数学（广东卷）（全解全析）

2023年中考数学第二次模拟考试卷数学·全解全析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）12345678910ACBDACCBDB1．﹣的相反数是（）A． B．2023 C．﹣2023 D．﹣【分析】根据“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”解答．【解答】解：﹣的相反数是，故选：A．2．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、是中心对称图形，本选项正确；D、不是中心对称图形，本选项错误．故选：C．3．据报道，八百里皖江第6座跨江公铁大桥主桥即将开工建设，总投资约52.7亿元，将数据52.7亿用科学记数法可表示为（）A．0.527×1010 B．5.27×109 C．52.7×108 D．5.27×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．【解答】解：52.7亿＝5270000000＝5.27×109，故选：B．4．如图是几个相同的小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（）A． B． C． D．【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小立方块数目分别为3，2，2，从而可以确定答案．【解答】解：从正面看，最左面一列能看到3个小立方块，中间一列能看到2个小立方块，最右面一列能看到2个小立方块．即主视图为：．故选：D．5．下列运算正确的是（）A．3a2•2a3＝6a5 B．a3+4a＝ C．（a2）3＝a5 D．﹣2（a+b）＝﹣2a+2b【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方以及去括号法则解答．【解答】解：A、原式＝6a5，故本选项符合题意．B、a3与4a不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意．C、原式＝a6，故本选项不符合题意．D、原式＝﹣2a﹣2b，故本选项不符合题意．故选：A．6．夏至是二十四节气之一，俗语道“不过夏至不热”，如图是我省某地夏至后某一周的最高气温折线统计图，则这一周最高气温的众数是（）A．35℃ B．30℃ C．33℃ D．37℃【分析】根据众数的定义（众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据）即可得．【解答】解：由图可知，这组数据中，33出现次数最多，则这组数据的众数是33°C，故选：C．7．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G”“北斗”“高铁”“核电”四个主题，若小赵和小高每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（）A． B． C． D．【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中小赵和小高恰好选择同一个主题的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：把“5G”“北斗”“高铁”“核电”四个主题分别记为A、B、C、D，画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小赵和小高恰好选择同一个主题的结果有4种，∴小赵和小高恰好选择同一个主题的概率为＝，故选：C．8．已知关于x的一元二次方程4x2﹣（4k﹣2）x+k2＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≠0 B． C． D．【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），判别式Δ＝b2﹣4ac，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．由方程有实数根即Δ＝b2﹣4ac≥0，从而得出关于k的不等式，解不等式即可得答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程4x2﹣（4k﹣2）x+k2＝0有实数根，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即[﹣（4k﹣2）]2﹣4×4×k2≥0，解得．故选：B．9．若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为（）A．m＜﹣10 B．m≤﹣10 C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．【解答】解：去分母得：3x＝﹣m+5（x﹣2），解得：x＝，由方程的解为正数，得到m+10＞0，且m+10≠4，则m的范围为m＞﹣10且m≠﹣6，故选：D．10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于点D，以AB为边作矩形ABEF，使得AF＝AD，延长CD，交EF于点G，作AH⊥AC交EF于点H，作HN⊥AH分别交DG，BE于点M、N，若HM＝MN，FH＝1，则边BD的长为（）A． B． C． D．【分析】依据条件可判定，即可得到CD＝FH＝1，AC＝AN，易证四边形AFGD是矩形，四边形BEGD是矩形，则AB＝FE，AD＝FG，GE＝BD，CG∥BE，又HM＝MN，则HG＝GE，设HG＝GE＝x，则FG＝1+x＝AD，BD＝GE＝x，AB＝AD+DB＝1+x+x＝1+2x，再证，得，则AC2＝AD⋅AB＝（1+x）（1+2x），在中，由勾股定理，得AH2＝AF2+FH2＝（1+x）2+12，因为AC＝AH，所以（1+x）（1+2x）＝（1+x）2+12，即x2+x＝1，解之求出x值，即可求解．【解答】解：在矩形ABEF中，∠F＝90°，∠DAF＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠F＝90°，∴∠FAH+∠DAH＝∠DAC+∠DAH＝90°，∴∠FAH＝∠DAC．在△ADC和△AFH中，，∴△ADC≌△AFH（ASA），∴CD＝FH＝1，AC＝AH．∵矩形ABEF，CD⊥AB，∴四边形AFGD是矩形，四边形BEGD是矩形，∴AB＝FE，AD＝FG，GE＝BD，∴CG∥BE，又∵HM＝MN，∴HG＝GE，设HG＝GE＝x，则FG＝1+x＝AD，BD＝GE＝x，AB＝AD+DB＝1+x+x＝1+2x，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADC，∵∠CAB＝∠DAC，∴，∴AC2＝AD⋅•AB，∴AC2＝AD⋅AB＝（1+x）（1+2x），在中，由勾股定理，得AH2＝AF2+FH2＝（1+x）2+12，∵AC＝AH，∴（1+x）（1+2x）＝（1+x）2+12，化简整理，得x2+x＝1．解得：或（不符合题意，舍去），∴．故选：B．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．【分析】直接利用二次根式的定义求出x的取值范围．【解答】解：若式子在实数范围内有意义，则x+3≥0，解得：x≥﹣3，则x的取值范围是：x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．12．因式分解：4m2﹣16＝．【分析】此题应先提公因式4，再利用平方差公式继续分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：4m2﹣16，＝4（m2﹣4），＝4（m+2）（m﹣2）．故答案为：4（m+2）（m﹣2）．13．不等式的解集是．【分析】根据解一元一次不等式的方法，可以求得该不等式的解集．【解答】解：，去分母，得：x﹣1≤3，移项及合并同类项，得：x≤4，故答案为：x≤4．14．圆锥的主视图是边长为6的等边三角形，则此圆锥的侧面积是．【分析】根据视图的意义得到圆锥的母线长为6，底面圆的半径为3，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【解答】解：根据题意得圆锥的母线长为6，底面圆的半径为3，所以这个圆锥的侧面积＝×6×2π×3＝18π．故答案为：18π．15．如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，E是DC的中点，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点E，与AB交于点F，连接AE，若AF﹣AE＝2，则k的值为．【分析】根据勾股定理，可得AE的长，根据线段的和差，可得FB，可得F点坐标，根据待定系数法，可得k的值．【解答】解：矩形ABCD中，AD＝3，AB＝8，E为CD的中点，∴DE＝CE＝4，∴AE＝＝5，∵AF﹣AE＝2，∴AF＝7，∴BF＝1，设E点坐标为（a，4），则F点坐标为（a﹣3，1），∵E，F两点在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，∴4a＝a﹣3，解得a＝﹣1，∴E（﹣1，4），∴k＝﹣1×4＝﹣4，故答案为﹣4．三．解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）已知：2a2+3a﹣6＝0，求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形代入计算即可求出值．【解答】解：由2a2+3a﹣6＝0得：2a2+3a＝6，原式＝6a2+3a﹣4a2+1＝2a2+3a+1＝6+1＝7．17．（8分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．求证：四边形ABCD是矩形．【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再证∠DAO＝∠ADO，则AO＝DO，得AC＝BD，于是得到四边形ABCD是矩形．【解答】证明：∵AO＝OC，BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠AOB＝∠DAO+∠ADO＝2∠OAD，∴∠DAO＝∠ADO，∴AO＝DO，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．18．（8分）某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，并根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题．（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是108°；（2）请补全条形统计图；（3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是510人；（4）已知“不及格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率是多少？【分析】（1）由360°乘以“优秀”的人数所占的比例即可；（2）求出这次调查的人数为：12÷30%＝40（人），得出及格的人数，补全条形统计图即可；（3）由该校总人数乘以“良好”的人数所占的比例即可；（4）画树状图，共有6种等可能的结果，抽到两名男生的结果有2种，则由概率公式求解即可．【解答】解：（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是：360°×30%＝108°，故答案为：108°；（2）这次调查的人数为：12÷30%＝40（人），则及格的人数为：40﹣3﹣17﹣12＝8（人），补全条形统计图如下：（3）估计该校“良好”的人数为：1200×＝510（人），故答案为：510人；（4）画树状图如图：共有6种等可能的结果，抽到两名男生的结果有2种，∴抽到两名男生的概率为＝．19．（9分）如图1所示的是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分组成，图2是它的简易平面图，小明想知道灯管D距地面AF的高度，他在地面F处测得灯管D的仰角为45°．在地面E处测得灯管D的仰角为53°，并测得EF＝2.2m，已知点A，E，F在同一条直线上，请根据以上数据帮小明算出灯管D距地面AF的高度（结果精确到0.1m，参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．【分析】过点D作DG⊥AF，垂足为G，设EG＝x米，则FG＝（x+2.2）米，然后在Rt△EGD中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，再在Rt△DFG中，利用锐角三角函数的定义可得DG＝FG，从而可得x＝x+2.2，最后进行计算即可解答．【解答】解：过点D作DG⊥AF，垂足为G，设EG＝x米，∵EF＝2.2米，∴FG＝EF+EG＝（x+2.2）米，在Rt△EGD中，∠DEG＝53°，∴DG＝EG•tan53°≈x（米），在Rt△DFG中，∠DFG＝45°，∴tan45°＝＝1，∴DG＝FG，∴x＝x+2.2，解得：x＝6.6，∴DG＝FG＝x+2.2＝8.8（米），∴灯管D距地面AF的高度约为8.8米．20．（9分）某公司决定为优秀员工购买A，B两种奖品，已知购买3个A种奖品比购买2个B种奖品多花140元，购买4个A种奖品与购买5个B种奖品所需钱数相同．（1）求A，B两种奖品每个的价格；（2）商家推出了促销活动，A种奖品打九折．若该公司打算购买A，B两种奖品共30个，且B种奖品的个数不多于A种奖品个数的一半，则该公司最少花费多少钱？【分析】（1）设每个A种奖品的价格为x元，每个B种奖品价格为y元，根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组，解出x，y的值即可；（2）设购买A种奖品a个，则购买B种奖品（30﹣a）个，根据B种奖品的个数不多于A种奖品个数的一半，即可列出关于a的一元一次不等式，从而可求出a的取值范围．设购买奖品的总花费为w元，根据题意可求出w与a的关系式，最后由一次函数的性质即得出答案．【解答】解：（1）设每个A种奖品的价格为x元，每个B种奖品价格为y元，根据题意，得：，解得：，答：每个A种奖品的价格为100元，每个B种奖品的价格为80元；（2）设购买A种奖品a个，则购买B种奖品（30﹣a）个，根据题意，得：，解得：a≥20．设购买奖品的总花费为w元，根据题意，得：w＝100a×0.9+80（30﹣a）＝10a+2400，∵10＞0，∴w随着a的增大而增大．∴当a＝20时，w取得最小值，wmin＝10×20+2400＝2600．答：该公司最少花费2600元．21．（9分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥DC于点D，AC平分∠DAB．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若AB＝4，∠DAB＝60°，求AD的长．【分析】（1）连接OC，先证出∠OCA＝∠DAC，得OC∥AD，再由平行线的性质得CD⊥OC，即可得出结论；（2）连接BC，先由圆周角定理得∠ACB＝90°，由角平分线定义得∠DAC＝∠BAC＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质得BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，进而得出答案．【解答】（1）证明：连接OC，如图1所示：∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AD，∵AD⊥DC，∴CD⊥OC，又∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线；（2）解：连接BC，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∴∠DAC＝∠BAC＝30°，∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴CD＝AC＝，AD＝CD＝3．22．（12分）已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α（0°＜a＜360°），连接BD，AE，请完成如下问题：（1）如图1，若△ABC和△CDE均为等边三角形，①线段BD与线段AE的数量关系是BD＝AE；②直线BD与直线AE相交所夹锐角的度数是60°；类比探究：（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由；拓展应用：（3）如图3，若∠BAC＝∠DEC＝90°，AB＝AC，CE＝DE，BC＝2CD＝2，当点B，D，E三点共线时，请直接写出BD的长．【分析】（1）①延长BD交AE于F，得出∠BCD＝∠ACE．得出△BCD≌△ACE（SAS）即可得出答案；②由△BCD≌△ACE，得出∠DBC＝∠EAC，即可得出答案；（2）①延长BD交AE的延长线于点F，得出，进而得出△BCD∽△ACE，即可得出答案；②由△BCD∽△ACE，得出∠DBC＝∠EAC，即可得出答案；（3）①如图3，当点D落在线段BE上时，先求出BC＝2，CD＝，再用勾股定理求出BE＝，即可得出答案；②当点E落在线段BD上时，同理①即可得出答案．【解答】解：（1）①如图1，延长BD交AE的延长线于点F．∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°．∴∠BCD＝∠ACE．∴△BCD≌△ACE（SAS）．∴BD＝AE；②∵△BCD≌△ACE，∴∠DBC＝∠EAC．∴∠DBC+∠ACB＝∠EAC+∠F，∴∠F＝∠ACB＝60°；故答案为：BD＝AE；60°；（2）①不成立，；理由：如图2，延长BD交AE的延长线于点F．∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴，∠BCD＝∠ECA．∴△BCD∽△ACE，∴，∴AE＝2BD；②成立；∵△BCD∽△ACE，∴∠DBC＝∠EAC，∴∠DBC+∠ACB＝∠EAC+∠F．∴∠F＝∠ACB＝60°；（3）①如图3，当点D落在线段BE上时．∵∠BAC＝∠DEC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝45°，BC＝2CD＝2，∴BC＝AC＝2，CD＝EC＝，∴AC＝2，CE＝1．∵∠E＝90°∴BE＝＝，∴BD＝BE﹣DE＝﹣1；②如图4，当点E落在线段BD上时，同理可得，BD＝BE+DE＝+1．综上所述，BD的长为﹣1或+1．23．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx