大学电路第十五章割集

15.1割集下页上页一、割集的概念：

1.割集Q：是连通图G中支路的集合

，它具有下述性质：

*

把Q中全部支路移去，图分成两部分。

*

任意放回Q

中一条支路，图仍连通。876543219割集：(196)(289)(368)(467)(578)(36587),(3628)是割集吗？返回2.

确定割集的方法：在G上作闭合面，使其包围G的某些结点，与该闭合面相切割（只切割一次）的所有支路构成G的一个几个集。876543219注意（1）.连支集合不能构成割集。(剩余的树支是连通的）（2）.属于同一割集的所有支路的电流应满足KCL。当一个割集的所有支路都连接在同一个结点上，则割集的

KCL方程变为结点上的KCL

方程。下页上页二、独立割集和基本割集：1.独立割集：对应一组线性独立的KCL方程的割集称为独立割集。2.基本割集：只含有一个树枝的割集。也称单树枝割集。割集数＝n-1

单树枝割集是独立割集，但独立割集不一定是单树支割集。

返回87654321915.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质。有三种矩阵形式：下页上页

图的矩阵表示结点支路关联矩阵回路支路回路矩阵割集支路割集矩阵返回下页上页一.关联矩阵A1.关联矩阵Aa:描述结点和支路的关联情况的矩阵。

n个结点b条支路的图用nb的矩阵描述：Aa=n

b支路b结点

n每一行对应一个结点，每一列对应一条支路。矩阵Aa的每一个元素定义为：注意ajkajk=1

支路k与结点j

关联，方向背离结点；ajk=-1

支路k与结点j关联，方向指向结点；ajk

=0

支路k与结点j无关。返回下页上页例1２３６５４①②④③特点每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1，Aa的每一列元素之和为零。Aa=1234123456支结-1-1100000-1-1011001100100-1-1矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1行是独立的。返回下页上页Aa=1234123456支结-1-1100000-1-1011001100100-1-12.降阶关联矩阵A：划去Aa

的任一行,所剩的[（n-1)×b]阶矩阵。被划去的行对应的结点为参考结点。A=(n-1)

b支路b结点n-1返回下页上页3.关联矩阵的作用：用A表示KCL的矩阵形式设:以结点④为参考结点[A][i]=-1-1100000-1-101100110矩阵形式的KCL:

[A][i]=0返回下页上页用矩阵[A]T表示的KVL的矩阵形式设:返回下页上页二.回路矩阵B1.独立回路矩阵：描述独立回路与支路的关联关系的矩阵。[B]=l

b支路b独立回路

l每一行对应一个独立回路，每一列对应一条支路。矩阵B的每一个元素定义为：bij1

支路j

在回路i中，且方向一致；-1

支路j

在回路i中，且方向相反；0

支路j

不在回路i中。返回下页上页例1２３６５４①②④③123取网孔为独立回路，顺时针方向给定B可以画出对应的有向图。123[B]=123456支回011001000-11-11-100-10注意2.基本回路矩阵Bf所选独立回路为单连支回路组时，得到的回路矩阵。返回支路排列顺序为先连支后树支，回路顺序与连支顺序一致。下页上页连支电流方向为回路电流方向；规定例选2、5、6为树，连支顺序为1、3、

4

。1２３６５４①②④③231123[Bf]=134256支回100-1-100101010010-11BtBl=[1Bt

]返回下页上页3.回路矩阵[B]的作用用回路矩阵[B]表示矩阵形式的KVL方程；设ulut[B][u]=100-1-100101010010-11l个独立KVL方程矩阵形式的KVL：[B][u]=0返回设：用回路矩阵[B]T表示矩阵形式的KCL方程下页上页独立回路电流返回下页上页1２３６５４①②④③231矩阵形式的KCL：[B]T[il]=[i]返回下页上页三.割集矩阵[Q]1.独立割集矩阵：描述割集与支路关联关系的矩阵。[Q]=(n-1)

b支路b割集数注意每一行对应一个基本割集,每一列对应一条支路.矩阵Q的每一个元素定义为：qij1

支路j

在割集i中，且与割集方向一致；-1

支路j

在割集

i中，且与割集方向相反；0

支路j

不在割集

i中。返回2.基本割集矩阵Qf

：所选独立割集为单树枝割集组时，得到的割集矩阵。规定基本割集矩阵割集方向为树支方向；支路排列顺序先树支后连支；割集顺序与树支次序一致。1２３６５４①②④③例选1、2、3支路为树Q1:{1,4,5}Q2:{2,5,6}Q3:{3,4,6}QlQt下页上页[Qf]=123456支割集Q1Q2Q3100110

0100-1-1

00110-11２３６５４①②④③3.基本割集矩阵的作用用基本割集矩阵[Qf]表示矩阵形式的KCL方程。设返回矩阵形式的KCL：[Qf

][i]=0下页上页[Qf

][i]=100110

0100-1-1

00110-11２３６５４①②④③n-1个独立KCL方程返回设树枝电压（或基本割集电压）：ut=[u1u2u3]T用[Qf]T表示矩阵形式的KVL方程矩阵形式的KVL：[Qf

]T[ut]=[u]下页上页返回下页上页小结QABKCLKVL[A][i]=0[B]

T[

il

]

=[i][B][u]=0[Qf][i]=0[Q]T[

ut]=[u]返回15.4回路电流方程的矩阵形式反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。

一.复合支路下页上页规定标准支路Zk

(Yk)+-+-返回下页上页复合支路特点支路的独立电压源和独立电流源的方向与支路电压、电流的方向相反；

支路电压与支路电流的方向关联；

支路的阻抗（或导纳）只能是单一的电阻、电容、电感，而不能是它们的组合。Zk

(Yk)+-+-返回

④复合支路定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。下页上页(ZkYk）(ZkYk）+-返回下页上页Zk

(Yk)=0+-Zk

(Yk)+-Zk

(Yk)=0返回二.支路方程的矩阵形式

1.电路中电感之间无耦合下页上页如有b条支路，则有：Zk

(Yk)+-+-返回设Z=diag[Z1Z2……Zb]支路电流列向量支路电压列向量电压源的电压列向量电流源的电流列向量下页上页阻抗矩阵返回整个电路的支路电压、电流关系矩阵：bb阶对角阵下页上页返回下页上页2.电路中电感之间有耦合M*+-+-*+-+-返回下页上页返回下页上页如1支路至g支路间均有互感……………Z不是对角阵返回下页上页返回例下页上页写出图示电路的阻抗矩阵返回R1R51/j

Cj

L2R6j

L3M三.回路电流方程的矩阵形式回路电流[il

](b-n+1)

1阶下页上页支路方程：返回回路电压源向量回路阻抗阵，主对角线元素为自阻抗，其余元素为互阻抗。回路矩阵方程下页上页返回从已知网络，写出回路分析法的步骤：②

代入回路矩阵方程，求出④根据支路方程解出下页上页小结返回③

由

解出例下页上页用矩阵形式列出电路的回路电流方程。解做出有向图，选支路1，2，5为树枝。15243121234512

+R11/j

C5j

L4R2

-j

L3返回下页上页

把上式各矩阵代入回路电流方程的矩阵形式返回一.支路方程的矩阵形式下页上页15.5结点电压方程的矩阵形式1.电路中不含互感和受控源返回Zk

(Yk)+-+-下页上页返回bb阶对角阵下页上页返回下页上页2.电路中电感之间有耦合但无受控源M*+-+-*+-+-返回下页上页返回下页上页3.电路中有受控电源而无互感Zk

(Yk)+-+-返回下页上页Zk

(Yk)+-+-返回考虑b个支路时：下页上页若：kjkjg返回下页上页若：kjjkjYb返回KCL下页上页二.结点电压方程的矩阵形式支路方程：KVL返回[Yn]结点导纳阵独立电源引起的流入结点的电流列向量下页上页返回结点分析法的步骤第一步：把电路抽象为有向图下页上页5V1

3A1A+-0.5

5

0.5

2

1

1①23456②③④返回第二步：形成矩阵[A]123[A]=123456

110001

0-11100

00-101-1下页上页1①23456②③④第三步：形成矩阵[Y]第四步：形成[US]、[IS][US]=[-500000]T[IS]=[000-130]T返回第五步：用矩阵乘法求得结点方程下页上页返回例下页上页用矩阵形式列出电路的结点电压方程。解做出有向图52431２3１0返回

iS5guauaG5C3G4+