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哈师大青冈实验中学2024-2025学年度高二10月份考试数学试题一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求。)1.已知直线过点,,则直线的倾斜角为(
)A. B. C. D.2.直线和的交点坐标为(
)A. B. C. D.3.已知向量,,则在上的投影向量为(
)A. B. C. D.4.若表示圆的方程,则的取值范围是(
)A. B. C. D.5.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为(
)A. B.C.或 D.或6.如图,在正方体中,分别为的中点,则直线和夹角的余弦值为(
)A.B.C.D.7.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为,若将军从山脚下的点处出发,河岸线所在直线方程为,则“将军饮马”的最短总路程为(
)A.B.3 C.D.58.在下图所示直四棱柱中,底面为菱形,,,动点P在体对角线上,则顶点B到平面距离的最大值为(
)A.B. C.D.二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。)9.下列各点中,不在圆的外部的是(
)A.B.C. D.10.已知直线,,则(
)A.直线过定点 B.当时,C.当时, D.当时,之间的距离为11.如图,已知正方体的棱长为1,P为底面ABCD内(包括边界)的动点,则下列结论正确的是(
)A.存在点P,使平面B.三棱锥的体积为定值C.若,则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为D.若点P是AD的中点,点Q是的中点,过P,Q作平面平面,则平面截正方体的截面面积为三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分。)12.已知空间向量,,且a⊥b,则.13.已知到直线的距离等于3,则a的值为.14.对平面上两点A、B,满足的点P的轨迹是一个圆,这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,命名为阿波罗尼斯圆.已知,,,若动点P满足,则的最小值是.
四、解答题(本大题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)15.(本题满分13分)已知直线经过点和.(1)求的一般式方程;(2)若直线过的中点,且,求的斜截式方程.16.(本题满分15分)如图,在四棱锥中,底面为矩形,侧棱底面,是的中点.(1)求证:平面;(2)求平面与平面夹角的余弦值;17.(本题满分15分)已知圆心为C的圆经过点和点两点,且圆心C在直线上.(1)求圆C的标准方程;(2)已知线段MN的端点M的坐标,另一端点N在圆C上运动,求线段MN的中点G的轨迹方程,并说明表示何曲线?18.(本题满分17分)已知直线.(1)求直线过定点的坐标;(2)当直线时,求直线的方程;(3)若交轴正半轴于,交轴正半轴于,∆AOB的面积为,求最小值时直线的方程.19.(本题满分17分)如图,在四棱锥中,平面平面,,,,,.(1)求证:平面平面;(2)设.①若直线与平面所成角的正弦值为,求线段的长.②在线段上是否存在点,使得点,,在以为球心的球上?若存在,求线段的长;若不存在,说明理由.高二数学试题答案一、单选题1-5CBADD6-8CCA.二、多选题9.ACD10.ABD11.ABC三、填空题12..13.或.14..四、解答题15.【详解】(1)由题意得的两点式方程为,化为一般式方程为.(2)设,的斜率分别为,.由题意得中点的坐标为,由,得,则.因为,所以,得.故的斜截式方程为.16.【详解】(1)连结,交于点,连结,点是的中点,点是的中点,所以,平面,平面,所以平面;(2)如图,以向量,,为轴的正方向建立空间直角坐标系,,,,则,,设平面的法向量,则,令,,,所以平面的法向量,平面的一个法向量为,设平面和平面的夹角为,则,所以平面和平面的夹角的余弦值为;17.【详解】(1)因为圆C经过点和点两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上,即上,联立可解得,即,所以圆C的半径为则圆C的标准方程;(2)设线段MN的中点,又M的坐标,且G为线段MN的中点,所以,又N在圆C上运动,可得,化简可得,所以,线段MN的中点G的轨迹方程.18.【详解】(1)直线可化为,直线过定点.(2)直线,,,直线的方程为,即直线的方程为.(3)解法:设,直线过得:,,当且仅当,即取等号,,,当时,最小值为,此时,直线的方程为,即.解法:由直线的方程得:,,由题设得:.当且仅当时取等号.取最小值时,直线的方程为.19.【详解】(1)在四棱锥中,平面平面,,平面,平面平面,所以平面,又平面,所以平面平面.(2)如图以为原点,以所在直线为轴,以所在直线为轴建立如图所示直角空间坐标系,设,则,由,,,,则,,因,则,,所以,①设平面的法向量为,由,,得:,可取设直线与平面所成角为,则
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