2021-2022年上海各区二模压轴题分类汇编-18题-答案

专题2022年二模分类汇编18题专题一图形的翻折【历年真题】1．（2022•奉贤区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E在边DC上，联结AE，将矩形沿AE所在直线翻折，点D的对应点为P，联结PE，如果∠CEP＝30°，那么DE的长度是8﹣4．【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】过点P作MN∥AD，交AB于点N，交CD于点M，利用含30°角的直角三角形的性质知AN、PN的长，从而得出MP的长，进而解决问题．【解答】解：如图，过点P作MN∥AD，交AB于点N，交CD于点M，由题意得：MN⊥CD，MN＝AD＝4，根据折叠的性质得：DE＝EP，AP＝AD＝4，∠EPA＝∠EDA＝90°，∵∠CEP＝30°，∴∠EPM＝60°，∵∠APN+∠APE+∠EPM＝180°，∴∠APN＝30°，∴AN＝AP•sin30°＝2，PN＝AP•cos30°＝2＝2，∴MP＝MN﹣PN＝4﹣2，∴DE＝EP＝＝8﹣4，故答案为：8﹣4．【点评】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．2．（2022•虹口区二模）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点M是边CD的中点，将△BCM沿直线BM翻折，使得点C落在同一平面内的点E处，联结AE并延长交射线BM于点F，那么EF的长为．【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】连接CE，交BF于点H，过点B作BN⊥AF于点N，由翻折和等腰三角形三线合一可得△BNF是等腰直角三角形，∠F＝45°，△EHF是等腰直角三角形，在Rt△BEM中，根据勾股定理得BM的长，再根据面积即可求出EH的长，从而求解．【解答】解：连接CE，交BF于点H，过点B作BN⊥AF于点N，由翻折得，BM垂直平分EC，△BEH≌△BCH，∠1＝∠2，∵AB＝BC＝BE＝1，BN⊥AF，∴∠ABN＝∠NBE，∴∠NBE+∠1＝∠ABC＝×90°＝45°，∴△BNF是等腰直角三角形，∠F＝45°，∴△EHF是等腰直角三角形，在Rt△BEM中，BM＝＝＝，∵S△BEM＝BE•EM＝BM•EH，∴×1×＝×EH，∴EH＝，∴EF＝EH＝＝，故答案为：．【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一，勾股定理等知识，解题的关键是恰当作出辅助线，属于中考填空题中的压轴题．3．（2022•嘉定区二模）在正方形ABCD中，AB＝5，点E在边BC上，△ABE沿直线AE翻折后点B落到正方形ABCD的内部点F，联结BF、CF、DF，如图，如果∠BFC＝90°，那么DF＝．【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．【专题】矩形菱形正方形；展开与折叠；运算能力；推理能力．【分析】连接EF，过点F作FH⊥BC于点H，延长HF交AD于点G，先证明四边形GHCD是矩形，可得GD＝CH，GH＝CD，根据翻折可得∠AFE＝∠ABE，BE＝FE，再根据∠BFC＝90°，可得E是BC的中点，根据正方形的性质，易证△AGF∽△FHE，可得，设EH＝m，FH＝n，列二元一次方程组，求出m和n的值，再根据勾股定理可得DF的长．【解答】解：连接EF，过点F作FH⊥BC于点H，延长HF交AD于点G，如图所示：∴∠GHC＝90°，在正方形ABCD中，∠BCD＝∠CDA＝90°，∴四边形GHCD是矩形，∴GH＝CD，GD＝HC，根据翻折，可得△ABE≌△AFE，∴∠AFE＝∠ABE，BE＝FE，∴∠EBF＝∠EFB，∵∠BFC＝90°，∴∠FBC+∠FCB＝90°，∴∠EFC＝∠ECF，∴FE＝CE，∴BE＝CE，在正方形ABCD中，∠ABE＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝5，AD∥BC，∴∠AFE＝90°，，∴∠AFG+∠EFH＝90°，∵∠EFH+∠FEH＝90°，∴∠AFG＝∠FEH，∵FH⊥BC，且AD∥BC，∴∠AGF＝∠FHE＝90°，∴△AGF∽△FHE，∴，设EH＝m，FH＝n，则GF＝2m，AG＝2n，∵EC＝，CH＝，∵GD＝CH，GH＝CD，∴，解得，∴GF＝2m＝3，GD＝＝1，根据勾股定理，得DF＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，本题综合性较强，属于中考常考题型．4．（2022•徐汇区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B'DE的位置，B′D交AB于点F，如果△AB′F为直角三角形，那么BE的长为．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】分两种情况画出图形，①方法一：如图1，当∠AFB′＝90°时，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案；方法二：过点E作EH⊥BC于点H，设EH＝3a，BE＝5a，则BH＝4a，由BF的长列出方程，解方程求出a即可；②方法一如图2，当∠AB′F＝90°时，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案．方法二：过点E作EG⊥BD于点G，设EG＝3a，BG＝4a，BE＝5a，得出＝4，求出a的值则可得出答案．【解答】解：①方法一：如图1，当∠AFB′＝90°时．在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵D是BC的中点，∴BD＝CD＝BC＝4，∵∠AFB'＝∠BFD＝90°，∠ACB＝90°，∴∠DFB＝∠ACB，又∵∠DBF＝∠ABC，∴△BDF∽△BAC，∴，即，解得：BF＝，设BE＝B'E＝x，则EF＝﹣x，∵∠B＝∠FB'E，∴sin∠B＝sin∠FB'E，∴，∴，解得x＝2．∴BE＝2．方法二：过点E作EH⊥BC于点H，设EH＝3a，BE＝5a，则BH＝4a，∵将△BDE沿直线DE翻折，∴EF＝3a，∴BF＝8a＝BD•cos∠B＝4×，∴a＝，∴BE＝5a＝2；②如图2中，当∠AB′F＝90°时，连接AD，作EH⊥AB′交AB′的延长线于H．∵AD＝AD，CD＝DB′，∴Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），∴AC＝AB′＝6，∵将△BDE沿直线DE翻折，∴∠B＝∠DB'E，∵AB'⊥DB'，EH⊥AH，∴DB'∥EH，∴∠DB'E＝∠B'EH，∴∠B＝∠B'EH，∴sin∠B＝sin∠B'EH，设BE＝x，则B'H＝x，EH＝x，在Rt△AEH中，AH2+EH2＝AE2，∴，解得x＝，∴BE＝．则BE的长为．方法二：过点E作EG⊥BD于点G，设EG＝3a，BG＝4a，BE＝5a，∴DG＝EG×＝a，∵DG+GB＝DB，∴，∴a＝，∴BE＝．故答案为：2或．【点评】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．5．（2022•杨浦区二模）已知钝角△ABC内接于⊙O，AB＝BC，将△ABC沿AO所在直线翻折，得到△AB'C'，联结BB'、CC'，如果BB'：CC'＝4：3，那么tan∠BAC的值为．【考点】三角形的外接圆与外心；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；圆周角定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【分析】延长AO交⊙O于F，设BB'、CC'交AF于N、E，连接OC，OB，设BB'＝4x，CC'＝3x，由翻折知AF是BB'、CC'的垂直平分线，则BN＝2x，CE＝，说明△BON≌△COM（AAS），得CM＝BN＝2x，则AC＝2CM＝4x，再利用△AMO∽△AEC，可得OM＝，从而解决问题．【解答】解：延长AO交⊙O于F，设BB'、CC'交AF于N、E，连接OC，OB，如图，∵BB'：CC'＝4：3，设BB'＝4x，CC'＝3x，由翻折知AF是BB'、CC'的垂直平分线，∴BN＝2x，CE＝，∵AB＝BC，∴，∴∠AOB＝∠BOC，在△BON和△COM中，∴△BON≌△COM（AAS），∴CM＝BN＝2x，∴AC＝2CM＝4x，∵∠AMO＝∠AEC，∠OAM＝∠CAE，∴△AMO∽△AEC，∴，∴OM＝，在Rt△AOM中，由勾股定理得，（2x）2+（）2＝r2，解得r＝，∴BM＝，∴tan∠BAC＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形的外接圆，等腰三角形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，运用相似表示出OM＝是解题的关键，综合性较强，属于中考压轴题．6．（2022•闵行区二模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点M是AB的中点，将AM沿CM所在的直线翻折，点A落在点A'处，A'M⊥AB，且交BC于点D，A'D：DM的值为．【考点】翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】连接AA'，交CM于点P，可设DM＝a（a＞0），AM＝b（b＞0），由直角三角形斜边上的中线的定义可得CM是Rt△ABC有斜边上的中线，可得BM＝CM＝b，AB＝AM+BM＝2b，再由折叠的性质可得A'M＝AM，∠AMC＝∠A'MC，AA'⊥CM，从而可求得∠AMC＝45°，则可证得△APM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，故有CP＝CM﹣MP＝b﹣b＝b，从而可求得AC＝b，再由sinB＝，sinB＝，得，可求得，，即可求解．【解答】解：连接AA'，交CM于点P，如图，设DM＝a（a＞0），AM＝b（b＞0），∵M是AB的中点，∠ACB＝90°，∴CM是Rt△ABC有斜边上的中线，∴CM＝AB，即AM＝BM＝CM，∴BM＝CM＝b，AB＝AM+BM＝2b，∵A'M⊥AB，∴∠A'MB＝∠A'MA＝90°，即∠DMA＝∠DMB＝90°，∴DB＝，∵AM、A'M关于CM对称，∴A'M＝AM，∠AMC＝∠A'MC，AA'⊥CM，∴A'M＝b，∴A'D＝A'M﹣DM＝b﹣a．∵∠A'MA＝90°，∴∠AMC+∠A'MC＝90°，∴2∠AMC＝90°，∴∠AMC＝45°，∵AA'⊥CM，∴△APM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，∴AP＝MP＝AM＝b，∴CP＝CM﹣MP＝b﹣b＝b，∵AA'⊥CM，∴∠APC＝90°，∴AC＝＝＝，∵b＞0，∴，故AC＝b，∵在Rt△ABC中，sinB＝，在Rt△DMB中，sinB＝，∴，∴，∴，∴＝，故，∴1+＝＝4+2，∴，∵a＞0，b＞0，∴，∴，∴，即A'D：DM的值为．解法二：如图，∵A'M⊥AB，∴∠AMA'＝∠3＝90°，由翻折得：∠1＝∠2＝∠AMA'＝45°，AM＝A'M，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是AB的中点，∴AM＝BM＝CM，∴A'M＝BM，∴∠A'＝∠A'BM＝45°，∴∠A'BM＝∠1，∴A'B∥CM，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查翻折变换（折叠问题），解答的关键是明确折叠的过程中相应的边或角之间的关系．专题二图形的旋转【历年真题】1．（2022•浦东新区二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点C旋转，点B恰好落在边AB上的点D（不与点B重合）处，点A落在点E处，如果DE∥BC，联结AE，那么sin∠EAC的值为．【考点】旋转的性质；解直角三角形；平行线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观．【分析】画出图形，根据将△ABC绕着点C旋转，点B恰好落在边AB上的点D，可得∠CDB＝∠B＝∠EDC，又DE∥BC，即可得△DCB是等边三角形，∠DCB＝60°，从而△ACE是等边三角形，∠EAC＝60°，即可得sin∠EAC＝．【解答】解：如图：∵将△ABC绕着点C旋转，点B恰好落在边AB上的点D，∴BC＝DC，∠EDC＝∠B，AC＝EC，∴∠CDB＝∠B＝∠EDC，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB，∴∠CDB＝∠B＝∠DCB，∴△DCB是等边三角形，∠DCB＝60°，∴∠ACE＝90°﹣∠ACD＝∠DCB＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴∠EAC＝60°，∴sin∠EAC＝，故答案为：．【点评】本题考查直角三角形中的旋转，解题的关键是掌握旋转的性质，得到△DCB，△ACE是等边三角形．2．（2022•金山区二模）如图，菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，把菱形ABCD绕A点逆时针旋转得到菱形AB'C'D'，其中点B'正好在AC上，那么点C和点C'之间的距离等于．【考点】旋转的性质；菱形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质得出CD＝AB＝BC＝5，AO＝CO＝4，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD，由直角三角形的性质求出OB＝3，由旋转的性质得出AC＝AC′＝8，AB＝AB′＝AD＝AD′＝5，过点C作CE⊥AC′于E，由sin∠BAC＝sin∠B′AC，求出CE＝，AE＝，求出C′E＝，由勾股定理即可得出结果．【解答】解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AB＝BC＝5，AO＝CO＝4，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD，AC⊥BD，∴OB＝＝3，由旋转的性质得：AC＝AC′＝8，AB＝AB′＝AD＝AD′＝5，∠BAC＝∠B′AC，过点C作CE⊥AC′于E，∴sin∠BAC＝sin∠B′AC＝，∴，∴CE＝，∴AE＝＝，∴C′E＝AC′﹣AE＝，∴CC′＝＝．故选：．【点评】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、直角三角形的性质、锐角三角函数等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键．3．（2022•普陀区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．矩形ABCD绕着点A旋转，点B、C、D的对应点分别是点B′、C′、D′，如果点B′恰好落在对角线BD上，联结DD′，DD'与B′C′交于点E，那么DE＝．【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】过点A作AF⊥BD，由勾股定理求出BD，根据三角形ABD的面积求出AF，可求出BF＝B'F＝，由旋转的性质得出AB＝AB'，∠ABC＝∠AB'C'＝90°，AD＝AD'，求出B'D＝，证明△AFB'∽△B'DE，由相似三角形的性质得出，则可求出答案．【解答】解：如图，过点A作AF⊥BD，∵AB＝3，BC＝AD＝4，∠ABC＝90°，∴BD＝＝＝5，∵S△ABD＝AB×AD＝BD×AF，∴3×4＝5AF，∴AF＝，∴BF＝＝＝，∵将矩形ABCD绕着点A旋转后得到矩形AB'C'D'，∴AB＝AB'，∠ABC＝∠AB'C'＝90°，AD＝AD'，∵AF⊥BD，∴BF＝B'F＝，∴B'D＝BD﹣BB'＝5﹣＝，由旋转的性质可知，AB＝AB'，AD＝AD'，∠BAB'＝∠DAD'，∴∠ABD＝∠ADD'，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠ADD'+∠ADB＝90°，∵∠AB'F+∠DB'E＝90°，∠DB'E+∠B'ED＝90°，∴∠AB'F＝∠DEB'，∵∠AFB'＝∠B'DE＝90°，∴△AFB'∽△B'DE，∴，∴，∴DE＝．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，求出B'D的长是本题的关键．4．（2022•长宁区二模）如图，M是Rt△ABC斜边AB上的中点，将Rt△ABC绕点B旋转，使得点C落在射线CM上的点D处，点A落在点E处，边ED的延长线交边AC于点F．如果BC＝6，AC＝8，那么CF的长等于．【考点】旋转的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】如图，连接BF．证明Rt△BFC≌Rt△BFD（HL），推出CF＝DF，证明BF垂直平分线段CD，再证明△ACB∽△BCF，可得＝，即可解决问题．【解答】解：如图，连接BF．在Rt△BFC和Rt△BFD中，，∴Rt△BFC≌Rt△BFD（HL），∴CF＝DF，∵BC＝BD，∴BF垂直平分线段CD，∴∠MCB+∠CBF＝90°，∠ACM+∠BCM＝90°，∴∠ACM＝∠CBM，∵∠ACB＝90°，AM＝BM，∴CM＝MA＝MB，∴∠ACM＝∠A，∴∠CBF＝∠A，∵∠ACB＝∠BCF＝90°，∴△ACB∽△BCF，∴＝，∴CF＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．5．（2022•松江区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3．将矩形ABCD绕点B顺时针旋转，得到矩形A'BC′D'，点A、C、D的对应点分别为A'、C′、D′．当点A′落在对角线AC上时，点C与点D′之间的距离是2．【考点】旋转的性质；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】由旋转的性质可得AB＝A'B，BD＝BD'，∠ABA'＝∠DBD'，由矩形的性质和等腰三角形的性质∠BDC＝∠BDD'＝∠BAA'，可得点D，点C，点D'三点共线，即可求解．【解答】解：如图，连接BD，BD'，DD'，∵将矩形ABCD绕点B顺时针旋转，得到矩形A'BC′D'，∴AB＝A'B，BD＝BD'，∠ABA'＝∠DBD'，∴∠BAC＝∠BA'A＝∠BDD'＝∠BD'D，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC＝∠BDD'，∴点D，点C，点D'三点共线，∵BD＝BD'，BC⊥DD'，∴CD＝CD'＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．专题三定义新图形【历年真题】1．（2022•静安区二模）如图，∠MON＝30°，点A在OM上，OA＝1，点P在ON上，将∠MON沿AP翻折，设点O落在点O′处，如果AO′⊥AO，那么OP的长为+1或﹣1．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【分析】连接OO′交直线AP于点B，过点P作PC⊥OM于点C，则∠OCP＝∠ACP＝90°，设OP＝x，根据折叠的性质可得OAB＝∠OAO′＝45°，OB＝OA•sin∠OAB＝1×＝，然后分两种情况：若点O′在OM上方，若O′在OM下方，分别根据解直角三角形与勾股定理即可解答．【解答】解：连接OO′交直线AP于点B，过点P作PC⊥OM于点C，则∠OCP＝∠ACP＝90°，设OP＝x，∵∠MON＝30°，OA＝1，∴PC＝OP＝x，∵点A在OM上，点P在ON上，将∠MON沿AP翻折，点O落在O′处，∴O′与O关于直线AP对称，O′A＝OA＝1，∴AP垂直平分OO′，∴O′B＝OB＝OO′，∠OBP＝90°，∴∠OAB＝∠O′AB＝∠OAO′，∵AO′⊥AO，∴∠OAO′＝90°，∴∠OAB＝∠OAO′＝45°，∴OB＝OA•sin∠OAB＝1×＝，若点O′在OM上方，如图：在Rt△ACP中，AP＝＝x，∴BP＝AB﹣AP＝，在Rt△OBP中，BP2+OB2＝OP2，∴（）＝x2，整理得：x2+2x﹣2＝0，∴x＝﹣1±，∵x＞0，∴x＝﹣1；若O′在OM下方，如图：∴∠CAP＝∠OAB＝45°，在Rt△ACP中，AP＝＝x，∴BP＝AB+AP＝x，在Rt△OBP中，BP2+OB2＝OP2，∴（）＝x2，整理得：x＝1±，∵x＞1，∴x＝+1，综上所述，OP的长为+1或﹣1，故答案为：+1或﹣1．【点评】此题考查的是翻折变换、解直角三角形、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线分情况进行讨论是解决此题的关键．2．（2022•崇明区二模）如果三角形一条边上的中线恰好等于这条边的长，那么我们称这个三角形为“匀称三角形”．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，若Rt△ABC是“匀称三角形”，那么BC：AC：AB＝．【考点】勾股定理；三角形的角平分线、中线和高．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【分析】根据题意做出图形，设CD为x，根据“匀称三角形”的定义求出三角形的各边长即可得出结论．【解答】解：根据题意作图如下：∵BD＝AC＝2CD，∴∠CBD＝90°，设CD＝x，则AC＝2x，BC＝x，∴AB＝＝x，∴BC：AC：AB＝：2：，故答案为：：2：．【点评】本题主要考查