第09讲圆心角与圆周角（4种题型）（原卷版）

第09讲圆心角与圆周角（4种题型）【知识梳理】一．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．二．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．三．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．四．相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）．【考点剖析】一．圆心角、弧、弦的关系（共9小题）1．（2023•杭州二模）如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB＝2∠BOC，则下列说法中正确的是（）A．∠OBA＝∠OCA B．四边形OABC内接于⊙O C．AB＝2BC D．∠OBA+∠BOC＝90°2．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，AB，CD是⊙O的直径，，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是．3．（2022秋•越城区期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4，则⊙O的周长为（）A．4π B．6π C．8π D．9π4．（2023•越城区模拟）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝140°，则∠BOC的度数为（）A．70° B．80° C．90° D．100°5．（2023•路桥区校级二模）如图，弧AB所对圆心角∠AOB＝90°，半径为8，点C是OB中点，点D弧AB上一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，则AE的最小值是．6．（2023•宁波模拟）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中AD长度为米，BC长度为米，圆心角∠AOD＝60°，则裙长AB为．7．（2023•萧山区校级模拟）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB＝AD，AC交BD于点E，已知∠COD＝135°．（1）求∠AEB的度数，（2）若CO＝1，求OE的长．8．（2023•玉环市二模）如图，点A、B、C、D是⊙O上的点，AD为直径，AB∥OC．（1）求证：点C平分弧BD．（2）利用无刻度的直尺和圆规作出AB的中点P（保留作图痕迹）．9．（2023•婺城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．二．圆周角定理（共11小题）10．（2023•鹿城区一模）如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的两点，连结AB，BC，CD，BD，若∠A+∠D＝80°，则∠ACB的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．80°11．（2023•西湖区校级三模）如图，点A、B、C在圆O上，若∠A＝50°，则∠OBC的度数为（）​A．40° B．45° C．50° D．55°12．（2023•宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在圆上，连接AD，CD，且＝，∠CAB＝25°，P为上一动点，在运动过程中，DP与AC相交于点M，当△CDM为等腰三角形时，∠PDC的度数为．13．（2023•西湖区校级模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，若∠ABD＝60°，∠AED＝100°，则∠ABC＝．14．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（）A．23° B．24° C．25° D．26°15．（2023•余杭区模拟）如图，AB是半圆O的直径，点D是弧AC的中点，若∠DAC＝25°．则∠BAC等于（）A．40° B．42° C．44° D．46°16．（2023•杭州模拟）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠B＝度；的值等于．17．（2023•钱塘区三模）如图，AB是⊙O的直径，半径OD⊥AB，点E在OB上，连接DE并延长交⊙O于点C，连接BC．​（1）求∠B﹣∠D的值．（2）当∠B＝75°时，求的值．（3）若BC＝CE，△DOE与△CBE的面积分别记为S1，S2，求的值．18．（2023•衢州二模）如图，在⊙O中，OA，OB是直径，C是劣弧上的一点．且∠AOB＝120°．（1）求∠ACB的度数；（2）若AC＝BC．求证：四边形ACBO是菱形．19．（2023•金东区二模）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，点E是CA延长线的一点，射线ED交⊙O点于F，连结AD，CF，∠CDA＝∠EDA，∠CAB＝30°，AB＝8．（1）求证：AB∥FE．（2）求∠FCA的度数．（3）求CE的长．20．（2023•滨江区一模）如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，，BF与CD交于点G．（1）求证：CD＝BF．（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．（3）连结GO，OF，如图2，求证：．三．圆内接四边形的性质（共11小题）21．（2022秋•嘉兴期末）已知，在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：5，则∠D的度数为（）A．30° B．60° C．120° D．150°22．（2023•宁波模拟）圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E＝40°，∠F＝60°，求∠A＝°．23．（2023•龙港市一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连结CE，若∠BAD＝110°，则∠DCE＝度．24．（2022秋•仙居县期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点C是弧BD的中点，连接BD，若∠CBD＝35°，求∠A的度数．25．（2023•绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是．26．（2023•萧山区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点C是弧BD的中点，延长AB到点E，使得BE＝AD，连结AC，CE．（1）求证：AC＝CE．（2）若，，∠BCD＝120°，求BC的长．27．（2023•金华三模）在⊙O中，点A，B，C，D都在圆周上，OB∥DC，OD∥BC，则∠A的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°28．（2023•萧山区校级模拟）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝α，AO∥DC，∠B＝β，则α，β满足关系为（）A．2α﹣β＝90° B．α+β＝90° C．2β+α＝180° D．α+9β＝540°29．（2022秋•上城区期末）如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，AB是直径，CD＝BC．若∠DCB＝100°，则∠ADC的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．130°30．（2022秋•嵊州市期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，分别延长BC，AD，使它们相交于点E，AB＝8，且DC＝DE．（1）求证：∠A＝∠AEB．（2）若∠EDC＝90°，点C为BE的中点，求⊙O的半径．31．（2023•杭州二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．（1）求证：AB＝AC．（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．四．相交弦定理（共4小题）32．（2021秋•东阳市月考）已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE•DE的值为（）A．6 B．7 C．12 D．1633．（2021秋•余姚市期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，则CD长为（）A．16 B．24 C．12 D．不能确定34．（2022秋•温州期末）已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE•DE的值为（）A．6 B．7 C．12 D．16．35．（2022秋•嵊州市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若AE＝2，BE＝8，CE＝2DE，则O到CD的距离为．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，在中，则（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点A，B，C，D在上，则图中一定与相等的角是（

）

A． B． C． D．3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，四边形内接于⊙O，为直径，，连接．若，则的度数为（

）

A．70° B．60° C．50° D．40°4．（2023·浙江·模拟预测）已知弦AB把圆周分成两部分，则弦AB所对圆心角的度数为（

）A． B． C．或 D．或5．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，是的直径，弦垂直于点，连接，，，，则下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．6．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为，则的度数为（

）

A． B． C． D．7．（2023·浙江·九年级假期作业）在中，满足，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．无法确定8．（2023·浙江温州·统考三模）如图，点A，B，C，D均在以点O为圆心的圆O上，连接，及顺次连接O，B，C，D得到四边形，若，，则的度数为（）

A． B． C． D．9．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在的内接四边形中，，，，则的直径为（

）

A． B． C． D．10．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是半圆O的直径，以弦为痕折叠后，恰好过点O则等于（

）

A． B． C． D．二、填空题11．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，、、是上的三个点，，则的度数是___________．

12．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，内接于，是的直径，点是上一点，，则________．

13．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，，，是上三点，，则的度数是______°．

14．（2022秋·浙江·九年级期末）如图，点A在半圆O上，是直径，．若，则的长为__．15．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，正内接于，的半径为10，则的弧长为_____________．16．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，的半径为，是的内接三角形，半径于，当时，的长是________．17．（2023春·九年级校考阶段练习）如图，已知是的直径，弦与交于点E，若，，则___________．

18．（2023·浙江·九年级假期作业）如图所示，A、B是半径为2的上的两点，若，点C是弧的中点，则四边形的周长为_______．三、解答题19．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，以等边三角形的边为直径作交于，交于，连接．试判断，，之间的大小关系，并说明理由．20．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分．

(1)连接，求证：平分；(2)若，，求的长．21．（2023·浙江温州·校考二模）如图，在上依次取点B，A，C使，连接，取的中点D，连接，在弦右侧取点E，使，且，连接．

(1)求证：