第35课时二次根式考点过关易错点警示及能力点拓展

第35课时二次根式（解析版）核心考点：1.掌握二次根式的概念，理解二次根式的有意义的条件2.能用、解决问题一、核心考点过关1．（2021秋•卧龙区期末）若x＜﹣1，则下列二次根式一定有意义的是（）A．x B．x−1 C．x+1 D．1−x【思路引领】根据负数没有平方根确定出所求即可．【解答】解：∵x＜﹣1，∴x+1＜0，∴x﹣1＜0，1﹣x＞0，则当x＜﹣1时，1−x有意义．故选：D．【总结提升】此题考查了二次根式的定义，了解负数没有平方根是解本题的关键．2．有下列式子：13，a+1，3a，b2+1，35，A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【思路引领】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，逐一判断可得答案．【解答】解：a+1，3a中未确定a35−111中被开方数小于0，无意义，不是二次根式；是二次根式的为13，b2+1，故选：B．【总结提升】本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的定义：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．3．（2020•丰润区一模）使得式子x4−x有意义的xA．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4【思路引领】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：使得式子x4−x有意义，则：4﹣x解得：x＜4，即x的取值范围是：x＜4．故选：D．【总结提升】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．4．（2022春•叙州区期中）在函数y=23x−1中自变量x的取值范围为x≠【思路引领】根据分母不为0可得：3x﹣1≠0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：3x﹣1≠0，解得：x≠1故答案为：x≠1【总结提升】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．5．（2022春•东港区期末）代数式x−1x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1且x≠3【思路引领】根据二次根式有意义和分式的分母不能为0得出x﹣1≥0且x﹣3≠0，再求出答案即可．【解答】解：∵代数式x−1x−3∴x﹣1≥0且x﹣3≠0，解得：x≥1且x≠3，故答案为：x≥1且x≠3．【总结提升】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，注意：①式子a中a≥0，②分式AB的分母B6．（2022春•谷城县期末）已知二次根式5−a有意义，则a的取值范围是（）A．a≥0 B．a≤0 C．a≥5 D．a≤5【思路引领】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0列不等式求解即可．【解答】解：由题意得，5﹣a≥0，解得a≤5．故选：D．【总结提升】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．7．（2023春•西城区校级期中）下列等式正确的是（）A．(−2)2=−2 B．3−8=−2 C．【思路引领】先利用二次根式的性质化简二次根式，根据化简结果得结论．【解答】解：A．(−2)2=B．3−8=−2，故选项C．±169=±13≠13，故选项CD．−36没有意义，故选项D不正确．故选：B．【总结提升】本题主要考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解决本题的关键．8．（2020春•莱西市期中）当a为实数时，a2=−a，则A．原点的左侧 B．原点或原点右侧 C．原点的右侧 D．原点或原点的左侧【思路引领】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：﹣a≥0，∴a≤0，故选：D．【总结提升】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．9．（2020•呼伦贝尔）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|−(a−2A．3﹣2a B．﹣1 C．1 D．2a﹣3【思路引领】根据数轴上a点的位置，判断出（a﹣1）和（a﹣2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．【解答】解：由图知：1＜a＜2，∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，原式＝a﹣1﹣[﹣（a﹣2）]＝a﹣1+（a﹣2）＝2a﹣3．故选：D．【总结提升】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a﹣1＞0，a﹣2＜0是解题关键．10．若a−b−3与|a+b+1|互为相反数，求（a+b）5的值是多少？【思路引领】根据互为相反数的性质和非负数的性质求得a，b的值，再进一步代入求解．【解答】解：∵a−b−3与|a+b+1|互为相反数，∴a−b−3+|a+b+1|=0∵a−b−3≥0且|a+b∴a﹣b﹣3＝0且a+b+1＝0．解得a＝1，b＝﹣2．∴（a+b）5＝（1﹣2）5＝（﹣1）5＝﹣1．【总结提升】此题考查了非负数的性质、互为相反数的性质．几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0；互为相反数的两个数的和为0．11．（2021秋•泰兴市期中）阅读：已知，a2=|a|．当a＞0时，a2=a；当a＝0时，a2=例题：若代数式(2−a)2+(a−4)解：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|，当a＜2时，原式＝（2﹣a）+（4﹣a）＝6﹣2a＝2，解得a＝2（舍去）；当2≤a＜4时，原式＝（a﹣2）+（4﹣a）＝2，等式恒成立；当a≥4时，原式＝（a﹣2）+（a﹣4）＝2a﹣6＝2，解得a＝4；所以，a的取值范围是2≤a≤4．上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：（1）当2≤a≤5时，化简：(a−5)2+（2）请直接写出满足(a−3)2+(a+4)2=7的a（3）若(a+1)2+(a−2)【思路引领】（1）根据二次根式的性质即可求出答案；（2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；（3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；【解答】解：（1）∵2≤a≤5，∴a﹣5≤0，2﹣a≥0，∴原式＝|a﹣5|+|2﹣a|＝5﹣a+a﹣2＝3；故答案为：3；（2）由题意可知：|a﹣3|+|a+4|＝7，当a＜﹣4时，a﹣3＜0，a+4＜0，∴原方程化为：3﹣a﹣（a+4）＝﹣2a+7，∴a＜﹣4不符合题意；当﹣4≤a≤3时，a﹣3≤0，a+4＞0，∴原方程化为：3﹣a+（a+4）＝7，∴﹣4≤a≤3符合题意；当a＞3时，a﹣3≥0，a+4＞0，∴原方程化为：a﹣3+（a+4）＝2a+1，∴a≥3不符合题意；综上所述，﹣4≤a≤3；故答案为：﹣4≤a≤3；（3）原方程可化为：|a+1|+|a﹣2|＝5，当a≤﹣1时，a+1≤0，a﹣2＜0，∴原方程化为：﹣a﹣1+（2﹣a）＝5，解得a＝﹣2；当﹣1≤a＜2时，a+1≥0，a﹣2＜0，∴原方程化为：a﹣1+（2﹣a）＝5，∴此方程无解，故﹣1≤a＜2不符合题意；当a≥2时，a+1＞0，a﹣2＞0，∴原方程化为：a+1+（a﹣2）＝5，∴a＝3，符合题意；综上所述，a＝﹣2或a＝3．【总结提升】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的基本性质二、提优拔尖训练12．（2022春•荔湾区期末）若(2a−1)2=1﹣2aA．a＜12 B．a＞12 C．a≤【思路引领】根据二次根式的性质得(2a−1)2=|2a﹣1|，则|2a﹣1|＝1﹣2a【解答】解：∵(2a−1)2=∴|2a﹣1|＝1﹣2a，∴2a﹣1≤0，∴a≤1故选：C．【总结提升】本题考查了二次根式的性质：a2=|13．（2014秋•万州区校级期中）如果式子−3x+1x2yA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【思路引领】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得x＞0，y＞0，进而可得点（x，y）在第一象限．【解答】解：由题意得：x＜0，y＞0点（x，y）在第二象限，故选：B．【总结提升】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．14．（2019春•璧山区期中）若x、y都是实数，且2x−1+1−2x+yA．2 B．±2 C．2 D．不能确定【思路引领】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，2x﹣1≥0且1﹣2x≥0，解得x≥12且x∴x=1y＝4，∴xy=1∴xy的算术平方根为2．故选：C．【总结提升】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．15．（2017秋•沂源县期末）无论x取任何实数，代数式x2−6x+m都有意义，则A．m≥9 B．m＞36 C．m≤9 D．m≤6【思路引领】将被开方数配方，再根据二次根式有意义，被开方数大于等于0进行判断即可．【解答】解：x2∵无论x取任何实数，代数式x2∴m﹣9≥0，∴m≥9．故选：A．【总结提升】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．16．（2020秋•沈北新区校级期末）化简1−6x+9xA．6x﹣6 B．﹣6x+6 C．﹣4 D．4【思路引领】由二次根式的非负性及被开方数的非负性可得x的范围，从而可将根号化简掉，从而问题可解．【解答】解：由二次根式的非负性及被开方数的非负性可得：3x﹣5≥0∴x≥∴1﹣3x＜0∴1−6x+9=(1−3x)2＝3x﹣1﹣3x+5＝4故选：D．【总结提升】本题考查了二次根式的性质与化简，明确被开方数的特点，会利用完全平方公式化简，是解题的关键．17．（2021春•江岸区校级月考）若化简：1−2x+x2−x2A．x为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D．x≤4【思路引领】先根据二次根式的性质进行计算，根据已知条件得出1−2x+x2−x2−8x+16=|1﹣x|﹣|x﹣4|＝x﹣1+x【解答】解：1−2x+=(1−x＝|1﹣x|﹣|x﹣4|，∵1−2x+x2−∴|1﹣x|﹣|x﹣4|＝x﹣1+x﹣4＝2x﹣5，∴1﹣x≤0且x﹣4≤0，解得：1≤x≤4，故选：B．【总结提升】本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，a2=|a|18．（2012秋•温州校级期中）已知m=1+2，n=1−2，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）＝8，则A．﹣5 B．5 C．﹣9 D．9【思路引领】观察已知等式可知，两个括号里分别有m2﹣2m，n2﹣2n的结构，可由已知m、n的值移项，平方得出m2﹣2m，n2﹣2n的值，代入已知等式即可．【解答】解：由m＝1+2得m﹣1=两边平方，得m2﹣2m+1＝2即m2﹣2m＝1，同理得n2﹣2n＝1．又（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）＝8，所以（7+a）（3﹣7）＝8，解得a＝﹣9故选：C．【总结提升】本题考查了二次根式的灵活运用，直接将m、n的值代入，可能使运算复杂，可以先求部分代数式的值．19．（2018春•青州市期中）已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式|a|−(a+c)2+(c−a)2−3−b【思路引领】根据a2=|【解答】解：原式＝|a|﹣|a+c|+|c﹣a|+b，＝a﹣（a+c）+（a﹣c）+b，＝a﹣a﹣c+a﹣c+b，＝a+b﹣2c．故答案为：a+b﹣2c．【总结提升】此题主要考查了实数运算，关键是掌握二次根式的性质和绝对值的性质．20．（2022春•泰来县校级期中）在实数范围内分解因式：（1）4x2﹣20；（2）x2﹣23x+3．【思路引领】（1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可；（2）根据完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）4x2﹣20＝4（x2﹣5）＝4（x+5）（x−（2）x2﹣23x+3＝x2﹣23x+（3）2＝（x−3）2【总结提升】本题考查了在实数范围内分解因式，能熟练掌握因式分解的方法是解此题的关键．21．（2015春•利州区校级期中）若x、y为实数，且y=x2−4+4−【思路引领】根据二次根式有意义的得出x，y的值进而代入原式求出即可．【解答】解：∵y=x∴x2﹣4＝0，x+2≠0，解得：x＝2，∴y=1∴x+y•x−y=【总结提升】此题主要考查了二次根式有意义的条件，得出x，y的值是解题关键．22．已知x，y都是实数，且满足y＜x−1+1−x+1【思路引领】根据x，y都是实数，且满足y＜x−1+1−x+12，可得x【解答】解：∵x，y都是实数，且满足y＜x−1∴x﹣1＝0，∴x＝1，∴y＜1∴1﹣y＞0，∴1y−1•=1=1＝﹣1．【总结提升】本题考查了二次根式的化简求值，二次根式的性质，二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．23．（2021秋•宁远县期末）设a，b，c为△ABC的三边，化简：(a+b+c)【思路引领】根据三角形的三边关系判定出a+b﹣c，a+c﹣b，b+c﹣a的符号，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：根据a，b，c为△ABC的三边，得到a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，则原式＝|a+b+c|+|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣b﹣a|＝a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b+c﹣a﹣b＝4c．【总结提升】此题考查了二次根式的性质与化简，以及三角形的三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．（2022•杭州模拟）已知m=8−2n+2n−8−3，求（m+【思路引领】根据被开方数大于等于0列式求出n，再求出m，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，8﹣2n≥0且2n﹣8≥0，解得n≤4且n≥4，∴n＝4，∴m＝﹣3，∴（m+n）2020＝（﹣3+4）2020＝1．【总结提升】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是关键．三、思维拓展训练25．（2018春•五莲县期中）若m适合关系式3x+2y−1−m+2x+3y−m=x−2013+y•2013−x−y，则【思路引领】先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值，再列出关于x、y、m的三元一次方程组解答即可．【解答】解：根据题意得：x−2013+y≥02013−x−y≥0则x+y＝2013，即3x+2y−1−m+则x+y=20133x+2y−1−m=0解得x=1007y=1006故m＝5032．故答案为：5032．【总结提升】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．同时考查了非负数的性质，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0．26．（2022春•岚山区校级期中）二次根式a的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果a≥0，利用a（1）已知a−1+3+b=0，则a+b（2）若x，y为实数，且x2=y−5+5−y+9，求（3）已知实数m，n（n≠0）满足|2m﹣4|+|n+2|+(m−3)n2+4＝2m，求【思路引领】（1）利用非负数的性质，可求a，b的值，从而求得a+b的值为﹣2；（2）利用二次根式有意义的条件，可得y值，进而求x值，最终得x+y的值；（3）是上两个题目的综合运用，利用（1）（2）可出得m+n的值．【解答】解：（1）∵a−1+且a−1≥0，∴a﹣1＝0，且3+b＝0，∴a＝1，b＝﹣3，∴a+b＝