或．故答案为：﹣2或．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟记顶点坐标公式并列出方程是解题的关键．16．（4分）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系为．【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，∵a＝﹣2＜0，∴x＝﹣2时，函数值最大，又∵﹣1到﹣2的距离比﹣4到﹣2的距离小，∴y3＜y1＜y2．故答案为y3＜y1＜y2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．17．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则AF的长为cm．【分析】过点A作AG⊥DE于点G，由旋转的性质推出∠AED＝∠ADG＝45°，∠AFD＝60°，利用锐角三角函数分别求出AG，GF，AF的长，即可求出答案．【解答】解：过点A作AG⊥DE于点G，由旋转知：AD＝AE，∠DAE＝90°，∠CAE＝∠BAD＝15°，∴∠AED＝∠ADG＝45°，在△AEF中，∠AFD＝∠AED+∠CAE＝60°，在Rt△ADG中，AG＝DG＝＝3cm，在Rt△AFG中，GF＝＝cm，AF＝2FG＝2cm，故答案为：2．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等，解题的关键是能够通过作适当的辅助线构造特殊的直角三角形，通过解直角三角形来解决问题．三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）18．（6分）用适当的方法解下列方程：（1）2（x+5）2＝x（x+5）（2）2x2﹣1﹣3x＝0【分析】先观察再确定方法解方程，（1）先移项，再提取公因式，（2）利用求根公式法解方程．【解答】解：（1）2（x+5）2＝x（x+5），移项提取公因式x+5得（x+5）（x+10）＝0，解得x＝﹣5或﹣10；（2）∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1∴x＝＝．【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．19．（6分）阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设原方程的根为x1，x2则新方程的根为2x1，2x2．因为x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣1，所以2x1+2x2＝2（x1+x2）＝2×（﹣1）＝﹣2．2x1•2x2＝4x1x2＝4×（﹣1）＝﹣4．所以：所求新方程为x2+2x﹣4＝0．请用阅读材料提供的方法求新方程．（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为．（2）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的倒数．【分析】（1）设原方程的根为x1，x2，则新方程的根为﹣x1，﹣x2．根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣2，然后计算﹣x1+（﹣x2）和（﹣x1）•（﹣x2）的值，从而得到新方程；（2）设原方程的根为x1，x2，则新方程的根为，，根据根与系数的关系得到x1+x2＝，x1•x2＝﹣，再然后分别计算出+和•的值，从而得到所求新方程．【解答】解：（1）设原方程的根为x1，x2，则新方程的根为﹣x1，﹣x2．因为x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣2，所以﹣x1+（﹣x2）＝﹣（x1+x2）＝﹣1×（﹣1）＝1．（﹣x1）•（﹣x2）＝x1x2＝﹣2，所以所求新方程为x2﹣x﹣2＝0；故答案为x2﹣x﹣2＝0；（2）设原方程的根为x1，x2，则新方程的根为，，因为x1+x2＝，x1•x2＝﹣，所以+＝＝＝﹣3，•＝＝＝﹣2，所以所求新方程为x2+3x﹣2＝0．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．20．（6分）电动自行车已成为市民日常出行的首选工具，据我市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动车1月份销售150辆，3月份销售216辆，且从1月份到3月份销售量的月平均增长率相同．求该品牌电动自行车销售量的月增长率．【分析】设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，等量关系为：1月份的销售量×（1+增长率）2＝3月份的销售量，把相关数值代入求解即可．【解答】解：设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，根据题意列方程：150（1+x）2＝216，解得：x1＝﹣220%（不合题意，舍去），x2＝20%．答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率是20%．【点评】本题考主要查了一元二次方程的应用．找到关键描述语，找出等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）21．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，5），B（6，3），C（2，1）均在格点上．（1）画出将△ABC向左平移8个单位长度得到的△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标；（3）在平面直角坐标系中，过点A2的直线l将四边形BB1C1C分成面积相等的两部分，请直接写出直线l的函数表达式．【分析】（1）根据平移的性质即可画出将△ABC向左平移8个单位长度得到的△A1B1C1；（2）根据旋转的性质即可画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标；（3）根据过点A2的直线l将四边形BB1C1C分成面积相等的两部分，进而可以写出直线l的函数表达式．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示，A2的坐标为（﹣2，﹣2）；（3）在平面直角坐标系中，∵过点A2（﹣2，﹣2）和（0，2）的直线l将四边形BB1C1C分成面积相等的两部分，∴直线l的函数表达式y＝2x+2．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，作图﹣平移变换，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，解决本题的关键是掌握旋转的性质．22．（8分）如图，已知P为等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝3，PC＝4，将线段BP绕点P按逆时针方向旋转60°至PQ的位置．（1）求证：△ABP≌△CBQ；（2）求∠BPC的度数．【分析】（1）根据SAS即可证明．（2））由△ABP≌△CBQ，推出PA＝QC＝5，由BP＝BQ，∠PBQ＝60°，推出△PBQ是等边三角形，由PQ＝3，∠BPQ＝60°，在△PQC中，PC2+PQ2＝43+32＝52＝QC2，推出△PQC是直角三角形，推出∠QPC＝90°，即可得出∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝150°．【解答】（1）证明：∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°，△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∴∠PBQ＝∠ABC，∴∠ABP＝∠CBQ，在△ABP和△CBQ中，，∴△ABP≌△CBQ（SAS）；（2）解：∵△ABP≌△CBQ，∴PA＝QC＝5，∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°，∴△PBQ是等边三角形，∴PQ＝3，∠BPQ＝60°，∵在△PQC中，PC2+PQ2＝42+32＝52＝QC2，∴△PQC是直角三角形，∴∠QPC＝90°，∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，熟记性质与等边三角形的判断方法是解题的关键．23．（8分）设二次函数y＝ax2+bx+a﹣5（a、b为常数，a≠0），且2a+b＝3．（1）若该二次函数的图象经过点（﹣1，4），求该二次函数的解析式．（2）无论a取何常数，这个二次函数的图象始终经过一个定点，求出这个定点坐标．（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）都在二次函数的图象上，若x0＜1，且m＞n，求x0的取值范围（用含a的代数式表示）．【分析】（1）将点（﹣1，4），即可求该二次函数的表达式（2）将2a+b＝3代入二次函数y＝ax2+bx+a﹣5（a，b为常数，a≠0）中，整理得y＝[ax2+（3﹣2a）x+a﹣3]﹣2＝（ax﹣a+3）（x﹣1）﹣2，可知恒过点（1，2）；（3）通过y＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5，可求得对称轴为x＝﹣，因为x0＜1，且m＞n，所以只需判断对称轴的位置即可求x0的取值范围．【解答】解：（1）∵函数y＝ax2+bx+a﹣5的图象经过点（﹣1，4），且2a+b＝3，∴，∴，∴二次函数的解析式为y＝3x2﹣3x﹣2；（2）∵2a+b＝3，∴二次函数y＝ax2+bx+a﹣5＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5，整理得，y＝[ax2+（3﹣2a）x+a﹣3]﹣2＝（ax﹣a+3）（x﹣1）﹣2∴当x＝1时，y＝﹣2，∴这个二次函数的图象始终经过一个定点，这个定点坐标为（1，﹣2）；（3）∵y＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5，∴对称轴为x＝﹣，∵x0＜1，且m＞n，∴当a＞0时，对称轴x＝﹣＞1﹣，解得：x0＜1﹣，当a＜0时，对称轴x＝﹣＜1﹣，解得：x0＞1﹣（不符合题意，故x0不存在）故x0的取值范围为：x0＜1﹣．【点评】此题主要考查利用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质等知识；熟练掌握待定系数法是解题的关键．五．解答题（共2小题，满分10分）24．（10分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为在40元的基础上上涨x（x＞0），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润W（元），并把结果填写在表格中：销售单价（元）40+x销售量y（件）销售玩具获得利润W（元）（2）在（1）问条件下，若商场获得10000元销售利润，则该玩具销售单价应定为多少元？（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【分析】（1）根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，销售量为（600﹣10x）件，销售玩具获得利润为﹣10x2+500x+6000；（2）根据获得利润为10000元，列方程求解；（3）根据题意得方程组，求得4≤x≤6，根据二次函数的性质得到当4≤x≤6时，y随x增大而增大，于是得到结论．【解答】解：（1）由题意得，销售量为：y＝600﹣10x，销售玩具获得利润为：W＝（40+x﹣30）（600﹣10x）＝﹣10x2+500x+6000；故答案为：600﹣10x，﹣10x2+500x+6000；（2）列方程得：﹣10x2+500x+6000＝10000，解得：x1＝10，x2＝40．∴该玩具销售单价应定为50元或80元；答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；（3）销售单价为在40元的基础上上涨x，根据题意得，解得：4≤x≤6，W＝﹣10x2+500x+