苏教版九年级上册数学教学案

1.1等腰三角形的性质和判定

班级姓名学号

学习目标：

1、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式.

2、能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理.

学习重点：等腰三角形的性质及其证明.

学习难点：等腰三角形的性质及其证明.

学习过程

一、知识回顾：

1、什么叫做等腰三角形？______________________________________________

2、等腰三角形有哪些性质？；

3、上述性质你是怎么得到的？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？（不妨动手操作做一

做）

二、新知教学：

（一）探索活动：

1、合作与讨论：证明：等腰三角形的两个底角相等.

2、思考：由上面的证明过程，你能否得出”等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的

高互相重合”的结论？请用符号语言表示.

3、通过上面两个问题的证明，我们得到了等腰三角形的性质定理.

定理,（简称：）

定理：,（简称：）

4、思考与探索

如何证明”等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的?

（二）例题分析

1、已知：如图NEAC是△回（：的外角，AD平分NEAC,且AD〃BC.求证：AB=AC

拓展：在上图中，如果AB=AC,AD〃BC,那么AD平分NEAC吗？为什么?

2、证明：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

（三）巩固练习：

1、证明：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.

2、如图，BO平分NCBA,CO平分NABC,且MN//BC,设AB=12,BC=24,AC=18,求△AMN的周

三、总结反思

1、证明文字命题应注意什么？

2、等腰三角形的判定和性质分别是什么？如何证明?

3、一个常见的基本图形.

1.1等腰三角形的性质和判定作业设计

班级姓名学号等第

1.等腰三角形中，如果底边长为6,一腰长为8,那么周长是；如果等腰三角形有

一边长是6,另一边长是8,那么它的周长是；如果等腰三角形的两边长分别是4、8,

那么它的周长是.

2.等腰三角形的一个内角为70。，它一腰上的高与底边所夹的度数为.

3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30度，腰长为2cm,则其腰上的高

为cm.

4.如图，等腰ABC的周长为21,底边BC=5,AB的

垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则△BEC的

周长为（）

A.13B.14

C.15D.16

5.△ABC中，AB=AC,中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的

底边长为（）

A.7B.11C.7或11D.7或10

6.已知：如图，AD平分NBAC,AB=AC.

求证益既是等腰三角形.

A

D

BC

7.如图，在"BC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD、CE交于点0,给出下列四个条件

®ZEBO=ZDCO,®ZBEO=ZCDO,®BE=CD,®OB=OC.

（1）上述四个条件中哪两个条件可以判定△械是等腰三角形（用序号写出所有情况）

（2）选择其中一种情况证明△械是等腰三角形.

选做习题

8.两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E、A、C三点在一条直线

上，连结BD,取BD的中点M,连结ME、MC.试判断Z\£MC的形状，并说明理由.

EA

12直角三角形全等的判定（一）

班级姓名学号

学习目标

1、用“斜边、直角边”法判定两个直角三角形全等.

2、证明直角三角形全等的HL判定定理.

学习重点

直角三角形HL全等判定定理.

学习难点

通过HL全等判定定理来解决实际问题，体会数学的应用.

学习过程

一、预习与准备■:

操作与思考：如图RtaABC,画RtAA'B'C,使斜边AB=AB，，直角边AC=AC,这两个三角形全

等吗？

二、新课讲解:

HL定理：

已知:

求证：

证明：

三、例题讲解：

例1、证明:在直角三角形中，300所对的直角边等于斜边的一半。

例2、如图，CD，AB,BE，AC,垂足分别是D、E,BE、CD相交于点0,如果AB=AC,哪么图中有几对

全等的直角三角形？取其中的一对予以证明。

例3、已知：如图，ABCD,AE±BD,CF_LBD,垂足分别为E、F,且BF=DE.

求证：ZABD=ZCDB.

总结^

12直角三角形全等的判定(一)作业设计

班级姓名

1.用两个全等的直角三角形拼下列图形：(1)平行四边形(不包含菱形、矩形、正方形)；(2)矩

形；(3)正方形；(4)等腰三角形，一定可以拼成的图形是()

A、(1)(2)(5)B、(2)(3)(5)C、(1)(4)(5)D、(1)(2)(3)

2.两个直角三角形全等的条件，

A、一锐角对应相等B、两锐角对应相等B/

C、一条边对应相等D、两条边对应相等

3.如图，有一个直角△ABC,ZC=90°,AC=10,BC=5,一条线段PQ=AB,P.Q两J---处

点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP=时,才,

能使AABCgAPQA.

4.如图，/ABC中，AC=BC,/ACB=120°,D是AB的中点，DE_LAC于点E,贝U

CE:AE=____________

5.如图，在AABC和AABD中，ZC=ZD=90°,若利用“AAS”证明

△ABC^AABD,则需要加条件__________________或；若c

利用“HL”证明△ABC四△ABD,则需要加条件

•A—------------------------TB

6.在/ABC中，D是BC的中点，DE±AB,DF±AC,垂足分

别为E、F,且DE=DF.

求证：/ABC是等腰三角形.

7.如图，A,F和B三点在一条直线上，CFLAB于

A

AF=FH,CF=FB.求证：BE±AC.

8.如图，在等腰直角三角形ABC中，NACB=90°,直线/经过点C,/\D±7,BELJ,垂足分别为D、E.

求证：AD=CE

1.2.2直角三角形全等的判定（二）

班级姓名学号

学习目标

1、运用直角三角形的全等判定定理和其它相关知识证明角平分线的性质和判定

2、从简单的数学例子中了解反证法的含义

3.、逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理的能力

学习重点

角平分线的性质和判定

学习难点

角平分线的性质和判定的证明和运用

学习过程

一、知识回顾

回忆并写出直角三角形全等的判定方法：

二、典例分析

1、证明：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

已知：

求证：

证明：

2、证明：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

已知

A

求证

证明

0

EB

三、思考与交流

1、''如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上。”

你认为这个结论正确吗？如果正确，你能证明吗？

2、如图，AABC的角平分线AD、BE相交于点。，点0到4ABC各边的距离相等吗？点。在

ZC的平分线上吗？为什么?

四、随堂练习

2、如图，在aABC中，NC=90度，点D在BC上，DE垂直平分AB,且A

DE=DCo求NB的度数。

E

C

B

总结反思:

1.2.2直角三角形全等的判定（二）作业

班级姓名学号等第

1、三角形中到三边距离相等的点是（）

A、三条边的垂直平分线的交点B、三条高的交点

C、三条中线的交点D、三条角平分线的交点

2、如图，直。、/2、A表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条

公路的距离相等，则可供选择的地址有（）

A、1处B、2处C、3处D、4处

3、如图，已知点C是NAOB平分线上一点，点P、P分别在边OA、0B上。如果要得到PO=OP1,

需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序

号o

①Z0弟ZOCP'；②ZOPC=ZOP'C；

③PC=PC'；④PP10C

OP'B

4、如图，在△ABC中，已知AC=BC,ZC=90°,AD是AABC的角平分线JDELAB,垂足为E。

求证：AB=AC+CDo

5、已知，如图，P是NAOB平分线上的一点，PC±OA,PD±OB,垂足分别C、D,

求证：OP是CD的垂直平分线。

A

习题

6、已知：如图，D是BC上一点，AD平分/BAC,AB=3cm,AC=2cm

求：①S/ABD：SzADC

②BD：CD

1.3.1平行四边形的性质

班级姓名学号_______等第_________

学习目标1、能证明平行四边形的三个性质①对边相等②对角相等③对角线互相平分

2、进一步培养的分析、综合的思考方法，及表达书写能力.发展学生演绎推理能力.

3、掌握命题的题设、结论

重点：平行四边形的性质证明

难点：分析、综合思考的方法

过程：

一、知识回顾：

我们曾经探索得到的平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，在下表相应的空格内打“（课

本13页）

二、探究新知：

1、证明：平行四边形对边相等、对角相等.

2、证明：平行四边形对角线互相平分

三、例题讲解：

1、在。ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点.

求证：BE=DF

拓展思考：在上述条件下，当点E、F分别在AD、BC上满足什么条件时使BE=DF?

2、如图，在UABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE=CF.请你以点F为一个端点，和图中已标

明字母的某一点连成一条线段，猜想并证明它和图中已有的某一线段相等(只需证明一组线段

DC

相等即可).A

(1)连结.

AB

(2)猜想：=.

(3)证明：

四、课堂演练：

1.判断题(对的在括号内填“V"，错的填“X”)

(1)平行四边形两组对边分别平行；()

(2)平行四边形的四个内角都相等；()

(3)平行四边形的相邻两个内角的和等于180°；()

(4)如果平行四边形相邻两边长分别是2cm和3cm,那么周长是10cm；()

(5)在平行四边形ABCD中，如果NA=35°,那么NB=55°；()

2.平行四边形的周长为30,两邻边的差为5,则其较长边是.

X3.在UABCD中，AC=10,BD=6,则边长AB,AD的可能取值为().

(A)AB=4,AD=4(B)AB=4,AD=7(C)AB=9,AD=2(D)AB=6,AD=2

※c平行四边形一边长为12cm,那么它的两条对角线的长度可能是().

(A)8cm和14cm(B)10cm和14cm(C)18cm和20cm(D)10cm和34cm

3、证明：夹在两条平行线之间的平行线段相等.

13.1平行四边形的性质课后作业

班级姓名学号_______等第_________

1.已知。是UABCD的对角线交点，AC=10cm,BD=18cm,AD=12cm,则△BOC的周长是.

2.已知RBCD的对角线AC,BD交于点0,AAOB的面积为2,那么UABCD的面积为___.

3.如图，在bBCD中，对角线AC,BD交于点0,EF/

是过点0的一条直线，交AB于点E,交DC于点F.则0E与

AEB

OF有什么数量关系，答

4.已知平行四边形的两邻边之比为2：3,周长为20cm,则这个平行四边形的两条邻边长分别为

5.如图，在二ABCD中，AE平分NBAD交DC于点E,AD=5cm,AB=8cm,求EC的长.

6.如图，在bBCD中，AC±AB,AB=6,BC=10,求：（1）AB与CD的距离；（2）AD与BC的距离.

7.用三种不同的方法把二ABCD的面积四等分，并简要说明分法.

8.已知：如图，在4BCD中，AC,BD交于点0,EF过点0,分别交CB,AD的延长线于点E,F,

求证：AE=CF.

9.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，NBCD的平分线CF交AB于点F,

ZADC的平分线DG交边AB于点G.

(1)求证：AF=GB；

(2)请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得4EFG为等腰直角三角形，并说明理由.

13.2矩形的性质

班级姓名学号

学习目标：

1、能用“基本事实"和''已经证明的定理”为依据，证明矩形的性质以及直角三角形斜边上的中

线等于斜边的一半.

2、进一步培养学生的分析、综合的思考方法，及表达书写能力.发展学生演绎推理能力.

学习重点：矩形的性质及其证明.

学习难点：分析、综合思考的方法.

学习过程

一、知识回顾：

1、叫矩形，由此可见矩形是特殊的

，因而它且有平行四边形的所有性质.

2、矩形有哪些平行四边形不具有的特殊性质？

3、证明：矩形的四个角都是直角

已知：如图_____________________________________________图形：画在下面

求证：_____________________________________

证明：

4、证明：矩形对角线相等

已知：如图_____________________________________________图形：画在下面

求证：__________________________________________

证明：

二、新知教学：

(-)：观察能力训练

如图矩形458,对角线相交于。，图中全等三角形有哪些？

将目光锁定在RtAA5C中，你能看到并想到它有什么特殊的性质吗?

证明：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.”

已知:

求证:

证明:

（二）例题分析

如图：矩形ABCD的两条对角线相交于点。，月.AC=2AB,求证：AA08为正三角形.（注意

表达格式完整性与逻辑性）

证明：

（三）巩固练习:

1、如图BD,CE是AABC的两条高，M是8c的中点，求证:

BMC

1.3.2矩形的性质作业

班^姓名学^等^_______

1.如图，历过矩形对角线的交点。，且分别交ABCD于ER

那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（）

A.-B.-C.-D.—

54310

2.在矩形ABCD中,44。8=120。4£）=3,则AC为（）

4.15B.3C.6D.9

3.直角三角形斜边上的高与中线分别是5和6,则它的面积是______________.

4.已知，如图，矩形ABCD中,AC与BD相交于点O£EJ_AC于E,CFLBD于F.

求证:5E=CE

5.已知，如图.△ABC中60L4C于。,。石，48于瓦点知、N分别是BC、OE的中点.

求证:MNLDE

B

6.如图在矩形ABC。中，BE平分NA8C,交CD于点E,点尸在边比上

①如果求证：FE=AE.

②如果FE=AE，你能证明FE1.AE吗？请证明.

选做题:

派7.如图，在矩形ABC。中，AB=3,4）=4,点P在AO上PEUC于£PFLBD于F,则PE+PE

等于（)

7121314

A.B."C.—D—

5555

X8.（2009年牡丹江市）矩形ABC。中，对角线AC、BD交于点、O,4后，5。于£,若

OE：ED,=13AE=6则80=

134平行四边形的判定

班级姓名学号等第

学习目标

1、理解平行四边形的判定法则，学会用于判断一个四边形是平行四边形；

2、理解、体会反证法的思想，能利用反证法用于生活及数学的一些推理，养成从反面思考的习惯。

学习重点难点：平行四边形的判定方法；反证法思想。

学习过程

问题1、何准确地画出一个平行四边形？什么样的四边形才是平行四边形？回忆我们曾探索得到的

一个四边形是平行四边形的条件，填写下表：

条件结论

四边形

ABCD,对角

线AC、BD

相交于点O

定理1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

定理2、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

问题2、你认为“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”这个结论正确吗？为什

么？

问题3、在四边形ABCD中，如果OA=OC,OB#）D,那么四边形ABCD不是平行四边形”这个

结论正确吗？为什么？

例1、证明：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

例2、已知：在DABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AE±BD,CF1BD,垂足分别为E、

Fo求证：四边形AECF是平行四边形。

A组练习：

1.四边形A3。中，AD〃BC,要使它平行四边形，需要增加条件（只需

填一个条件即可）.

2.已知：DXBCD的周长是30cm,对角线AC,BD相交于点O,/AOB的周长比/BOC的

周长为5cm,则这个平行四边形的各边长为.

G

3.如图，在OKBCD中，EF〃BC,GH〃AB,EF、GH的交点P在BD上，~I~~

则图中打对四边形面积相等；它们是。

4、证明：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。Eyx

BH

B组练习：

1.如图，平行四边形ABCD中，EF为边AD、BC上的点，且AE=CF,

连结AF、EC、BE、DF交于M、N,试说明：MFNE是平行四边形.

2.如图：已知在Z^ABC中，AB=AC,D为BC上任意一点，DE〃AC交AB于

E,DF〃AB交AC于E求证：DE+DF=AC.

总结反思：

哪些条件可以得到平行四边形?

作业设计

班级姓名.学号.等第

1.下面几组条件中，不一定能判定一个四边形是平行四边形的是（）.

A.两组对边相等；B.两条对角线互相平分C.两组组对边平行；D.两组对角相等

E.一组对边平行，一组对角相等F.一组对边平行，一组对边相等

2.BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，可以添加

的一个条件是一

3.如图所示，在平行四边形ABCD中，Pi、P2是对角线BD的三等分点，求证：四边形APQP2是

平行四边形.

4.如图，平行四边形ABCD中，EF为边AD、BC上的点，且AE=CF,连结AF、EC、BE、DF交于M、N,

求证：线段MN、EF互相平分.

5、如图，点E、F、G、H分别在UABCD的各边上，且AE=CG,BF=DH,求证：EF〃GF.

6.已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,EF经过点。并且分别和AB、

CD相交于点E、F,又知G、H分别为0A、0C的中点.求证：四边形EHFG是平行四边形.

Ap

选砥习

7、在CABCD中，ZDAB=60°,点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD,CF=CB.

(1)求证：四边形AFCE是平行四边形.D

⑵若去掉已知条件的NDAB=60。，上述的结论还成立吗?若成立，

请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定⑴

教学目标

1、会证明平行四边形的性质定理及其相关结论

2、能运用平行四边形的性质定理进行计算与证明

3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力

教学重、难点

重点：平行四边形的性质证明表达格式的逻辑性完整性精炼性

难点：分析综合思考的方法

教学过程：

一、情境创设

根据我们曾经探索得到的平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，填写下表：

平行四边形矩形菱形正方形

对边平行

对边相等

四边相等

对角相等

4个角是直角

对角线互相平分

对角线相等

对角线互相垂直

两条对角线平分两组对角

从上面的几种特殊四边形的性质中，你能说说它们之间有什么联系与区别吗？

如图A8〃A8,8C〃8'C',C4〃C'A，图中有_____个平行四边形。

二、合作交流

活动1、上表中平行四边形的性质中，你能证明哪些性质？

活动2、你认为平行四边形性质中，可以先证明哪一个？为什么？

活动3、证明定理“平行四边形对角线互相平分”。

由此证明过程，同时也证明了定理“平行四边形对边相等”、“平行四边形对角相等“，这样我

们可得平行四边形的三条性质定理：

平行四边形对边相等。

平行四边形对角相等。

平行四边形对角线互相平分。

例1:已知：如图，DABCD中，E、F分别是AD、BC的中点。

求证：BE=DF

分析：可根据证明△ABEgZkCDF得到结论。

若将例1中的“E、F分别是AD、BC的中点”改为"AE=』AD,CF.BC"，是否还能得到同样

33

的结论?

练习：P151、2

例2、证明“夹在两条平行线之间的平行线段相等”

分析：根据命题先画出相应图形，再由命题与所画图形写出已知、求证，最后根据已知条件

写出证明过程。

例3（广东省）如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连结CF交于AD

点E.

求证：（1）Z\CDES^FAE

⑵当E是AD的中点，且BC=2CD时，求证：ZF=ZBCF

证明：（1）•四边形ABCD为平行四边形D___________C

，AB〃CD,

.*.ZD=ZEAF

ZDEC=ZAEF,

/.△CDE^AFAE

(2)•.,△CDESAFAE

•••D__C___D__E

AF-AE

•••E是AD的中点

.*.AF=DC

,.•AD=BC,BC=2CD

.*.AD=2AF

.*.AE=AF

二ZF=ZAEF

VAD^CB,

，ZAEF=ZBCF

，NF=/BCF

说明平行四边形能带来平行线、等角，从而为得到比例线段、相彳以三角形创造了条件，也

就为利用相似解决问题带来了方便.

练习：1、已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=8cm,

BC-lOcm,ZC=120°,

求BC边上的高AH的长；

求平行四边形ABCD的面积

2、如图，平行四边形ABCD中,AB=3,BC=5,AC的垂直平分线交AD于E,则ACDE的周长是（B）

A.6B.8C.9D.10

三、分层训练",

1.ZZABCD的周长为50cm,且AB:BC=3:2,则AB=cm,BC=cm.；

2.已知UABCD中，AB=8,BC=10,ZB=45°,UMCD的面积为.

3.在AABC中,AB=AG=5,〃是比上的点龙〃四交"'于点£DFHAC交AB于点、F,那么四边形

必宏的周长是()

A.5B.10C.15D.20

4.延长平形四边形ABCD的一边AB到E,使BE=BD,连结DE交BC于F,

若NDAB=120°,ZCFE=135°,AB=1,贝l」AC的长为()

(A)1(B)1.2(C)(D)1.5

5如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交

于点0,边AB可以看成由平移得来的，AABC可以看成由.绕点0旋

转_______________得来；/

6、平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于O,已知AB=8,BC=6,

△AOB的周长为18,求△AOD的周长。

7、已知：如图，DABCD中，BD是对角线，AELBD于E,CFLBD于F.

求证：BE=DF.

四、小结

引导学生自我归纳总结

1、平行四边形对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。

2、是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。

3、平行线之间的距离处处相等。

五、课堂检测

六、教后感

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（2）

教学目标

1、认识几种特殊的四边形的性质的联系与区别

2、会证明矩形的性质定理及直角三角形斜边上中线的有关性质定理

3、能运用矩形的性质定理或有关定理进行简单的计算与证明

4、在进行探索、猜想、证明的过程中，能将命题由文字语言转化为图形与符号语言，进一步

发展推理论证的能力

教学重、难点

重点：矩形的本质属性

难点：矩形性质定理的综合应用

教学过程：

一、情境创设

矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。结合下图说说矩形有哪些平行四

边形不具有的特殊性质？

你能证明这些性质吗？

二、合作交流

问题一观察平行四边形和矩形的对角线把它们所分成的三角形，你有何发现？（引导学

生不断地学会从多个角度观察、认识图形，主动地发现和获得新的数学结论，不断地积累数学活

动的经验）

问题二证明：矩形的4个角都是直角。

矩形的对角线相等。

问题三你能证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”吗？说说你的证明思路。

已知：如图，在△回（：中，ZACB=90°.

1

求证：边AB上的中线等于5AB.

证明：在NACB内作NBCD=NB,CD交AB于点D

VZACB=90°

，ACD与BCD互余，NA与NB互余

,?ZBCD=ZB

/.ZACD=ZA

；.DA=DC=DB,即CD是边AB上的中线，且CD=5AB

问题四你对上面的结论还有更多的思考和猜想吗？（引导学生不断学会思考和猜想：由

结论进一步能得到什么结论？这个结论的逆命题是否正确。不断发展学生数学思考的能力）

例1、已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O,

且AC=2AB.

求证：AAOB是等边三角形

分析：利用矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，结合“AC=2AB”即可证得。

本题若将"AC=2AB”改为“NBOC=120°”，你能获得有关这个矩形的哪些结论?

练习：P16页1、2

例2、如图在矩形ABCD中，BE平分NABC,交CD于点E,点F在边BC上,

②如果FELAE,求证FE=AE。

②如果FE=AE你能证明FE1AE吗?

练习：

思考△.如图①所示，Rtz^ABC中，ZC=90°,AC=12,BC=5,点M在边AB上，且AM=6.

（1）动点D在边AC上运动，且与点A、C均不重合，设CD=x.

①设ZW：与aADM的面积之比为y,求y与x之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；

②当x取何值时，△ADM是等腰三角形？写出你的理由.

（2）如图②，以图①中的BC、CA为一组邻边的矩形ACBE中，动点D在矩形边上运动一周,

能使4DM是以NAMD为顶角的等腰三角形共有多少个？（直接写出结果，不要求说明理由）

例3、（吉林省）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3V3,BC=6,沿EF折叠后，点C落在

AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H,ZBPE=30°.

（1）求BE、QF的长.（2）求四边形PEFH的面积.

【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考生必须有想像力，抓住折

叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理解.

四、分层训练

1、已知，在矩形ABCD中，AE±BD,E是垂足,

ZDAE：ZEAB=2：1,求NCAE的度数。

2、在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,若对角线AC=10cm,边BC=8cm,则△ABO的周

长为.

3、如图1,周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）.

(A)98(B)196(C)280(D)284

4、如图2,根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路(小路任何地方水平宽度都相等)，则

剩余实验田的面积为_

5、如图3,在矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA_LMD.若矩形ABCD的周长为48cm,则矩形

ABCD的面积为cm2.

6、已知，如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,E,F分别是0A,0B的中点.

(1)求证：AADE^ABCF；(2)若AD=4cm,AB=8cm,求OF的长.

7、如图，在矩形ABCD中，已知AB=8cm,BC=10cm,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的中点

F处，折痕为AE,求CE的长.

8、阅读下列过程：

如图①，小肖过AB，CD的中点画直线EF,把矩形ABCD分割成甲、乙两部分.

如图②，小徐过A,C两点画直线AC,把矩形ABCD分割成丙、丁两部分.

回答下列问题：

(1)填空：S甲_____S乙，S丙Sr(填“〉”或或“=”)；

(2)根据小肖、小徐的分割原理，你还能探索出其他的分割方法吗？请在图③中任意给出

一种；

(3)由本题的操作过程，你发现了什么规律？

A-]DA--------------------D

甲—〃\丙

BBC

①

9、（2006年烟台市）如图4,先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合,

边AB、AD分别落在x轴、y轴上（如图①所示），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原

点旋转30°（如图②所示），若AB=4,BC=3,则图①和图②中，点B的坐标为，点C

的坐标为

五、小结

从位置、形状、大小等不同的角度，观察和比较平行四边形、矩形的对角线把它们分成的三

角形的异同，发现并应用直角三角形的判定证明矩形的特殊性质；反过来，我们又利用矩形的性

质证明“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”。

六、课堂检测

七、教后感

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（3）

教学目标

1、会归纳菱形的特性并进行证明

2、能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明

3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力，进一步体会证明的必要

性

教学重、难点

重点：菱形的性质定理证明

难点：性质定理的运用生活数学与理论数学的相互转化

教学过程：

一、情境创设

1.将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发

现这是一个什么样的图形?（同桌互相帮助。）l，x|

2.探索。

请你作该菱形的对角线，探索菱形有哪些特征，并填空。——口

（从边、对角线入手。）

（1）边：都相等；（2）对角线：互相垂直。

（学生通过自己的操作、观察、猜想，完全可以得出菱形的特征，这对学生来说是富有意义的

活动，学生对此也很感兴趣。）

问题：你怎样发现的?又是怎样验证的？

（可以指名学生到讲台上讲解一下他的结果。）

3.概括。

菱形特征1：菱形的四条边都相等。

菱形特征2：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。

引导学生剖析矩形与菱形的区别。

矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分；菱形的四条边都相等，

对边平行，对角相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分它的一组对角。

4.请你折一折，观察并填空。（引导学生归纳。）

（1）菱形是不是中心对称图形?对称中心是_______。

（2）是不是轴对称图形?对称轴有几条?_______。

二、合作交流

问题一观察平行四边形和菱形的对角线把它们所分成的三角形，你有何发现？（引导学

生不断地学会从多个角度观察、认识图形，主动地发现和获得新的数学结论，不断地积累数学活

动的经验）

问题二证明：菱形的4条边都相等。

菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一M对角。

分析：第一条定理可先用“两组对边分别相等”证明平行四边形，再利用一组邻边相等得证;

第二条定理可利用“三线合一”证得。

问题三已知菱形的两条对角线长分别为6和8,由此你能获得有关这个菱形的哪些结论？

（可得到边长为5；面积为24）你认为菱形的面积与菱形的两条对角线的长有关吗？如果有关，

怎样根据菱形的对角线的计算它的面积？

由此可得：菱形的面积等于它的两条对角线长的积的面积。

例1、如图3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂

钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离（比如AC两点可以自由上下活动），若菱形的边长为13厘

米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？

直平分利用勾股定理求出BDo

练习P181、2

例2已知：如图，四边形ABCD是菱形，G是AB上任一点,

DF交AC于点E。

求证：ZAGD=ZCBE

分析：结合“全等三角形对应角相等”和“两直线平行,内错角相等”即可得证。

练习：

1、如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点,

如果EF=2,那么ABCD的周长是（D）

A.4B.8

C

C.12D.16

2、如图，已知菱形的两条对角线长为a,

b,你能将菱形沿对角线分割后拼接成矩形吗？画图说明

（拼出一种图形即可）；在此过程中，你能发现菱形的面

积与a,6的关系吗？

1

-

2

拼法（1）拼法（2）

cc（11^1,1,

S菱形=S矩形⑴=不a+”\x-b=-ab,

或S菱形二S矩形⑵=15人+不/?卜不。=、ab.

结论：菱形的面积等于两对角线乘积的一半.

3、己知：如图，菱形ABCD中，ZB=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周

长为.

四、分层训练

1.已知菱形的周长为16cm,则菱形的边长为___cm.

2.已知四边形ABCD是菱形,0是两条对角线的交点，AC=8cm,DB=6cm,菱形的边长是cm.

3.已知菱形的边长是5cm,一条对角线长为8cm,则另一条对角线长为____cm.

4.菱形ABCD的周长为40cm,两条对角线AC：BD=4：3,那么对角线AC=cm,BD=cm.

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