新人教A版必修一 均值不等式及其应用 教案

均值不等式及其应用

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

均值不等式及其应用C了解均值不等式的几何解释，掌握均常考

值定理，能熟练利用均值不等式比较

大小及求最值.易错的地方是常常忽

略取等条件。

均值不等式的含义B理解均值不等式，了解其证明过少考

程。

均值不等式的应用C能熟练应用均值不等式解决简单的少考

最大(小)值问题。

均值不等式的实际应用C能熟练应用均值不等式解决实际应少考

用问题.

知识提要

均值不等式及其应用

均值不等式及其应用的知识主要包含：均值不等式的含义和均值不等式的应用及实际应用.均

值不等式是指:若a">0,则

2,-a4-Vab4-ba+b2(a2+ah+b2)a2+b2a2+b2

1.1323(a+b)、2a+b

万十万'

其中自称为调和平均数，病称为几何平均数，出警称为希罗平均数，蜉称为代数平均数,

-a"FTb32

曾学称为形心平均数，叵称为平方平均数，号称为反调和平均数.

3(a+D)72a+b

其中常用的是：

2,—a+ba2+b2

T~14加《一^―4~2~,

a+bN

想要利用均值不等式求代数式的最值，就必须构造出积为定值的若干式子的和的形式或者和为

定值的若干式子的积的形式.在利用均值不等式的时候，还需要注意考虑等号取到的条件，对

式子进行系数的调整.

均值不等式的含义

•均值定理如果a,beR+,那么等》正兀当且仅当a=b时，等号成立.对任意两个正

实数a,b,数岁叫做a,b的算术平均值，数叫做a,b的几何平均值.均值不等式可

以表达为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.均值不等式也称为基本

不等式.两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积

有最大值.

均值不等式的应用

基本不等式的应用非常广泛，如求函数最值，证明不等式，比较大小，求取值范围，解决实际

问题等.其中，求最值是其最重要的应用.利用均值不等式求最值时应注意“一正，二定，三

相等“，三者缺一不可.

均值不等式的实际应用

・利用基本不等式解决实际问题的一般步骤：

①正确理解题意，设出变量，一般可以把要求最大(小)值的变量定为函数；

②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；

③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

④正确写出答案.

精选例题

均值不等式及其应用

1.已知％>0,则/(%)=x+1的最小值为

【答案】2鱼

【分析】因为无>0,所以无+：》2%.|=2鱼,当且仅当x=鱼时取等号.

2。已知实数x,y满足2久+2〃=1,则％+y的最大值是.

【答案】-2

3.函数〃无)=笠(无〉2)的最小值为，止匕时光=

【答案】24；4

【分析】设t=x—2,则t>0,且久=t+2,

3(t+2)2

所以y=——-——

3(t2+4t+4)

=5

=3(t+g+4)

>3(2"+4)=24,

当且仅当t=3，即t=2,x=4时，式中等号成立，

因此，函数y=三0>2)的最小值为24,此时x=4.

4o已知x,y为正实数，且x+y=20,则观=lg%+Igy的最大值为

【答案】2

5o函数/'(x)=叠(％>0)的最大值为,此时.

【答案】=2

【分析】因为无>0,

所以/(X)=z%'=-J-•

产+工+4X+-+1

因为x+£》4,

所以0<一，《"

当且仅当X=3即x=2时，式中等号成立.

X

因此函数f(%)=益£/%>0)的最大值为2，此时％=2.

6O已知％>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,％,c,d,y成等比数列，则的最小值

是.

【答案】4

7。已知x,y，z均为正数，则若等的最大值是--------

【答案】y

xy+2yzxy+2yz

222

x+y+zx2+ly2+iy2+z2

/xy+2yz

【分析】4"得2y+~店4"

=V5

一2

X1+x

8.已知％iw%2,设yi=^\y2=%2蓝%1,则％i%2与yi、2的大小关系为

【答案】%1%2<7172

9.已知:％,y均为正，％+y=l,贝拉+：的最小值为

【答案】3

【分析】因为％,y均为正，%+y=1,

所以土+工=13='+〃+1>2+1=3,当且仅当％=y=；时，等号成立.

yxyxyx2

10o函数f(%)=2x--(%>1)最小值是

【答案】8

llo设a>0,b>0.

(1)若工+^=1,求a+b的最小值;

ab

【解】解法一：因为工+1=1,a>0,b>0,

ab____

所以a+b=(a+b)xl=(a+b)G+；)=3+^+，>3+21-^-，—=3+2V2.

\abJbayba

当且仅当巴=空叱=&a时取等号.

ba

所以a+b的最小值是3+2V2,

止匕时a=l+>/^,b=2+V2.

解法二：因为三+：=1,a>0,b>0,

ab

所以b+2a=ab,

显然a>1,

所以/)="=2+=-,

a—1a-1

所以a+b=a+2H---=(a-1)H-----F3>2^2+3,

当且仅当a-1==-即a=1+鱼时取等号.

a-1

所以a+b的最小值是3+2vL

此时a=1+V2,力=2+V2.

(2)若ab=a+b+3,求ab的取值范围.

【解】解法一：因为a>0,b>0,

所以。+b>2Vab,

所以ab=a+b+3>2^ab+3,

所以—2«ab—3》0,

得碗^>3,ab=>9,

所以ab的取值范围是[9,+8).

解法二：因为ab=a+b+3,

所以aHl,b=史三

a-l

因为a>0,b>0,

所以a>1,

所以ab=更”2.

a-l

设1=a-1,贝Ijt>0,

a(a+3)=(t+D("4)=产+5t+4=±+'5'4+5=9

a-ltt丁t丁/

所以ab的取值范围是[9,+oo).

12»已知x<一2,求函数y=次翳上■的最值.

而_2%2+4%+1_2(%+2)2-4(%+2)+1

2(%+2)H---4.

用牛'―x+2~x+2

由％V—2,得％+2V0,即一(%+2)>0f

所以2(%+2)+圭=一[-2(%+2)+_J]<-2/2(%+2)1-=-2V2.

XTZL—\X~r£JJAl)

当且仅当-2(x+2)=即％=-竽时等号成立.

当且仅当x=—等时，函数有最大值—4-2V2.

13»某工厂拟建一座平面图为矩形，面积为200m2,高度一定的三段污水处理池(如图)，

由于受地形限制，其长、宽都不能超过16m,如果池的外壁的建造费单价为400元/m,池中

两道隔墙的建造费单价为248元/m,池底的建造费单价为80元/m2,试设计水池的长x和宽

y(%>y),使总造价最低，并求出这个最低造价.

［解】设污水池长为％m,则宽为詈m,

且0<%416,0<一416,两道隔墙与宽边平行时，造价较省，

设总价为QQ),则x

Q(x)=400(2x+2x等+248x2x^+80x200

=800(%+当)+16000》1600X--+16000

\XJyX

=44800,

当且仅当x=?(光〉0),即％=18时取等号，

所以44800不总最小值，

又因为0<x416,0<—<16,

所以12.5<%<16,而Q(x)在［12.5,16］上单调递减，

所以Q(x)>(2(16)=800(16+答)+16000=45000(元)，

故水池长为16m,宽为12.5m时，其总造价最低，最低造价为45000元.

14.某产品在一个生产周期内的总产量为100吨，平均分若干批生产，设每批生产需要投入固

定费用75元,而每批生产直接消耗的费用与产品数量的平方成正比，已知每批生产10吨时，直

接消耗的费用为300元(不包括固定费用).

(1)求此产品在一个生产周期内的总费用(固定费用和直接消耗的费用)与每批生产量的函数

关系式；

【解】设每批生产量为无吨，总费用为y元，由题意可算出正比例系数卜=黑=3,所以

100100,““

y=------75H---------3产

xx

7500(100

+300%(0V%4100,-----GN

x

(2)求出平均分多少批生产时总费用最小，并求出此时的最小总费用.

【解】因为

75007500

y=---------F300%>2--------300%=3000,

xx

当且仅当等=300x,即x=5时，ymin=3000,此时应分20批.

所以，城均分20批时，总费用最小，最小值为3000元.

15.如图，树顶4距地面7.7m,树上另一点B离地面4.7m,人眼C离地面1.7m.问:人离此树多远

时，看树冠48这一段的的视角最大？（精确到0.01m）

【解】设人离此树dm,从点C看4B的仰角分别为a、氏

所以tan（a-/?）=匕11…叫=耳=斗《备=直.

'1+tanatan^1+—^d+—2V184

dzd

当d=邪寸，即d=3V2«4.24m时，视角最大.

a

16.如图所示，在某公园的一块绿地上划出一个矩形区域，在这个矩形区域的中央修建两个相

同的矩形的池塘，每个面积都为200米,，池塘前方要留4米宽的走道，其余各方均为2米宽的

走道，问每个池塘的长宽各为多少米时（记池塘的长为x米），这个矩形区域占地面积最少?并求出

这个最小值.

【解】设池塘的长为》（光〉0）米,则池塘的宽为雪米，令矩形区域的面积为y平方米,

则有

y=(2%+6)(—+6)

=4[109+3(%+^)]

>4(109+3X20)

=676.

当且仅当尤=手，即为=10时，ymin=676,这时子=20.

答:池塘的长和曾分别为10米，20米,矩形区域的嗫最小为676平方米.

17.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园.设菜园的长

为％m,宽为ym.

(1)若菜园面积为72m2,则％,y为何值时，可使所用篱笆总长最小?

【解】由已知可得盯=72,而篱笆总长为久+2”

v%+2y>2不2xy=24,

当且仅当％=2y,即％=12,y=6时等号成立.

・•・菜园的长%为12m,宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小.

(2)若使用的篱笆总长度为30m,求5+楙的最小值.

【解】由已知得x+2y=30,

•••P+-)•(x+2y)=5+^+—>5+2怪•竺=9,

\xyjxyA/xy

,,xlyN10,

当且仅当％=y,即％=10,y=10时等号成立.

-十三的最小值是。.

xy10

18.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的

楼房，经测算，如果将楼房建为%(%)10)层，那么每平方米的平均建筑费用为560+48%(单

位:元).

(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数式的函数关系式.

【解】依题意得y=(560+48%)4--21-6-0-X-1-0-00-0=56L0”+,48%+.-1-0-8-00(%>10,%eN*).

2000%x

（2）该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？

（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费甩平均购地费用=舞普

【解】因为x〉0,

所以48x+丑期>2V48x10800=1440,

X

当且仅当48x=等，即x=15时取到“=”，

此时，平均综合费用的最少值为560+1440=2000（元）.

所以当该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元.

19o某工厂有旧墙一面长14m,现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂

房，条件是：①建1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用是与元；③拆去1m旧墙用所得

到的材料建1m新墙的费用为5元，经讨论有两种方案：①利用旧墙的一段％m（光<14）为矩形

的厂房的一面边长；②矩形厂房的一面边长为无》14,问如何利用旧墙，即尤为多少时建墙费

用最省？

【解】设利用旧墙一面的边长为无m,则矩形另一边长为匕m.

X

方案①：x<14时，总费用：

丫=4%+2（14-%）+42%+丫-14）=7a（^-+--1J,

可求得y最小值为35a.当且仅当％=12时，ymin=35a.

方案②：x>14时，总费用

7/126\/126\21

y=—CL2.CL\x------7I=2dIxH-----）——CL,

2\xJ\xJ2

又因为「。）=》+子在［14,+8）上为增函数，所以当x=14时，ymin=35.5a.

20.鉴于近年来羊皮手套的销售逐渐升温，2013年某羊皮手套生产厂计划投入适当的广告费，

对生产的手套加强促销.在一年内，据测算销售量S（万双）与广告费x（万元）之间的函数关系是

5=5--.已知羊皮手套的固定投入为6万元，每生产1万双羊皮手套仍需要再投入25万

X

元.（年销售收入=年生产成本的120%+年广告费的50%）

（1）将羊皮手套的年利润L（万元）表示为年广告费无（万元）的函数;（年利润=年销售收入-

年生产成本-年广告费）

【解】由题意，得羊皮手套的年生产成本为25S+6万元，

则年销售收入为（25S+6）x120%+比x50%万元，

年利润为L=（25S+6）X120%+%X50%-（25S+6）-x=|（25S+6）-p

又S=5-

X

所以乙=5（5_9+（_3=牛一〃一30>0）.

（2）当年广告费投入为多少万元时，该厂的年利润最大？最大利润为多少？（结果保留两位

小数）（参数数据：6=1.732,逐=2.236,遥=2.449）

【解】由⑴，得

_13110x

L2

=26.2-2V5

=26.2—2x2.236

=21.728«21.73.

当且仅当/=］时，即%=2遍=2x2.23624.47时，L有最大值21.73.

因此，事年户告费投入约为4.47万元时，此厂的年利润最大，最大年利润约为21.73万元.

均值不等式的含义

lo若点（a,b）在直线x+3y=1上，则2a+8b的最小值为.

【答案】2V2.

2o若x>0,y>0,x+y=2,则xy的最大值为.

【答案】1

3。若|x+y|=4,贝hy的最大值是.

【答案】4

【分析】％〉《（等）=（1）=4-

4.已知a,b为正常数，x,y为正实数，且2+2=1,贝!|x+y的最小值为______

xy

【答案】a+b+2而

5.已知％>0,y>0,且（=1,则％+y的最小值为.

【答案】16

【分析】

,、/19、

X+y=（%+y）仁+]

y9%

=10+-+—

xy

当且仅当白£,且打：1，即》=4/=12时，x+y的最小值为16.

6.已知4(3,0),8(0,4),动点P@y)在线段AB上移动，则灯的最大值等于

【答案】3

【分析】线段4B的方程为7+5=1(04X43).

34

孙=12•历《12•(券j=3.

当且仅当工=廿=工，即无=三,y=2时取等号.

3422

70若正数％,y满足2%+y=l,贝！J%y的最大值为.

【答案】3

8.已知a,bGR+且!+'=L则a+。的最小值为.

【答案】9

9.已知m=a+-二(。>2),n=(；)(%<0),则m,n之间的大小关系是一

Q-2\2/

【答案】m>n

10o已知函数f(%)=合(尢>0),则函数图象上最高点的坐标为.

【答案】(2,)

(1)已知。，b,c为两两不相等的实数，求证：a2+/?2+c2>aZ?+be4-ca;

【解】因为a,b,c互不相等，

所以M+ft2>2ab,b2+c2>2bc,a24-c2>2ac,

所以2(小+炉+c2)>2(ab+be+ac),

即a2+b2+c2>ab+be+ac.

(2)若a,力，c均为正数，求证:M+b3+c3>3abc.

【解】因为(M+ft3)—(a2b.|_0炉)=a2(a—b)—b2(a—b)=(a—b)2(a+b)>0,

所以〃+b3>a2b+ah2.

同理可证力3+c3>b2c+he2,a3+c3>a2c+ac2,

所以

2(a3+b3+c3)>(a2b+be2)+(ah2+ac2)+(b2c+a2c)

=&(a2+c2)+a(62+c2)+c(a2+b2)

>b•2ac+a•2bc4-c-lab

=6abe,

所以苏+b3+c3>3abc,当且仅当a=b=c时取等号.

12o某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，

正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，屋顶每平方米造价20元，试计

算：

(1)仓库面积S的最大允许值是多少？

【解】设铁栅长为%米，一侧砖墙长为y米，则S=%y,由题意得

40%+2x45y+20xy=3200,

应用基本不等式，得‘

3200>2j40xx90y+20xy,

当且仅当40%=90y时取等号.即S+6V54160,亦即(即+16)(巡一10)<0..•.遮《

2

10nS4100.因此S的最大允许值是100米.

2

答:仓库面积S的最大允许值是100米.

(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？

【解】当倒;二黑y则％=15米,即铁栅的长为15米时S达到最大.

答：铁栅设计为15米时最大，实际投资不超过预算.

13.已知0V%<5求函数y=%(1一3%)的最大值.

【解】v0<x<|,

•••1—3%>0.

y=x(l-3x)=|[3x-(l-3x)]<|『+(;—3霜]=..

当且仅当3%=1-3%,即第=；时，取等号.

6

.•・当》=对，函数取得最大值白

o12

14„某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维

修费用第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最

小?最小值是多少？

【解】设这种汽车使用x年时，它的年平均费用为y万元，则

10+0.9x+(0.2+0.4+0.6H----HO.2x)

y------------------------------------------------

X

O,9X(O2+O2X)X

__1_O_+_____+_____2

X

_0.1x2+x+10

X

—0.1%H------F1>3.

x

当且仅当0.1光=4，即X=10时Vmin=3.

因此，使用10年前，年平均费用最小，最小值是3万元.

15.如图所示，某畜牧基地要围成相同面积的长方形羊圈4间，一面可利用原有的墙壁，其余各

面用篱笆围成，篱笆总长为36m,每间羊圈的长和宽各为多少时，羊圈面积最大？

【解】设每间羊圈的长、宽分别为%,y,则有4x+6y=36,即2%+3y=18.

设S=xy,

18=2x+3y>2,2%•3y=2j6%y,

•••xy<y,即S<y.

上式当且仅当2%=3y时，等号成立.

•9

得

此时,M3=18,

y=3.

答：当每间羊圈的长，宽分别为］m,3m时面积最大.

16.若关于%的方程>+(4+a)3x+4=0有解，求实数a的取值范围.

【解】法一:

因为

/+444

—（4+。）=丁=3'+京》2产4=4,

3%

当且仅当3,=2时，等号成立.

所以a+44—4,解得a4—8.

法二：令法=t(t>0),则方程变成产+(4+>。+4=0.

原方程有解即此方程有正根，又两根之积为4,所以有

(—(a+4)>0

t(a+4)2-16>0;

解得a<—8.

17.已知正数a,b满足a+8=1.

(1)求ab的取值范围；

【解】•••a>0,匕>0,.,.由与2》得。<ab<

(2)求ab+盛的最小值.

【解】设函数-%)=无+；(0<%《»

设0<%]〈冷《丁

fOi)-y(x2)=(xr+")一生+J

=(%1,%2)+(£,£)

i」。「)(1一白).

,，

0<%】<%?4~5«X]%?V0，%1%2〈V0，

■1-。1-冷)(1一点)>0.

••­/1(■)>/■(无2).

即f(%)在(0用上是减函数，因此，当％=｝时，/⑺取得最小值4+；*

-e-ab+々的最小值为1.

ab4

18o过点P(2,l)作直线1分别交x轴、y轴的正半轴于4,8两点.当A40B的面积最小时，求直线

1的方程.

【解】设I的方程为工+[=1(a>0,b>0)，则4(a,0),5(0,b),S=^ab.又因为

abAA0B

1过点p,所以三+1=1,于是由

ab

212

1=-+r>2

ab、ab

可得ab》8,因此SMOB>4,当且仅当"；即a=4,b=2时，等号成立.

此时1的方程为3+：=l."''

19.已知a>0,求函数y=5要H的最小值.

Vxz+a

【解】当0Va《l时，y==A//+1+》2+及•=2，

VX+avxz+a7Vxz+a

当且仅当A/%2+a=:,即％=±11—q,取“=".所以ymin=2；

Vxz+a

当时，7x2+」=不成立.而此时y=［罩2在［0,+8)上为增函数，所以

Vx2+aVxz+a

X=0时，7min=鬻

20.已知函数f(x)=x(l+%)2.

(1)求函数f(%)的单调区间与极值.

【解】由/(%)=%3+2%2+工，得

/'(%)=3x2+4%+1

=(%+1)(3%+1).

令r(%)=o,解得

1

%=-i,%2=一§♦

当％变化时，/(%)、r(%)的变化情况如下：’

xST)-1—)(]，+8)

「(无)+0-0+

递增极大值递减极小值递增

由此J(x)的增区间是(一8,—1)和(一|,+8),减区间是(一1,—1)；

人比)的极大值、极小值分别是八―1)=0、=

(2)设g(%)=ax2.若对于任意久G(0,+8),f(%)>g(%)恒成立，求实数a的取值范围.

【解】由题意，得

x3+2x2+%>ax2

对任意的％G(0,+8)恒成立，等价于

1

a4—F%+2

x

对任意的％e(0,+8)恒成立.

由x〉o及均值不等式，得

1

—xF%+2>4,

于是，只需a44即可满足题意.

因此，实数a的取值范围是(-8,4].

均值不等式的应用

1.已知等比数列Q｝的首项为2,公比为3,前n项和为5n.若抽3停£1„(541n+1)]=9,则打、

的最小值是.

【答案】I

n

【分析】因即二？7"】，Sn=3-1,由log3La“（S47n+1）］=9得到log3（3nT-34M）=

9,所以3皿+九T=3）所以4血+n=10,所以

14/I4\、4n4m\1

—I—=—4---（4m4-n）•16+1+——+——­—

nm\nmJmn/10

25_5

当且仅当zn=n=2时取等号.故工+±的最小值为之

nm2

2.给出下列函数:①y='+（（％H0）；②y=Igx+logx10（x>0,且%。1）；③y=sinx+

高（0V%41）；④丫=专基;⑤y=］（"+*）（%>2），其中有最小值2的函数序号

是.

【答案】③⑤

【分析】①只有当%>0时,y=%+|>2,而％<。时,y=%+：<-2；

@y=Igx+logx10=Igx+而lg%可以是负数，同①；

③因为0<%<p

所以0<sinx<1,

所以y=sinx+——>2,当且仅当sin%=1时取等号；

sinx

GX2+3X2+2+1/.1

④y=7x^+2=y/x^+2=7x+।2+^272,

而不所以应用均值不等式只能得到7^不1+鼻>2,等号取不到；

VX2+2

⑤因为x>2,

所以、=总+专）=沿一2+2+2）对义4=2,

当且仅当x-2=工即久=3时取号.

3.已知x、y都是正数，如果%y=15,则％4-y的最小值是，如果％+y=15,则%y的最

大值是.

【答案】2底;竽

4

【分析】（l）x+y>=2VT5,即x+y的最小值是271万，

当且仅当％=y=71下时取最小值；

⑵孙《代a=（圻2=竽，即孙的最大值是哈

当且仅当％=y=T时%y取最大值.

4„已知4(1,一2),B(a,—1),C(—b,O)三点共线，其中a>0,b>0,则a与b的关系式

为二+：的最小值是

ab

【答案】2a+b=1；8.

rx-y<2,

5o已知正数a、匕满足之+々=1,实数比、y满足］x+2y>5,z=a无+by,则当3a+4b取最小

5JQ/八

aSbV—2<0,

值时z的最大值为.

【答案】5

6.较大小:lg9•Igll1(填“>”，或"=").

【答案】<

7o对任意实数x>l,y>；,不等式p4三+丝】亘成立，则实数p的最大值为

22y—lX—1

【答案】8

【分析】令a=2y—l,b^x-1,则念+*=殳卢+史/，问题转化为求生卢+

喈的最小值，又

b

(b+l)2(a+l)2(a+l)(b+1)

+-b>2xVHF

ab+(a+b)+1

VaF

>2x(2+2)

=8,

当且仅当a=b=1,即l=2,y=1时取等号.

8。已知不等式(x+y)G+3》9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为

【答案】4

90已知实数x,y,实数a>l,b>1,且/=〃=2,

⑴若ab=4,贝吐+已=；

(2M2+b=8,则三+工的最大值_______.

xy

【答案】2；4

10.已知实数a,b>0,a,b的等差中项为±设?n=a+二九=b+[,则m+n的最小值

2ab

为.

【答案】5

(1)已知0<x<*求x(4—3%)的最大值.

【解】由0<x<，所以x>0,4-3x>0,利用均值不等式x(4-3%)=|-3x(4-3无)<

1•(汽士丫=/当且仅当3尤=4-3久即x=取等号).

所以比(4-3%)的最大值为*

(2)点(x,y)在直线x+2y=3上移动，求*+4丫的最小值.

【解】由2》+4.》272*=2阴=4四,所以2工+4》的最小值为4鱼.

(1)已知％,yGR+,且4%+y—=0,求％+y的最小值；

【解】由已知得*2=1,

Xy

贝反+y=(%+y)G+；)=5+?+£>5+4=9.

因此，％+y的最小值是9,当且仅当?=多即％=3,y=6时取到.

(2)已知％,yGR+,且4%+y—%y=0,求%y的最小值.

【解】由已知得*2=1,

xy

因为工+->2B，所以1》2团.

xyxyxy

得孙>16,所以%y的最小值是16,

当且仅当;%即比=2,”8时取到.

13.已知a>0,b>0,a+b=4,求(a++('+*)的最小值・

【解】由a+b=4,知

2

=4.

根据^!》(等)1得m

L+3)处5y

(4+jf_25

所以，当且仅当a+工=力+工，且a=力即a=力=2时，

ab

(a+的最小值是

14o已知：x,y,z>0,%+y+z=l,求工+3+?的最小值.

xyz

1,4,9x+y+z,.x+y+z,八x+y+z

-+-+-=--—+4♦---+9——--

xyzxyz

【解】=1+4+9+e+巧+仁+巧+(竺+巧

\xyJ\xzJ\yz/

>14+2V4+2V9+2V36=36,

当且仅当％=7=|,即％=y=z=:时取到等号.

Z3632

故2+-+2的最小值为36.

xyz

2__________

15o设％eR+且％2+y=1,求%Jl+y2的最大值.

【解】因为%>0,所以可知

xj]+y2=y/2•/Q+缶尤卜+(;+引]

<

2

又/+G+9=(/+3+；|,故

3V2

Xy/1+y2<丁

因此,xJTT了的最大值为学.

16o已知函数f(无)=m-|x-3|(meR),且不等式f(x+2)>0的解集为[0,2].

(1)求zn的值；

【解】因为f(x+2)=m一|x—l|,

所以不等式f(x+2)》0,等价于Ix-1|<m,

由不等式Ix-1|<m有解，得m》0,

且其解集为{xII-租《x&l+m,%CR},

又已知不等式+2)》。的解集为[0,2],

所以=j所以吁1.

LI—m=u,

(2)若a>0,b>0,且工+3=m,求证：a+/?>9.

ab

【解】由(1)得—I■工=1,因为a>0力>0,

ab____

所以a+b=(a+b)(L+J)=5+：+，>5+2--=5+2x2=9,

\abjba'ba

当且仅当”=2,即a=3,b=6时取等号，

ba

所以不等式a+b>9成立.

(1)已知％,y£R+，且4%+y—%y=0,求％+y的最小值;

【解】由已知得*2=1,

xy

则%+y=(%+y)G+；)=5+7+£>5+4=9.

因此％+y的最小值是9,当且仅当白拳即％=3,y=6时取到.

(2)已知招yWR+，且4x+y—%y=0,求%y的最小值.

【解】由已知得工+3=1,

Xy

因为*3》2匕

xyxy

所以1》2J所以%y》16,

故％+y的最小值是16,当且仅当:=；,即％=2,y=8时取到.

18o设a,b,cE(0,+8)且a+b+c=1,求证:&-1)@-1)(一)》8.

【解】因为a,b,c£(0,+8)且a+力+c=1,

所以工一1=^±£一1=山》亚〉0.

aaaa

同理可得三—1》亚>0,i-l>—>0,

bbcc

所以弓_1)&_1)(5_1)》平*率*等=8.

即(!-1)&-1)(：1)=8.

当且仅当a=b=c=决寸等号成立.

19o设a,瓦c£R+，求证：；+三+4十——I——•

十2a2b2ca+bb+cc+a

【解】因为(a+b)&+J>4,

所以工+工>4,同&+工》3,工+工>3.

2a2ba+b2b2cb+c2c2aa+c

所以工+工+工》工+工+工.

2a2b2ca+bb+cc+a

20o已知a、b为正数,a+5=1,求工+：的最小值.

ab

【解】工+2=州+%理=5+2+”》5+2所=9,当且仅当2=空，即。=

ababababab

触=|时，"="成立，即a=[,b=|时，，.有最小值9.

均值不等式的实际应用

1.当％G（0,1）时,1g%+logx10G

【答案】（—8,-2]

【分析】因为％£（0,1）,

所以]g%<0,logx10<0,

所以一lg%>0,-logx10>0,-Igx+（-logx10）>2V（-lgx）■（-logx10）=2,

当且仅当lg%=logxlO,即无时，等号成立，所以lg%+logxlOC（-00,-2].

2。为了促销，甲、乙两个商家分别对同一商品降价销售，甲连续两次降价率分别为B、P2,乙

两次降价率都是空（PlHP2）,则这两个商家降价幅度大的是.

【答案】甲

2

【分析】只需证（1一。1）（1一22）<1-

3。某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y