专题02二次根式的运算（考点剖析）-2018-2019学年浙江省八年级数学下学期期末必考点复习（浙教版）2

专题02二次根式的运算【考点剖析】1、最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．2、分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①1a=aa（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：2-3的有理化因式可以是2+3、二次根式的运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．4、二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．最简二次根式【典例】例1．在16x3、-23、-0.5、aA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：在所列二次根式中，最简二次根式有-23，x2故选：B．【点睛】根据最简二次根式的定义对二次根式分析判断即可得．本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．【巩固练习】1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．12 B．11 C．27 D．【答案】B【解析】解：12=2B，11是最简二次根式；27=33，Ca3=aa，故选：B．2．下列根式9，10，7，8，0.2，13A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】解：在所列二次根式中，最简二次根式有10，7这2个，故选：B．3．下列式子中：35，12，7，20，23，其中属于最简二次根式的有几个（A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：最简二次根式有7，23，共2个，故选：B．二次根式的混合运算【典例】例1．计算：2bab•（-32a3b【答案】见解析【解析】解：2bab•（-32a3b=-3b•a2＝﹣9a2a=-【点睛】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．例2．计算：（1）23（2）324x-（15x25-【答案】见解析【解析】解：（1）原式＝23+63-＝43；（2）原式=32×2x-（＝3x-3x＝2x．【点睛】（1）先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并即可；（2）先将二次根式化简，再利用去括号法则去括号，再将被开方数相同的二次根式合并即可．本题主要考查二次根式的加减，解决此类问题的关键是要先将二次根式化简，此外还要注意，只有被开方数相同的二次根式才能合并，当被开方数不相同时是不能合并的．例3．计算：（20+5+5【答案】见解析【解析】解：原式=20÷5+＝2+5+1﹣＝3﹣22．【点睛】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【巩固练习】1．计算：13【答案】见解析【解析】解：13=1=1=52．计算：14yx6x【答案】见解析【解析】解：原式=14yx•x=14yx•xy=73．计算：12+3【答案】见解析【解析】解：原式＝23+3×33＝23+3=-4．计算：12+31【答案】见解析【解析】解：原式＝23+3×2＝23+2＝33．5．计算：18-212-3【答案】见解析【解析】解：原式＝32-2-3＝52-336．计算：48÷2【答案】见解析【解析】解：原式=1248＝2﹣32+2＝2-27．计算：55【答案】见解析【解析】解：原式=5-10=5＝﹣1．8．计算：（523-54【答案】见解析【解析】解：原式＝（5×63-36）=532-3=149．化简求值：x1x+4y-x2+【答案】见解析【解析】解：原式=x+=x2+当x＝4，y=19时，原式=42+3分母有理化【典例】例1．阅读理解材料：把分母中的根号去掉叫做分母有理化，例如：①25=255（1）化简：1（2）计算：1（3）12【答案】见解析【解析】解：（1）13（2）1=2-1=10-（3）1=2-1=n-【点睛】（1）直接找出有理化因式，进而分母有理化得出答案；（2）利用已知分别化简各二次根式，进而求出答案；（3）利用已知分别化简各二次根式，进而求出答案．此题主要考查了分母有理化，正确找出有理化因式是解题关键．例2．观察下列一组等式，然后解答后面的问题：（2+1）（2-1）＝1，（3+2）（3-2）＝1，（4+3）（4-（1）观察上面的规律，计算下列式子的值：（12+1+（2）利用上面的规律，试比较12-11与【答案】见解析【解析】解：（1）由题意可得1n+1原式＝（2-1+3-2+4＝（2013-1）•（2013+＝2013﹣1＝2012；（2）112-11∵12+∴112∴12-【点睛】（1）根据题中给出的式子找出规律，根据此规律即可得出结论；（2）把题中的式子取倒数，再比较大小即可．本题考查的是分母有理数，根据题中给出的例子找出规律是解答此题的关键．【巩固练习】1．已知a=13-2（1）求ab，a+b的值；（2）求ba【答案】见解析【解析】解：（1）∵a=13-2∴ab＝（3+2）×（3-a+b=3+2（2）b＝（3-2）2+（3＝5﹣26+5+2＝10．2．在进行二次根式的运算时，如遇到23+1这样的式子，还需做进一步的23+1=还可以用以下方法化简：23+1这种化去分母中根号的运算叫分母有理化．分别用上述两种方法化简：25【答案】见解析【解析】解：25或：253．观察下面的变形规律：12+1=2-1，13解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想1n+1（2）计算：（12+1+13【答案】见解析【解析】解：（1）1n+1故答案为：n+1-（2）原式＝[（2-1）+（