专题13有理数的乘方（原卷版）

专题13有理数的乘方1.理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义.2.会求有理数的正整数指数幂.3.熟练掌握有理数混合运算（含乘方）顺序和法则.4.感受发现问题的过程中体会到数学学习的乐趣，从而增进学好数学的自信心.【思考1】手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折(每次对折称为一扣)，如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细|的面条.你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？【乘方的趣事】关于国际象棋的起源，有一个传说：在古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋。为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。大臣说：“第1格放1粒小麦，第2格放2粒小麦，第3格放4粒小麦，然后是8粒、16粒、32粒..，一直到第64格……即每一个次序在后的格子中放的小麦都必须是前一个格子麦粒数目的两倍，直到最后一个格子放满为止”。国王哈哈大笑，慷慨地答应了大臣的要求。然而，国王最终发现，按照与大臣的约定，全印度的麦子竟然连棋盘一小半格子数目都不够。大臣索要的麦粒数目实际上是天文数字，总数将是一个十九位数，折算重量约为2000多亿吨，即使现代，全球小麦的年产量也不过是数亿吨。1.有理数的乘方乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂．注意：①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有；②乘方运算，代表的是多个相同因数相乘，要与乘法运算区分开来；③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁；④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．2．有理数指数幂的符号规律：1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0．注意:除0以外的任何数的“0次幂”结果为1.考点1、有理数乘方的概念【解题技巧】有理数乘方的概念求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．即有：.在中，叫做底数，n叫做指数.例1．（2022秋·广东广州·七年级统考期末）在中，底数是______，指数是______.计算：______.例2．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）计算的结果，正确的是（

）A． B． C． D．变式1．（2023·贵州贵阳·统考一模）代数式可以表示为（

）A． B． C． D．n2变式2．（2023春·福建福州·九年级校考期中）若为正整数，则的意义为（

）A．3个相加 B．5个相加 C．3个相乘 D．8个相乘变式3．（2022秋·湖南长沙·七年级统考期末）表示的意义是(

)A．与相乘 B．与相加 C．个相乘 D．个相加考点2、有理数乘方的运算【解题技巧】有理数乘方的运算（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．例1．（2023秋·河北石家庄·七年级校考阶段练习）若，则（）A．2 B．3 C．4 D．5例2．（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）已知在，，，这4个数中，最大的数是（

）A． B． C． D．变式1．（2023春·上海静安·七年级校考期中）下列各式中，正确的是

）A．B．C．D．变式2．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）在有理数、、、中负数有（

）个A．4 B．3 C．2 D．1考点3、乘方运算的符号规律【解题技巧】乘方的符号规律：1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0．例1．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）已知为正整数，计算的结果是（）A．1 B．1 C．0 D．2例2．（2022·河北·石家庄模拟预测）若非零数a，b互为相反数，下列四组数中，互为相反数的个数为（

）①与；②与；③与；④与A．0 B．1 C．2 D．3变式1.（2022·浙江宁波·七年级期中）下列各组数中，结果相等的是（

）A．52与25B．﹣22与（﹣2）2C．﹣34与（﹣3）4D．（﹣1）2与（﹣1）20变式2．（2022·河南漯河·七年级校考阶段练习）计算的值，结果正确的是（

）A．1 B． C．0 D．或0考点4、有理数乘方的简算【解题技巧】性质：例1．（2022秋·广东东莞·七年级期中），由此你能算出（

）A．6 B．8 C． D．十分麻烦例2．（2022·江苏·七年级专题练习）阅读计算：阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…回答下列三个问题：(1)验证：（4×0.25）100＝；4100×0.25100＝．(2)通过上述验证，归纳得出：（）n＝；（）n＝．(3)请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014．变式1．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）计算的结果是（

）A． B． C． D．变式2．（2022秋·福建三明·七年级统考期中）（1）计算下面两组算式：①与；

②与；（2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果）（3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由．（4）利用上述结论，求的值．考点5、含乘方的混合运算【解题技巧】有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．例1．（2023春·上海徐汇·七年级校考阶段练习）例2．（2022春·广东江门·七年级台山市新宁中学校考期中）计算：．例3．（2022·广东清远·七年级统考期末）计算：．变式1．（2023·广西南宁·统考二模）计算：．变式2．（2023·广西柳州·统考三模）计算变式3．（2023·广西贵港·统考三模）计算：考点6、有理数乘方的应用（进制问题与末位数字问题）【解题技巧】此类题型通常乘方运算种的幂比较大，且无简单计算方法，直接计算几乎无法进行。但此类题型也并非需要求解出最终的结果，往往只需要求解这组数的末尾数字。因此，在解这类时，我们只需要关注末位数字，通过多计算几组末尾数字，找出末尾数字的变化规律。最后依旧变化规律，分析出最终结果。例1．（2023·河南南阳·统考一模）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（

）A． B． C． D．例2．（2022秋·江苏·七年级期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一书生用此方法来记录自己读书的天数，如图1，他在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天（），按同样的方法，图2表示的天数是_____．变式1．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是（

）A．3 B．5 C．7 D．9变式2．（2023·浙江温州·校考二模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．母亲甲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子1出生后的天数，如图1所示，孩子1出生后的天数是（天），母亲乙按照母亲甲的做法记录孩子2出生后的天数，如图2所示，则孩子2出生后的天数比孩子1出生后的天数（

）

A．少41天 B．少42天 C．多41天 D．多42天考点7、有理数乘方的应用（实际问题）【解题技巧】此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。例1．（2022秋·江苏常州·七年级校考阶段练习）将一根绳子对折一次后从中间剪一刀，绳子变成3段；对折两次后从中间剪一刀，绳子变成5段：将这根绳子对折n次后从中间剪一刀，绳子变成_____段．例2．（2022秋·福建厦门·七年级校考期中）七年级某班的学生共有49人，军训时排列成的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点n个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令同一名学生可以多次被点，则m次点名后，（n，m为正整数）下列说法正确的是（

）A．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个B．当n为偶数时，无论m何值，对下的学生人数不可能为偶数个C．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个D．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个变式1．（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）某种细胞每过秒便由个分裂成个．经过分钟，这种细胞由个分裂成（

）个．A． B． C． D．变式2．（2023秋·安徽亳州·七年级统考期末）一条长的钢丝，第一次剪的去钢丝的，第二次剪去剩下钢丝的，如此剪下去，第次剪完后剩下钢丝的长度是（

）A． B． C． D．变式3．（2023·广东东莞·九年级东莞市东华初级中学校考期中）某公园将免费开放一天，早晨6时30分有2人进公园，第一个30min内有4人进去并出来1人，第二个30min内进去8人并出来2人，第三个30min内进去16人并出来3人，第四个30min内进去32人并出来4人，······按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（

）A． B．4039 C．8124 D．16304考点7、有理数乘方的新定义问题【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.例1．（2022秋·湖南邵阳·七年级校联考期中）定义一种运算符号“★”：，如：，那么的结果是_______．例2．（2023·山东枣庄·统考一模）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（

）A． B．2 C．1 D．4变式1．（2020秋·浙江金华·七年级校考期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：若n＝449，则第2020次“F运算”的结果是______．变式2．（2023秋·湖南常德·七年级统考期末）已知，记作，已知，记作，已知，记作，那么：（1）______；（2）()．A级（基础过关）1．（2022秋·七年级单元测试）下面对的描述正确的是（）A．个相乘所得的积B．后面有个C．后面有个D．后面有个2．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）算式可以表示为（）A． B． C． D．3．（2022秋·广东深圳·七年级校考期中）下列各数，，，，中，负数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．（2022秋·成都市七年级期中）接近于（

）A．一张纸的厚度B．姚明的身高C．三层楼的高度D．珠穆朗玛峰的高度5．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）式子与的正确判断是（

）A．当为偶数时，这两个式子互为相反数 B．这两个式子是相等的C．当为奇数时，它们互为相反数 D．为偶数时它们相等6．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）若一个幂的底数为5，指数为3，则这个幂写作______（只写形式，不计算结果）7．（2022·绵阳·七年级期中）当自然数的个位数分别为0，1，2，…，9时，的个位数如表所示：个位数0123456789个位数0149656941个位数0187456329个位数0161656161······在10，11，12，13这四个数中，当____________时，和数能被5整除．8．（2023春·广西南宁·九年级南宁三中校考阶段练习）计算：．9．（2022秋·广东揭阳·七年级校考阶段练习）10．（2022秋·河北保定·七年级校考期中）计算：(1)(2)11．（2023秋·贵州铜仁·七年级期末）计算：(1)(2)B级（能力提升）1．（2023春·福建福州·九年级校考期中）下列运算中，结果可以为的是（）A．B．C．D．2．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）下列各式：①﹣a；②﹣|x|；③﹣；④；⑤，其中值一定是负数的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．43．（2022秋·山东德州·七年级校考期中）定义：如果（，且），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．下列说法：①；②；③若，则；④；正确的序号有（）A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④4．（2022秋·全国·七年级期末）现有价格相同的6种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或涨价10％，若干天后，这6种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为，则的最小值为（

）A． B． C． D．5．（2023春·上海徐汇·七年级校考阶段练习）对1，3，5，5四个数进行“加、减、乘、除、乘方”混合运算（每个数只能使用一次），其计算结果为24，请列出算式：______（填一个算式即可）6．（2023秋·山东淄博·六年级统考期末）把一张厚度为的纸对折8次后，厚度为______________．7．（2023秋·山东淄博·六年级校考期末）我国古代《易经》一书中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是_______．8．（2022秋·上海·七年级校考期中）为计算，可令，则，因此，根据以上解题过程，猜想：____________________9．（2022秋·河南南阳·七年级期中）对于任何数，规定一种新运算，例如：．(1)按照这个规定，请你计算的值；(2)按照这个规定，请你计算当x、y满足时，求的值．10．（2022秋·辽宁抚顺·七年级统考期中）（1）在下表中，给出了国外四个城市与北京的时差城市悉尼罗马伦敦纽约时差/小时2－7－8－13下面的五个时钟显示了同一天同一时刻国外四个城市时间和北京时间，①若北京时间是11月12日上午9点10分，那么伦敦时间为；②从左到右五个时钟对应的城市分别为：A：；B：；C：；D：；E：．（2）阅读下列材料，并解决后面的问题．材料：一般地，n个相同的因数a相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．直接写出之间满足的关系式．11．（2023秋·浙江金华·七年级校考阶段练习）根据“二十四点”游戏规则，3，4，，10每个数都必须用且只能用一次，用有理数的运算符号（+或或×或÷或乘方）连接，运算符号不一定全用，使其结果等于24，请写出两个不同的算式．12．（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）计算题，要求写出具体计算过程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．13．（2022秋·河北石家庄·七年级统考期末）如图是一个数学游戏活动，分别代表一种运算，运算结果随着运算顺序的变化而变化．（提示：①每次游戏都涉及四种运算；②运算过程中自动添加必要的括号）(1)4经过的顺序运算后，结果是多少?(2)2经过、的顺序运算后，结果是，则被遮挡部分的运算顺序应是________．14．（2022秋·福建厦门·七年级大同中学校考期中）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，（规定）如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班的学生．(1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________．(2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“”、“”，结合“+”、“”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示的班级编号范围． C级（培优拓展）1．（2023·湖北恩施·统考二模）在算式中的“”里填入一个运算符号，使得它的结果最小（

）A． B． C． D．2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）应等于（

）A． B． C． D．3．（2022·四川成都·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（

）（1）总是正数；（2）总是正数；（3）的最大值为5；（4）的最大值是3．A．1 B．2 C．3 D．44．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）如果ab＝c，那么我们规定[a，c]＝b．例如：因为23＝8，所以[2，8]＝3．若[3，5]＝n，[9，m]＝n；则[3，m+2]＝_______．5．（2022秋·福建福州·七年级校考期末）已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是_____．6．（2022秋·浙江·七年级期末）把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止，那么2018、2019、2020、2021这四个数中______可能是剪出的纸片数．7．（2022秋·广东·七年级期中）数学真奇妙，小慧同学研究有两个有理数a和b，若计算a+b，ab，ab，的值，发现有三个结果恰好相同，小慧突发灵感，想考考大家，请你们求_____________8．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）在一次数学课上，张老师对大家说：“你任意想一个非零有理数，然后按下列步骤操作，去运算出最后结果．”操作步骤如下：第一步：计算这个数与1的和的平方，减去这个数与1的差的平方；第二步：把第一步得到的数乘以25；第三步：把第二步得到的数除以你想的这个数．(1)若嘟嘟同学心里想的是数，请你计算出最后结果；(2)老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等．”雯雯想验证这个结论，于是，设心里想的数是，请你帮雯雯完成这个验证过程．9．（2023秋·江西宜春·七年级统考期末）阅读材料，解决问题：我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到：；；观察上述算式，；可以得到：；类比上述式子，你能够得到：(1)，；(2)利用由特殊到一般的思想，可以得到：（m、n都是正整数）；我们把类似于am和an这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”；(3)知识运用：，；(4)已知，则的值是．10．（2022秋·浙江·七年级专题练习）先阅读下列材料，再解答后面的问题材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为an．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为(即)．一般地，若(且)，则叫做以为底的对数，记为(即)．如，则4叫做以3为底的对数，记为(即)．问题：(1)计算以下各对数的值：=_________，=_________，=_________．(2)通过观察（1），思考：、、之间满足怎样的关系式？(3)由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？＝______（且）．(4)利用（3）的结论计算＝______． 11．（2022秋·广东惠州·七年级统考期中）有一种“24点”的游戏，规则为：将4个给定的有理数进行加减乘除四则运算（每个数只能用一次），使其结果为24，例如1，2，3，4可做如下运算：(1)现有4个有理数：，3，4，10，运用上述规则，写出一个算式，使其结果为24：_________(2)现有4个有理数：1，2，4，，在上述规则的基础上，再多给你一种乘方运算，请你写出一个含乘方的算式，使其结果为24：________________12．（2023秋·江西宜春·七年级统考期末）类比乘方运算，我们规定：求n个相同有理数（均不为0）的商的运算叫做除方．例如，记作，读作“2的引4次商”；一般地，把（，，且为整数）记作，读作“a的引n次商”．(1)直接写出计算结果：______，______；(2)归纳：负数的引正奇数次商是______数，负数的引正偶数次商是______数（填“正或负”）；(3)计算：．13．（2022秋·山东青岛·七年级统考期中）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不