专题09实际问题与一元一次方程综合题

专题09实际问题与一元一次方程（综合题）知识互联网知识互联网易错点拨易错点拨知识点1：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．细节剖析:（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．知识点2：常见列方程解应用题的几种类型1．和、差、倍、分问题（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量降低量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．2．行程问题（1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间

（2）基本类型有：

①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间Ⅱ．寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．3．工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：（1）总工作量=工作效率×工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和．4．调配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．5．存贷款问题（1）利息=本金×利率×期数（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)（3）实得利息=利息利息税（4）利息税=利息×利息税率（5）年利率＝月利率×12（6）月利率＝年利率×6.数字问题已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．7．方案问题选择设计方案的一般步骤：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．易错题专训易错题专训一．选择题1．（2020秋•盱眙县期末）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，设这个班有学生x人，下列方程正确的是（）A．3x+20＝4x﹣25 B．3x﹣25＝4x+20 C．4x﹣3x＝25﹣20 D．3x﹣20＝4x+25【易错点分析】设这个班有学生x人，等量关系为图书的数量是定值，据此列方程．【规范解答】解：设这个班有学生x人，由题意得3x+20＝4x﹣25．故选：A．【考察注意点】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．2．（2021春•罗湖区校级期末）某班把1400元奖学金按照两种奖项奖给22名学生，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元，设获得一等奖的学生人数为x人，其中列方程不正确的是（）A．200x+50（22﹣x）＝1400 B．1400﹣200x＝50（22﹣x） C．＝22﹣x D．50x+200（22﹣x）＝1400【易错点分析】等量关系可以为：200×一等奖人数+50×二等奖人数＝1400．【规范解答】解：A、符合200×一等奖人数+50×二等奖人数＝1400，正确；B、符合1400﹣200×一等奖人数＝50×二等奖人数，正确；C、符合（1400﹣200×一等奖人数）÷50＝二等奖人数，正确；D、50应乘（22﹣x），错误．故选：D．【考察注意点】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．3．（2020•石家庄模拟）有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①40m+10＝43m﹣1；②；③；④40m+10＝43m+1，其中正确的是（）A．①② B．②④ C．②③ D．③④【易错点分析】首先要理解清楚题意，知道总的客车数量及总的人数不变，然后采用排除法进行分析从而得到正确答案．【规范解答】解：根据总人数列方程，应是40m+10＝43m+1，①错误，④正确；根据客车数列方程，应该为，②错误，③正确；所以正确的是③④．故选：D．【考察注意点】此题的关键是能够根据不同的等量关系列方程．4．（2021秋•汉阳区期末）一商家进行促销活动，某商品的优惠措施是“第二件商品半价”．现购买2件该商品，相当于这2件商品共打了（）A．5折 B．5.5折 C．7折 D．7.5折【易错点分析】根据题意设第一件商品x元，买两件商品共打y折，利用价格列出方程即可求解．【规范解答】解：设第一件商品x元，买两件商品共打了y折，根据题意可得：x+0.5x＝2x•，解得：y＝7.5即相当于这两件商品共打了7.5折．故选：D．【考察注意点】此题考查了一元一次方程的应用，找到正确的等量关系是解题关键．5．（2022•城关区一模）某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件，若设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为（）A． B． C． D．【易错点分析】关系式为：零件任务÷原计划每天生产的零件个数﹣（零件任务+120）÷实际每天生产的零件个数＝3，把相关数值代入即可求解．【规范解答】解：实际完成的零件的个数为x+120，实际每天生产的零件个数为50+6，所以根据时间列的方程为：＝3，故选：C．【考察注意点】根据时间得到相应的等量关系是解决本题的关键，注意应先得到实际的工作总量和工作效率．6．（2020秋•梁平区期末）小明在某月的日历上圈出了三个数a、b、c，并求出了它们的和为39，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（）A． B． C． D．【易错点分析】日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻差1，根据题意列方程可解．【规范解答】解；A：设最小的数是x，则x+（x+1）+（x+2）＝39，解得：x＝12，故本选项不符合题意；B：设最小的数是x，则x+（x+1）+（x+8）＝39，解得x＝10，故本选项不符合题意；C：设最小的数是x，则x+（x+8）+（x+16）＝39，解得x＝5，故本选项不符合题意；D：设最小的数是x，则x+（x+8）+（x+14）＝39，解得x＝，故本选项符合题意．故选：D．【考察注意点】本题考查了一元一次方程在日历问题中的应用，明确日历中上下行及左右相邻数之间的关系是解题的关键．二．填空题7．（2021秋•绵竹市期末）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别是﹣10，14．点P以每秒2个单位长度从A出发沿数轴向右运动，同时点Q以每秒3个单位长度从点B出发沿数轴在B，A之间往返运动，设运动时间为t（t＞0）秒．当点P，Q之间的距离为8个单位长度时，t的值为秒或秒或16秒．【易错点分析】分三种情况①当点P、Q没有相遇时；②当点P、Q相遇后，点Q没有到达A时；③当点Q到达A返回时；分别由题意列出方程，解方程即可．【规范解答】解：∵点A，B表示的数分别是﹣10，14，∴OA＝10，OB＝14，∴OA+OB＝24，①当点P、Q没有相遇时，由题意得：10﹣2t+14﹣3t＝8，解得：t＝②当点P、Q相遇后，点Q没有到达A时，由题意得：2t﹣10+3t﹣14＝8，解得：t＝③当点Q到达A返回时，由题意得：2t﹣（3t﹣24）＝8，解得：t＝16．综上所述，当点P，Q之间的距离为8个单位长度时，t的值为秒或秒或16秒．【考察注意点】本题考查了一元一次方程的应用、数轴，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程．8．（2021秋•威县期中）如图，这是2021年6月份的日历表我们任意圈出一竖列上相邻的三个数．（1）若最上方的数为9，则圈出的三个数的和是48．（2）设中间的一个数为a，则圈出的三个数的和是3a．【易错点分析】（1）日历表中同一竖列上的三个数相差7，最上方的数为9，则另两个分别为16和23，把三个数相加即可得出结果．（2）日历表中同一竖列上的三个数相差7，中间的一个数为a，则另两个分别为a﹣7和a+7，把三个数相加即可得出结果．【规范解答】解：（1）由日历可直接得出，最上方的数为9，则另两个分别为16和23，∴三个数的和为：9+16+23＝48．故答案为：48．（2）∵日历表中同一竖列上的三个数相差7，中间的一个数为a，∴另两个分别为a﹣7和a+7，∴a﹣7+a+a+7＝3a，故答案为：3a．【考察注意点】本题考查了列代数式，理解日历表中同一竖列上的三个数相差7是解决问题的关键．9．（2018秋•明光市期末）一组自行车运动员在一条笔直的道路上作赛前训练他们以每小时35千米的速度向前行驶，突然运动员甲离开小组以每小时45千米的速度向前行驶10千米然后以同样速度掉转头回来重新和小组汇合，则运动员甲从离开小组到重新和小组汇合所用时间为0.25小时．【易错点分析】理解运动员甲从离开小组到和小组汇合所走的路程+小组走的路程＝10×2，列出方程，即可解答．【规范解答】解：设运动员甲从离开小组到重新和小组汇合所用时间为x小时．则有：35x+45x＝20解得：x＝0.25答：运动员甲从离开小组到重新和小组汇合所用时间为0.25小时．【考察注意点】本题是一元一次方程的应用，解本题的关键是理解运动运甲所走的路程和小组所走的路程之间的关系，才可解答．10．（2020秋•温江区校级期末）如图所示：已知AB＝5cm，BC＝10cm，现有P点和Q点分别从A，B两点出发相向运动，P点速度为2cm/s，Q点速度为3cm/s，当Q到达A点后掉头向C点运动，Q点在向C的运动过程中经过B点时，速度变为4cm/s，P，Q两点中有一点到达C点时，全部停止运动，那么经过0.9s或1.1s或s或s后PQ的距离为0.5cm．【易错点分析】设运动的时间为t，①当P、Q在AB上且P在Q左侧时，根据题意列方程求出时间；②当P、Q在AB上且P在Q右侧时，根据题意列方程求出时间；③Q到达A时所用的时间为：5÷3＝（s），当Q从A出发还没有到B时，根据题意列方程求出时间；④Q到达B时，根据题意列方程求出时间；⑤Q超过P时，根据题意列方程求出时间．【规范解答】解：设运动的时间为t，由题意得：AP＝2t，BQ＝3t，①当P、Q在AB上且P在Q左侧时，如图①，5﹣2t﹣3t＝0.5，解得t＝0.9（s），②当P、Q在AB上且P在Q右侧时，如图②，3t+2t﹣0.5＝5，解得，t＝1.1（s），③Q到达A时所用的时间为：5÷3＝（s），此时，AP＝cm＜AB＝5cm，当Q从A出发还没有到B时，如图③，2t﹣3（t﹣）＝0.5，解得，t＝4.5（s），但此时AQ＝8.5cm＞5cm，不符合题意，④Q到达B时，如图④，此时Q→A→B所用时间为s，5+4（t﹣）+0.5＝2t，解得，t＝s，⑤Q超过P时，如图⑤5+4（t﹣）﹣2t＝0.5，解得，t＝s，综上所述：当PQ相距0.5cm时，经过时间为0.9s或1.1s或s或s．【考察注意点】本题考查了一元一次方程的应用，掌握运动时分5种情况是解题关键．11．（2020秋•道里区期末）甲、乙两车同时从相距234km的A、B两地相向匀速行驶，甲车每小时行70km，乙车速度是甲车速度的，经过1.6或2小时两车相距26km．【易错点分析】根据甲车每小时行70km，乙车速度是甲车速度的，可以求出乙车的速度；两车相向而行，相距26km分为两种情况：相遇前和相遇后．分别设未知数，列出一元一次方程，解方程即可．【规范解答】解：乙车的速度为70×＝60（km）．设两车未相遇前，经过x小时两车相距26km．根据题意，得（70+60）x＝234﹣26，解得x＝1.6．设两车相遇后，经过y小时相距26km．根据题意，得（70+60）y＝234+26，解得y＝2．即经过1.6h或2h两车相距26km．故答案为：1.6或2．【考察注意点】本题考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系，分析不同的情况然后列出一元一次方程世界题的关键．12．（2020秋•武侯区校级期中）有如下定义：数轴上有三个点，若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”．若点A表示数﹣4，点B表示数8，M为数轴上一个动点；若点M在点B的左侧，且点M是点A，B的“关键点”，则此时点M表示的数是5或﹣1或﹣10．【易错点分析】仅仅说3倍关系，所以分类讨论：①AM＝3MB，②3AM＝BM；仅要求M在B左侧，所以分类讨论：①M在A左侧，②M在A右侧；依此即可求解．【规范解答】解：设点M表示的数是m，①当M在A左侧，MA＜MB，所以3AM＝BM，则3（﹣4﹣m）＝8﹣m，解得m＝﹣10；②当M在A右侧，当AM＝3MB时，则m﹣（﹣4）＝3（8﹣m），解得m＝5；当3AM＝BM，则3[m﹣（﹣4）]＝8﹣m，解得m＝﹣1．综上所述：m＝5或﹣1或﹣10．故答案为：5或﹣1或﹣10．【考察注意点】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．13．（2019秋•雨花区期末）一件工作，甲单独做需6天完成，乙单独做需12天完成，若甲，乙一起做，则需4天完成．【易错点分析】本题就是把总的工作看成整体1．甲单独做需6天完成即甲一天完成工作的，同理乙一天完成工作的，设甲，乙一起做，则需x天完成，题目中的相等关系是：甲，乙一起做x天的工作＝总工作1．就可以列方程．【规范解答】解：设需x天完成，则x（+）＝1，解得x＝4，故需4天完成．【考察注意点】列方程解应用题的关键是正确找出题目中的相等关系，用代数式表示出相等关系中的各个部分，把列方程的问题转化为列代数式的问题．本题关键是理解：甲单独做需6天完成即甲一天完成工作的．三．解答题14．（2021秋•攸县期末）株洲市为了节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过15吨的部分，按3元/吨收费；超过15吨的部分按4元/吨收费．（1）若小明家3月份交水费30元，问小明家3月份用水多少吨？（2）若小明家6月份用水16吨，问应交水费多少元？（3）若小明家7月份用水a吨，问应交水费多少元？（用a的代数式表示）【易错点分析】（1）首先根据所交的水费讨论出用水是否超过了15吨，再根据水费计算出用水的吨数；（2）根据题意可得水费应分两部分：①不超过15吨的部分的水费；②超过15吨的部分的水费，把两部分加起来即可；（3）此题要分两种情况进行讨论：①当0＜a≤15时，②当a＞15时，分别进行计算即可．【规范解答】解：（1）由每月每户用水不超过15吨的部分，按按3元/吨收费标准可知，小明家3月份交水费30元，少于45元，于是用水是＝10（吨），答：小明家3月份用水10吨．（2）小明家6月份用水16吨，超过了15吨，于是应交水费为：15×3+4×（16﹣15）＝49（元）；（3）依题意知，①当0＜a≤15时，应交水费为3a元．②当a＞15时，应交水费为：45+4（a﹣15）＝（4a﹣15）元．【考察注意点】此题主要考查了由实际问题列代数式，关键是正确理解题意，分清楚如何计算水费．15．（2021秋•寻乌县期末）已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）求a、b、c；（2）若点P运动到A、B之间，且到A点距离是到B点距离的2倍，求此时点P的对应的数；若运动到B、C之间时，是否存在点P，使它到A点距离是到B点距离的2倍，如果存在，请求出它所对应的数，如果不存在，请说明理由；（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒2个单位的速度向终点C点运动，在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为8？请说明理由．【易错点分析】（1）根据绝对值和偶次幂具有非负性可得a+24＝0，b+10＝0，c﹣10＝0，解可得a、b、c的值；（2）先表达点P的对应的数，在根据题意列出方程，求解即可；（3）分类讨论：当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时；当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后，根据两点间的距离是8，可得方程，根据解方程，可得答案．【规范解答】解：（1）∵|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0，∴a+24＝0，b+10＝0，c﹣10＝0，解得：a＝﹣24，b＝﹣10，c＝10；（2）存在，理由如下：AB＝﹣10﹣（﹣24）＝14，①点P在AB之间，t＝2（14﹣t），解得t＝．∴点P的对应的数是﹣；②点P在BC上，t＝2（t﹣14），解得t＝28，∴点P的对应的数是4；∴点P运动到A、B之间，且到A点距离是到B点距离的2倍，点P的对应的数﹣；当点P运动到B、C之间时，存在点P，使它到A点距离是到B点距离的2倍，点P的对应的数是4；（3）设点Q开始运动后第t秒时，点P，Q两点之间的距离为8，∵AB＝14，BC＝20，AC＝34，∴tP＝20÷1＝20（s），即点P运动时间0≤t≤20，点Q到点C的时间t＝34÷2＝17（s），即点Q运动的时间为：0≤t≤17．当P、Q相遇前，2t+8＝14+t，解得t＝6；当P、Q相遇后，2t﹣8＝14+t，解得t＝22＞17（舍去）；综上所述，点Q开始运动后第6时，点P，Q两点之间的距离为8．【考察注意点】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，掌握非负数的性质，再结合数轴解决问题．16．（2021秋•芝罘区期末）如图，一个长方形养鸭场的长边靠墙，墙长25米，其他三边用竹篱笆围成，现有长为64米的竹篱笆，王海同学打算用它围成一个鸭场，其中长比宽多4米；刘江同学也打算用它围成一个鸭场，其中长比宽多10米．你认为谁的设计符合实际？通过计算说明理由．【易错点分析】设王海同学设计的鸭场的长为xm，则宽为（x﹣4）m，现有长为64m的竹篱笆，可以列方程x+2（x﹣4）＝64，解方程求出x的值；设刘江同学设计的鸭场的长为ym，则宽为（y﹣10）m，可列方程y+2（y﹣10）＝64，解方程求出y的值，再将x的值及y的值分别与墙长进行比较，即可得出答案；【规范解答】解：王海同学的设计符合实际，理由如下：设王海同学设计的鸭场的长为xm，则宽为（x﹣4）m，根据题意得x+2（x﹣4）＝64，解得x＝24；设刘江同学设计的鸭场的长为ym，则宽为（y﹣10）m，根据题意得y+2（y﹣10）＝64，解得y＝28，∵24m＜25m，28m＞25m，∴王海同学的设计符合实际．【考察注意点】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是用代数式分别表示长方形的长和宽以及长方长的面积．17．（2022春•晋江市期末）某人自驾车从A市前往B市，前五分之一路段为县道，中间的路段为高速公路，后十分之一路段也是县道．已知汽车在县道上行驶的速度为60km/h．在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A市前往B市一共行驶了1.8小时．求A、B两市之间的路程．【易错点分析】设A、B两市之间的路程为skm，根据“汽车从A市前往B市一共行驶了1.8小时”建立方程，求解即可．【规范解答】解：设A、B两市之间的路程为skm，根据题意可知，+＝1.8，解得：s＝150，答：A、B两地的距离为150千米．【考察注意点】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是根据行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间解答．18．（2021秋•高新区校级期末）如图，A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、40，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个电子小球同时从原点出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变，当两小球第一次相遇时都停止运动．设两个小球运动的时间为t，那么：（1）当0＜t＜10时，M在数轴上对应的数可以表示为﹣2t；（2）小杨同学发现：当0＜t＜10时，2MB﹣NA始终为定值．小杨的发现是否正确？若正确，请求出这个定值；若不正确，请说明理由．（3）在整个运动过程中，t为何值时M、N两个小球间的距离为6？请直接写出答案．【易错点分析】（1）根据＝10s判断出M未碰到挡板，又M向负轴运动，则找到M对应数轴上的数．（2）用t表示MB、NA，作差即可得到定值60．（3）按碰到挡板后和未碰到挡板分类讨论，列一元一次方程．【规范解答】解：（1）M、N碰到挡板所需时间均为10s，∴0＜t＜10时M未碰到挡板运动距离为2t，又M向负轴运动，则M对应数轴上的数为﹣2t，故答案为﹣2t．（2）0＜t＜10时，设O点在数轴上对应的数为0，则MB＝MO+OB＝2t+40；NA＝NO+OA＝4t+20，2MB﹣NA＝2（2t+40）﹣（4t+20）＝60，故2MB﹣NA为定值，定值为60．（3）0＜t＜10时，MN＝MO+ON＝2t+4t＝6t，令MN＝6则t＝l；10＜t＜20时，MN＝MO+ON＝AO﹣AM+BO﹣BN＝20﹣（2t﹣20）+40﹣（4t﹣40）＝120﹣6t；令MN＝6则t＝19．故t＝1s或19s时，MN两个小球间距离为6．【考察注意点】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，在做（3）时需进行分类讨论．19．（2021秋•宜城市期末）某市两超市在元旦期间分别推出如下促销方式：甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：购物不超过300元，不给与优惠；超过300元而不超过600元一律打九折；超过600元时，其中的600元优惠10%，超过的部分打八折；已知两家超市相同商品的标价都一样．（1）当一次性购物总额是500元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？（2）当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同？（3）某顾客购物总额相同，其在乙超市实付款584元，问其在甲超市需实付款多少元？【易错点分析】（1）根据两超市的促销方式，可分别求出在甲、乙两超市购买所需费用；（2）设当购物总额是x元时，甲、乙两家超市实付款相同，根据两超市的促销方式及实付款相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）设该顾客购物总额为y元，利用在乙超市购买实付款＝600×0.9+0.8×超过600元的部分，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再将其代入0.88y中即可求出结论．【规范解答】解：（1）在甲超市实付