第一章三角形的证明

一、角平分线1．（20202021成都七中嘉祥外国语学校八年级（下）期末·4）（3分）如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵点O是内心，∴OE＝OF＝OD，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，故选：C．【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高是相等的，这点是非常重要的．2．（20202021成都实验外国语八年级（下）期末·5）（3分）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点【分析】根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【解答】解：∵根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，故选：B．【点评】本题考查角平分线的性质，要充分理解并加以运用性质中的线段关系．3．（20202021金牛区八年级（下）期末·8）（3分）如图，在中，平分交于，，垂足为．若，，则点到的距离为A． B． C．2 D．【考点】角平分线的性质【专题】运算能力；线段、角、相交线与平行线【分析】过作于，则线段的长度是点到线段的距离，根据角平分线的性质得出，根据勾股定理求出即可．【解答】解：过作于，则线段的长度是点到线段的距离，，，平分，，，，，，，，即点到的距离为，故选：．【点评】本题考查了垂线的性质和角平分线的性质，能找出线段的位置是解此题的关键，注意：垂线段最短，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．4．（20202021高新区八年级（下）期末·14）（4分）如图，在中，，，是的角平分线，已知．则的长为．【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力【分析】依据角平分线的性质可证明，接下来证明为等腰直角三角形，从而得到，然后依据勾股定理可求得的长，然后由求解即可．【解答】解：是的角平分线，，，，，，又，，又，，，，在等腰直角三角形中，由勾股定理得，，，故答案为：．【点评】本题主要考查的是角平分线的性质、勾股定理的应用，等腰直角三角形，熟练运用角平分线的性质是解题的关键．5．（20202021锦江区八年级（下）期末·14）（4分）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，射线与交于点，若，则．【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质【专题】作图题；几何直观【分析】证明，再利用三角形内角和定理求解即可．【解答】解：由作图可知，平分，，，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查作图基本作图，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．6．（20202021温江区八年级（下）期末·14）（4分）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点．若，则的长为．【考点】角平分线的性质；作图—基本作图；等腰直角三角形【专题】几何直观；作图题【分析】由题目作图知，是的平分线，则，证明是等腰直角三角形，求出，进而求解．【解答】解：过点作，则，由题目作图知，是的平分线，则，为等腰直角三角形，故，则为等腰直角三角形，故，则故答案为：．【点评】本题考查的是角平分线的性质，涉及到几何作图、等腰直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中．7．（20202021新都区八年级（下）期末·14）（4分）如图，在中，，利用尺规在，上分别截取；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点；作射线交于点．若，点为线段上的一动点，则的最小值是2．【考点】作图—基本作图；垂线段最短【专题】作图题；应用意识【分析】如图，过点作于．根据角平分线的性质定理证明，利用垂线段最短即可解决问题．【解答】解：如图，过点作于．由作图可知，平分，，，，根据垂线段最短可知，的最小值为2，故答案为：2．【点评】本题考查作图基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、中垂线1．（20202021成都实验外国语八年级（下）期末·10）（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，CD的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（）A．AD＝CD B．∠ABP＝∠CBP C．∠BPC＝115° D．∠PBC＝∠A【分析】利用线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理一一判断即可．【解答】解：由作图可知，点D在AC的垂直平分线上，∴DA＝DC，故选项A正确，∴∠A＝∠ACD＝40°，由作图可知，BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，故选项B正确，∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，∵∠PBC＝∠ABC＝35°，∠PCB＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，∴∠BPC＝180°﹣35°﹣30°＝115°，故选项C正确，若∠PBC＝∠A，则∠A＝36°，显然不符合题意．故选：D．【点评】本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．2．（20202021高新区八年级（下）期末·6）（3分）如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，连接、，若的周长为2，则的长是A．2 B．3 C．4 D．无法确定【考点】线段垂直平分线的性质【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式即可求出．【解答】解：的垂直平分线交于点，，的垂直平分线交于点．，的周长．故选：．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．3．（20202021青羊区八年级（下）期末·9）（3分）如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接，若，那么的度数是A． B． C． D．【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质【专题】运算能力；等腰三角形与直角三角形；推理能力【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：是的垂直平分线，，，，，，，，故选：．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．4．（20202021锦江区八年级（下）期末·6）（3分）如图，在中，，，作的垂直平分线，交于点，交于点，若，则的长度是A．3 B．2 C． D．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形【专题】三角形；推理能力【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的两锐角互余求出，根据角平分线的定义证明结论．【解答】解：是边上的中垂线，，，，，，，，平分．，，．故选：．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．5．（20202021温江区八年级（下）期末·8）（3分）如图，中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，已知，的周长为，则的长为A． B． C． D．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质【专题】几何直观；作图题【分析】证明，再根据的周长为，求出即可．【解答】解：的周长为，，由作图可知，垂直平分线段，，，，，故选：．【点评】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．6．（20202021新都区八年级（下）期末·9）（3分）有、、三个不在同一直线上的居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在A．的三条中线的交点处 B．三边的垂直平分线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三条高所在直线的交点处【考点】线段垂直平分线的性质；三角形的重心【专题】三角形；推理能力【分析】根据线段垂直平分线的性质可得到正确选项．【解答】解：线段垂直平分线的点到线段两段点的距离相等，三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等．故选：．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了线段垂直平分线的性质．7．（20202021新都区八年级（下）期末·10）（3分）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．已知的周长是10，，则底边长是A．8 B．6 C．4 D．3【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质【专题】运算能力；推理能力；等腰三角形与直角三角形【分析】根据题意可知，然后根据，即可得、的长度．【解答】解：的周长为10，．的垂直平分线交于点，，，即，，，故选：．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键在于根据题意推出．8．（20202021成都八年级（下）期末·22）（4分）如图，线段AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BOC＝86°，则∠1＝43°．【分析】连接OA，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OC，进而得到∠AOE＝∠AOC，同理得到∠AOD＝∠AOB，根据平角的定义计算，得到答案．【解答】解：连接OA，∵l2垂直平分AC，∴OA＝OC，∴l2平分∠AOC，即∠AOE＝∠AOC，同理可得：∠AOD＝∠AOB，∵∠AOB+∠BOC+∠AOC＝360°，∠BOC＝86°，∴∠AOB+∠AOC＝360°﹣86°＝274°，∴∠AOD+∠AOE＝（∠AOB+∠AOC）＝×274°＝137°，∴∠1＝180°﹣（∠AOD+∠AOE）＝180°﹣137°＝43°，故答案为：43°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．9．（20202021双流区八年级（下）期末·12）（4分）如图，在中，，，，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，．过点，作直线，交于点，连接，则的周长为17．【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；作图—基本作图【专题】作图题；推理能力【分析】根据线段垂直平分线的定义得到，根据三角形的周长公式得到结论．【解答】解：由作图可知，垂直平分线段，，的周长，故答案为：17．【点评】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是由题意得到垂直平分线段．10．（20202021天府新区八年级（下）期末·14）（4分）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接．若，，则．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图—基本作图【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；尺规作图【分析】由，，根据等腰三角形的性质，可求得的度数，又由题意可得：是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：，则可求得的度数，继而求得答案．【解答】解：，，，由作图知是的垂直平分线，，，则，故答案为：．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．三、命题1．（20202021成都七中嘉祥外国语学校八年级（下）期末·5）（3分）下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA＝PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】认真阅读各小问题提供的已知条件，利用线段的垂直平分线的性质定理和逆定理进行分析，找出每个小问题正误的具体原因，于是答案可得．【解答】解：①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等，是线段垂直平分线的性质，符合逆定理，正确；②错误；这是对线段垂直平分线的误解；③有无数条，错误；④点P在线段AB外且PA＝PB，过P作直线MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线，错误；如图⑤错误，这是对线段垂直平分线的误解；故选：A．【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质；线段的垂直平分线的性质是线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，不要误解其含义．找出每个小问题正误的具体原因是正确解答本题的关键．2．（20202021高新区八年级（下）期末·8）（3分）下列命题是假命题的是A．到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上 B．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等 C．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 D．三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等【考点】命题与定理【专题】图形的全等；推理能力【分析】根据线段垂直平分线的的判定定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定定理和角平分线的性质判断即可．【解答】解：、到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，是真命题；、一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题；、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，是真命题；、三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等，是真命题；故选：．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．（20202021成都八年级（下）期末·9）（3分）下列命题为真命题的是（）A．如果mn＝0，那么m＝0且n＝0 B．两边分别相等的两个直角三角形全等 C．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 D．如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等【分析】利用等式的性质、三角形全等的判定、角平分线的性质及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、如果mn＝0，那么m＝0或n＝0，原命题是假命题；B、两直角边分别相等的两个直角三角形全等，原命题是假命题；C、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等，原命题是假命题；D、如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，是真命题；故选：D．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等式的性质、三角形全等的判定、角平分线的性质及平平行线的性质等知识，难度不大．4．（20202021锦江区八年级（下）期末·8）（3分）下列命题是真命题的是A．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等 B．若，则 C．平行四边形对角线相等 D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形【考点】命题与定理【专题】推理能力；多边形与平行四边形【分析】根据真命题的定义，逐个选项进行判断，根据直角三角形的全等，平行四边形的性质和判定，不等式的性质即可得出结果．【解答】解：、斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等，是真命题；、若，则，原命题是假命题；、平行四边形对角线平分，原命题是假命题；、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题；故选：．【点评】本题考查了真命题与假命题的概念，真命题：判断正确的命题叫真命题，假命题：判断错误的命题叫假命题，比较简单．5．（20202021天府新区八年级（下）期末·8）（3分）下列命题，其中是真命题的为A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．一组邻边相等的矩形是正方形【考点】：命题与定理【专题】55：几何图形【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：、例如等腰梯形，故本选项错误；、根据菱形的判定，应是对角线互相垂直的平行四边形，故本选项错误；、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故本选项错误；、一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项正确．故选：．【点评】本题主要考查平行四边形的判定与命题的真假区别．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中．6．（20202021温江区八年级（下）期末·7）（3分）下列命题中，正确的是A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形【考点】：命题与定理【分析】利用平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理对各选项逐一判断后即可确定正确的选项．【解答】解：、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形错误，如等腰梯形；、对角线互相垂直的四边形是菱形错误，对角线垂直的四边形不一定是菱形；、对角线相等的四边形是矩形错误，如等腰梯形；、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形正确，故选：．【点评】本题考查了命题与定理，解题的关键是了解平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理，难度一般．7．（20202021武侯区八年级（下）期末·9）（3分）下列各命题中是假命题的是A．如果，那么或 B．如果点的坐标为，则点在第二象限 C．三角形的中位线等于此三角形一边的一半 D．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上【考点】命题与定理【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力【分析】根据假命题的定义，逐个选项进行判断，根据等式的性质，三角形的中位线，点的坐标和角平分线的性质即可得出结果．【解答】解：、如果，那么或，是真命题；、如果点的坐标为，则点在第二象限，是真命题；、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，原命题是假命题；、在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，是真命题；故选：．【点评】本题考查了真命题与假命题的概念，真命题：判断正确的命题叫真命题，假命题：判断错误的命题叫假命题，比较简单．8．（20202021新都区八年级（下）期末·4）（3分）下列命题是假命题的是A．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 B．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等 C．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等【考点】命题与定理【专题】推理能力；图形的全等【分析】根据三角形全等的判定定理判断即可．【解答】解：、两条直角边分别相等的两个直角三角形全等，本选项说法是真命题，不符合题意；、斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等，本选项说法是真命题，不符合题意；、两个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，故本选项说法是假命题，符合题意；、一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等，本选项说法是真命题，不符合题意；故选：．【点评】本题考查的是命题和定理，掌握直角三角形的判定定理是解题的关键．四、等腰三角形1．（20202021成都七中嘉祥外国语学校八年级（下）期末·6）（3分）等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角（）A．等于顶角 B．等于顶角的一半 C．等于顶角的2倍 D．等于底角的一半【分析】要求高与底边所夹的角与其它角的关系，首先要画出图形，根据已知结合等腰三角形及直角三角形的性质进行分析推理，答案可得．【解答】已知：在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB与点D求证：∠OCE＝∠CAB证明：作BC边上的高AE，与CD相交于点O∵∠AOD＝∠COE，AE⊥BC∴∠DAO＝∠ECO根据等腰三角形的三线合一定理，AE为△ABC的顶角平分线．∴∠BAE＝∠CAE＝∠OCE∴∠OCE＝∠CAB∴等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角等于顶角的一半．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质；做题时，要明确等腰三角形内角的转化，作出辅助线是解答本题的关键．2．（20202021温江区八年级（下）期末·6）（3分）如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是A． B． C．平分 D．【考点】：等腰三角形的性质【分析】根据等边对等角和等腰三角形三线合一的性质解答．【解答】解：，，，是中点，平分，，所以，结论不一定正确的是．故选：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等边对等角的性质以及等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．3．（20202021成都八年级（下）期末·7）（3分）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝48°，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CB于点T，连接AT，则∠CAT的度数是（）A．64° B．24° C．21° D．16°【分析】根据作图得出△BTA是等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．【解答】解：由题意可得，BT＝AB，∴△BTA是等腰三角形，∵∠CAB＝90°，∠C＝48°，∴∠B＝90°﹣48°＝42°，∴∠BTA＝＝69°，∴∠CAT＝∠BTA﹣∠C＝69°﹣48°＝21°，故选：C．【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的两底角相等解答．4．（20202021双流区八年级（下）期末·10）（3分）如图，在中，是上一点，，、分别是、的中点，，则的长是A．3 B．4 C．5 D．6【考点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线【分析】连接．由，是的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得．【解答】解：如图，连接．，是的中点，．在中，，是的中点，，．故选：．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用等腰三角形三线合一的性质得出是解题的关键．5．（20202021成都七中嘉祥外国语学校八年级（下）期末·12）（4分）等腰三角形一底角为30°，底边上的高为9cm，则这个等腰三角形的腰长是18cm，顶角是120°．【分析】由已知条件，根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得：腰长是底边上的高的2倍，可得答案．【解答】解：∵∠C＝30°，作AD⊥BC，垂足为D，∴AC＝2AD，∴AC＝2×9＝18，即腰长是18cm，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故答案为：18；120°．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，关键是根据30°所对的直角边是斜边的一半解答．6．（20202021青羊区八年级（下）期末·14）（4分）如图，在中，，，．折叠，使点与的中点重合，折痕交于，交于点，则4．【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力；几何直观【分析】由是的中点，求出，再由折叠的性质，得，设，则，，在中，，求出即可求．【解答】解：是的中点，，，折叠，使点与的中点重合，，，设，则，，，在中，，，，故答案为4．【点评】本题考查图形的翻折，熟练应用勾股定理，掌握图形折叠的性质是解题的关键．7．（20202021武侯区八年级（下）期末·13）（4分）如图，在中，，，点在边上，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，．再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交的延长线于点，则的度数为．【考点】等腰三角形的性质【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力【分析】根据等腰三角形的性质得到，由垂直的定义得到，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：，，，由作图知，，，，故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，证得是解题的关键．8．（20202021金牛区八年级（下）期末·25）（4分）如图，在中，，，延长到点，延长到点，使得，连接，延长交于点，若，则．【考点】等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力【分析】过点作，交的延长线于，作，可得是等边三角形，是等腰直角三角形，设，表示出两个等边三角形的边长，进而分别表示出和的长即可．【解答】解：过点作，交的延长线于，作于，，，，，是等边三角形，，，，是等边三角形，在中，，，，，设，则，，，，，，．故答案为：．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，作构造出等边是解题的关键．9．（20202021青羊区八年级（下）期末·24）（4分）如图，与都是等边三角形，连接、．，，若将绕点顺时针旋转，当点、、在同一条直线上时，线段的长为或．．【考点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质；等边三角形的性质【专题】图形的全等；推理能力【分析】可以将不动，绕点顺时针旋转，点落在线段上或当点落在线段的延长线上时，分别通过构造直角三角形，将转化为来解决问题．【解答】解：可以将不动，绕点顺时针旋转，点落在线段上，如图与都是等边三角形，，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，当点落在线段的延长线上时，如图同理可知：，，过点作于，则，在中，由勾股定理得：，综上所述：或．故答案为：或．【点评】本题主要考查了勾股定理、旋转的性质等知识，可以通过动静互换将复杂图形简单化来解决问题．10．（20202021温江区八年级（下）期末·25）（4分）如图，等边的边长为，点是三边垂直平分线的交点，，的两边，分别交，与点，，绕点顺时针旋转时．下列四个结论：①；②；③；④的周长最小值为．其中正确的是①④（填序号）．【考点】三角形综合题【专题】平移、旋转与对称；推理填空题；推理能力；运算能力【分析】连接、，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断，所以，，则可对①进行判断；利用得到四边形的面积，则可对③进行判断；作，则，计算出，利用随的变化而变化和四边形的面积为定值可对②进行判断；由于的周长，根据垂线段最短，当时，最小，的周长最小，计算出此时的长则可对④进行判断．【解答】解：如图，连接，，作，于点，，是等边三角形，，点是三边垂直平分线的交点，点是等边的内心和外心，，、分别是、的角平分线，，，，，，，在和中，，，，，故①正确；，四边形的面积，故③错误；作于点，如图，，，，，，，，即随的变化而变化，而四边形的面积为定值，；故②错误；，的周长，当时，最小，的周长最小，此时，周长的最小值，故④正确．其中正确的是①④．故答案为：①④．【点评】本题属于综合题，是中考填空题的压轴题，本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算等知识；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．11．（20202021温江区八年级（下）期末·18）（8分）已知：如图，点是的边上的中点，于，于，且．求证：是等腰三角形．【考点】：全等三角形的判定与性质；：等腰三角形的判定【专题】14：证明题【分析】根据点是的边上的中点，于，于，且．利用求证，可得，即可证明是等腰三角形．【解答】证明：点是的边上的中点，，于，于，和为直角三角形，在和中，，，，是等腰三角形．【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质的理解和掌握．难度不大，属于基础题．五、三角形综合1．（20202021青羊区八年级（下）期末·20）（10分）如图，已知是等边三角形，，为中点，为边上一动点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、．（1）求证：；（2）求出点到所在直线的距离；（3）当时，求的值．【考点】几何变换综合题【专题】几何变换；推理能力【分析】（1）根据证明得出即可；（2）由（1）全等知：，且，通过求出的值；（3）作于，分点在延长线上还是在线段上，通过解三角形分别求解．【解答】解：（1）是等边三角形，，，绕点逆时针旋转得到，，，，，，在和中，，，，，，，（2），，点为的中点，，，过点作所在的直线于点，，，，．（3）过点作所在的直线于点，由（2）可知，，在中，，，，当点落在线段上时，，当点落在线段的延长线上时，，的值为或．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，分类讨论是正确解题的关键．2．（20202021青羊区八年级（下）期末·28）（12分）在中，，，点为的中点，点是上一点．连接，过作交点于，连接．（1）如图1，与相交于点①求证：；②当，时，求的长．（2）如图2，点为上一点，且，，，求的长．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形【专题】方程思想；等腰三角形与直角三角形；几何直观【分析】（1）①由题可得是等腰直角三角形，当是边中点时，可以得到，，由，可得，接着证明即可；②由①可得，所以为等腰直角三角形，所以，由于，，所以，所以，故过作于，则，在直角中，利用勾股定理，求出和的长度，同理，在中，求出的长度，得到的长度，即可解决；（2）由，，得，利用勾股定理，得到的长度，过作于，求出和的长度，由于，延长至，是，可以证明，设，在直角中，利用勾股定理列出方程，即可求解．【解答】证明：（1）①，，，是的中点，，，，，，，在与中，，，，即；解：（1）②由①可得，，，，，又，，，，，，，，过作于，如图1，，且，，，，同理，，，；（2）如图2，过作于，，，，，，同理，，，延长至，使，连接，可设，，，，又，，，，设，则，在中，，，，．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，方程思想求线段，特别要注意（3）中二倍角的辅助线的构造，是解决问题的通法．

3．（20202021双流区八年级（下）期末·27）（10分）在中，，，将绕点顺时针旋转得到△，其中点，的对应点分别为点，．连接，交于点．（1）如图1，当点落在的延长线上时，求线段的长；（2）如图2，当旋转到任意位置时，求证：点为线段中点；（3）若△从图1的位置绕点继续顺时针旋转，当直线与直线相交构成的4个角中最小角为时，求的值．【考点】几何变换综合题【专题】几何综合题；推理能力【分析】（1）如图1中，过点作于，于．可得四边形是矩形，求出，，可得结论．（2）如图2中，设交于点，过点作于，于．想办法证明，，推出可得结论．（3）分两种情形：①如图3中，当与的交点在的延长线上时，延长到，②如图4中，当与的交点在的延长线上时，延长到，分别利用全等三角形的判定和性质求解即可．【解答】（1）解：如图1中，过点作于，于．，，，，，，，，四边形是矩形，，，，．（2）证明：如图2中，设交于点，过点作于，于．由旋转的性质可知，，，，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，即点为线段中点．（3）解：①如图3中，当与的交点在的延长线上时，延长到，在和中，，，，，．②如图4中，当与的交点在的延长线上时，延长到，同法可证，，，综上所述，满足条件的的值为或．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，对于初二学生来说题目有一定难度．4．（20202021温江区八年级（下）期末·28）（12分）已知两个等腰，有公共顶点，，连接，是的中点，连接、．（1）如图1，当与在同一直线上时，求证：；（2）如图1，若，，求，的长；（3）如图2，当时，求证：．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理【专题】压轴题【分析】（1）证法一：如答图所示，延长交于点，证明为的中位线即可；证法二：如答图所示，延长交于，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，根据中点定义可得，然后利用“角边角”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可得，然后求出，从而得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出，从而得到，再根据同位角相等，两直线平行证明即可，（2）解法一：如答图所示，作辅助线，推出、是两条中位线；解法二：先求出的长，再根据全等三角形对应边相等可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；（3）证法一：如答图所示，作辅助线，推出、是两条中位线：，；然后证明，得到，从而证明；证法二：如答图所示，延长交于，连接、，利用同旁内角互补，两直线平行求出，再根据两直线平行，内错角相等求出，根据中点定义可得，然后利用“角边角”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可得，，再根据“边