专题01二次根式的定义及性质(原卷版+解析)(重点突围)

专题01二次根式的定义及性质【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一二次根式的定义】 1【考点二二次根式有意义的条件】 2【考点三求二次根式的值】 3【考点四求二次根式中的参数】 4【考点五利用二次根式的性质化简】 6【考点六复合二次根式的化简】 7【过关检测】 10【典型例题】【考点一二次根式的定义】例题：（2022·全国·八年级专题练习）下列各式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022春·四川遂宁·九年级射洪中学校联考期中）下列式子是二次根式的有（

）个A．2 B．3 C．4 D．52．（2022春·福建漳州·八年级校联考期中）给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（

）A． B． C． D．【考点二二次根式有意义的条件】例题：（2022春·四川资阳·九年级统考期末）若代数式有意义，则x的取值范围为______________．【变式训练】1．（2022春·吉林长春·九年级长春外国语学校校考期末）若代数式有意义，则实数的取值范围是___________．2．（2022春·上海普陀·八年级校考期中）如果二次根式有意义，那么应该满足的条件是__________．【考点三求二次根式的值】例题：（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）当x＝2时，二次根式的值是_____．【变式训练】1．（2022春·四川资阳·九年级统考期末）当时，二次根式的值是_________．2．（2021秋·湖北荆门·八年级校考阶段练习）已知，则________．【考点四求二次根式中的参数】例题：（2022春·福建泉州·九年级校考期中）如果是一个整数，那么最小正整数___________．【变式训练】1．（2022春·四川达州·八年级校考期中）已知有理数满足，则的值是______.2．（2022春·八年级课时练习）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________．【考点五利用二次根式的性质化简】例题：（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）计算：______．【变式训练】1．（2022春·北京·八年级校考期中）化简：______，______．2．（2022秋·八年级课时练习）化简：(1)．(2)．(3)．【考点六复合二次根式的化简】例题：（2022秋·安徽六安·八年级校考期中）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简．例如：化简解：∵∴；请你仿照上面的方法，化简下列各式：(1)；(2)【变式训练】1．（2022春·广东佛山·八年级校考期中）先阅读材料，然后回答问题(1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简经过思考，肖战解决这个问题的过程如下，①②③④在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________(2)根据上述材料中得到的启发，化简﹒【过关检测】一、选择题1．（2022春·辽宁沈阳·八年级统考期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022春·河南驻马店·九年级统考期中）下列式子一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．3．（2022春·内蒙古乌兰察布·八年级校考期末）要使式子有意义，x的取值范围是（）A． B．且 C．且 D．且4．（2022春·河北邯郸·九年级统考期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．（2022春·四川资阳·九年级统考期末）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（

）A．2 B．-2 C．2a-6 D．-2a+6二、填空题6．（2022春·上海宝山·八年级校考期中）当时，化简__________．7．（2022春·北京海淀·八年级校考期末）若有意义，则能取的最小整数是______．8．（2022春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）若两不等实数a，b满足，，则的值为_____．9．（2022·八年级单元测试）已知a，b都是实数，，则的值为___________．10．（2022秋·八年级课时练习）填空：（1）___________，___________，___________，___________．（2）数a在数轴上的位置如图，则___________．三、解答题11．（2022春·全国·八年级专题练习）化简：(1)(2)(3)12．（2021春·福建泉州·八年级福建省安溪第一中学校考期中）已知a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：．13．（2022秋·安徽合肥·八年级校考期中）观察下列等式：①②③(1)根据等式规律写出第④个等式，并验证其正确性：______．(2)猜想第个等式，并证明．14．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）观察下列等式：①；②；③；④；……(1)请按规律写出第5个式子；(2)请按规律写出第n个式子，并予以证明；15．（2022秋·甘肃天水·七年级期末）观察下列各式及其验证过程：，验证：；，验证：．(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证．(2)写出用（为任意自然数，且）表示的等式反映上述各式的规律，并给出证明．16．（2022秋·八年级课时练习）填空：___________，___________；___________，___________；___________，___________．比较左右两边的式子，议一议：与有什么关系？当时，______；当时，___________．17．（2022秋·山东济宁·八年级校考期中）先阅读材料，然后回答问题：(1)嘉淇同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考，嘉淇解决这个问题的过程如下：…①…②…③．…④上述化简过程中，第______步出现了错误，正确的化简结果为______；(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简．专题01二次根式的定义及性质【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一二次根式的定义】 1【考点二二次根式有意义的条件】 2【考点三求二次根式的值】 3【考点四求二次根式中的参数】 4【考点五利用二次根式的性质化简】 6【考点六复合二次根式的化简】 7【过关检测】 10【典型例题】【考点一二次根式的定义】例题：（2022·全国·八年级专题练习）下列各式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的定义逐项分析即可．【详解】解：A．的被开方数小于0，不是二次根式；B．当时，不是二次根式；C．的根指数是3，不是二次根式；D．是二次根式．故选D．【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．【变式训练】1．（2022春·四川遂宁·九年级射洪中学校联考期中）下列式子是二次根式的有（

）个A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，逐一判断．【详解】当时，是二次根式；是二次根式，不是二次根式，中，不是二次根式，，是二次根式，，是二次根式，∴，，是二次根式，共3个，故选：B．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，二次根式的定义（一般形如的代数式叫做二次根式）会判断被开方数的正负是解答关键．2．（2022春·福建漳州·八年级校联考期中）给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．【详解】解：①∵，∴是二次根式；②6不是二次根式；②∵，∴不是二次根式；④∵，∴，∴是二次根式；⑤∵，∴是二次根式；⑥是三次根式，不是二次根式．所以二次根式有3个．故选：B．【点睛】本题考查的是二次根式的定义，解题时，要注意：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．【考点二二次根式有意义的条件】例题：（2022春·四川资阳·九年级统考期末）若代数式有意义，则x的取值范围为______________．【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件即可得出答案．【详解】解：∵代数式有意义，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．【变式训练】1．（2022春·吉林长春·九年级长春外国语学校校考期末）若代数式有意义，则实数的取值范围是___________．【答案】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．【详解】解：根据题意，得，解得．故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的定义，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．2．（2022春·上海普陀·八年级校考期中）如果二次根式有意义，那么应该满足的条件是__________．【答案】【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，即可求解．【详解】解：根据题意得：且，解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．【考点三求二次根式的值】例题：（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）当x＝2时，二次根式的值是_____．【答案】2【分析】将x=2代入即可求解．【详解】解：将x=2代入可得：．故答案为2．【点睛】本题主要考查了求二次根式的值，掌握二次根式的值的求法是解答本题的关键．【变式训练】1．（2022春·四川资阳·九年级统考期末）当时，二次根式的值是_________．【答案】4【分析】把x=2代入二次根式计算可得答案．【详解】解：∵x=2，∴==4．故答案为：4．【点睛】此题考查了二次根式的计算求值，解题的关键是正确代入数值计算．2．（2021秋·湖北荆门·八年级校考阶段练习）已知，则________．【答案】【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论【详解】求解．解：∵，∴与同号，①当，时，原式；②当，时，原式，故答案为：．【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件．【考点四求二次根式中的参数】例题：（2022春·福建泉州·九年级校考期中）如果是一个整数，那么最小正整数___________．【答案】2【分析】根据二次根式的定义，可得答案．【详解】解：由二次根式是一个整数，那么正整数a最小值是2，故答案为：2．【点睛】本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的性质是解题关键．【变式训练】1．（2022春·四川达州·八年级校考期中）已知有理数满足，则的值是______.【答案】【分析】将已知等式整理得，由a，b为有理数，得到，求出a，b的值，代入计算即可．【详解】解：∵，∴，∵a，b为有理数，∴，解得，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了求二次根式中的参数，将已知等式整理后得到对应关系，由此求出a，b的值是解题的关键．2．（2022春·八年级课时练习）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________．【答案】或或【分析】先利用算数平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解．【详解】解：由题意得，解得，∵n是正整数，∴∴，∴，∴，∵是整数，∴或或或或，解得或或或或，∵n是正整数，∴或或，故答案为：或或【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键．【考点五利用二次根式的性质化简】例题：（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）计算：______．【答案】##【分析】根据二次根式的性质直接求解即可得到答案．【详解】解：由题意可得，，故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的性质：，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式训练】1．（2022春·北京·八年级校考期中）化简：______，______．【答案】

【分析】根据二次根式的性质化简求解即可．【详解】解：，，故答案为：；．【点睛】本题考查二次根式的性质，会利用二次根式的性质正确化简是解答的关键．2．（2022秋·八年级课时练习）化简：(1)．(2)．(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先将被开方数的分子分母分别写成平方的形式，再利用二次根式的性质化简即可；（2）先将被开方数化成假分数，再将分母有理化即可；（3）直接将分母有理化即可．【详解】（1）原式；（2）原式；（3）原式．【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，熟练分母有理化的方法是解题的关键．【考点六复合二次根式的化简】例题：（2022秋·安徽六安·八年级校考期中）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简．例如：化简解：∵∴；请你仿照上面的方法，化简下列各式：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）仿照例题，根据，即可求解；（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．【详解】（1）解：∵，；（2）解：．【点睛】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．【变式训练】1．（2022春·广东佛山·八年级校考期中）先阅读材料，然后回答问题(1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简经过思考，肖战解决这个问题的过程如下，①②③④在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________(2)根据上述材料中得到的启发，化简﹒【答案】(1)④，(2)【分析】（1）由于，则可知在第④步化简的时候出现错误，据此求出正确的化简结果即可；（2）仿照题意进行化简即可．【详解】（1）解：①②③④，∴上述的化简过程中，第④步出现了错误，正确的化简结果为，故答案为：④，；（2）解：．【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意掌握化简复合二次根式的方法是解题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2022春·辽宁沈阳·八年级统考期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件即可解答．【详解】解：二次根式有意义，，解得，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握和运用二次根式有意义的条件是解决本题的关键．2．（2022春·河南驻马店·九年级统考期中）下列式子一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次根式的定义：形如的式子逐项判断即可．【详解】解：A、缺少条件，不一定是二次根式，本选项不符合题意；B、为三次根式，不符合二次根式的定义，本选项不符合题意；C、，是二次根式，本选项符合题意；D、，缺少条件，不一定是二次根式，本选项符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟知二次根式的概念是关键．3．（2022春·内蒙古乌兰察布·八年级校考期末）要使式子有意义，x的取值范围是（）A． B．且 C．且 D．且【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【详解】解：由题意得，，解得且，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是根据题意列出不等式．4．（2022春·河北邯郸·九年级统考期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据是整数，，推出是完全平方数，设，得到，根据与同奇同偶，，，或，，得到，或，推出n的最小正整数值是2．【详解】∵是整数，且，∴是完全平方数，设（m是正整数），则，∵与同奇同偶，∴，或，∴，或，∴，∴n的最小正整数值是2．故选：A．【点睛】本题主要考查了平方数，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，数的奇偶性，解方程组．5．（2022春·四川资阳·九年级统考期末）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（

）A．2 B．-2 C．2a-6 D．-2a+6【答案】A【分析】根据数轴即可确定a的范围，然后根据绝对值和二次根式的性质得出，，再化简即可．【详解】解：根据数轴可以得到：，∴，，∴故选：A．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，以及绝对值的性质，得出，是解题的关键．二、填空题6．（2022春·上海宝山·八年级校考期中）当时，化简__________．【答案】【分析】根据二次根式的性质以及题目给出的x与y的关系进行化简即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．7．（2022春·北京海淀·八年级校考期末）若有意义，则能取的最小整数是______．【答案】2【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，根据题意解答即可．【详解】解：由题意得，，解得，，则m能取的最小整数值是2，故答案为：2．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．8．（2022春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）若两不等实数a，b满足，，则的值为_____．【答案】4【分析】根据平方差公式以及完全平方公式可求出和，然后代入原式即可求出答案．【详解】∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵∴∴原式＝．故答案为：4．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是，本题属于基础题型．9．（2022·八年级单元测试）已知a，b都是实数，，则的值为___________．【答案】4【分析】直接利用二次根式有意义条件求出a，b的值代入求解即可．【详解】解：由题意可得，，，解得，∴，∴，故答案为4．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，正确得出a的值，再代入求出b的值是解题的关键．10．（2022秋·八年级课时练习）填空：（1）___________，___________，___________，___________．（2）数a在数轴上的位置如图，则___________．【答案】

1

3

##

4

【分析】（1）根据二次根式性质进行化简即可；（2）根据点a在数轴上的位置关系得出，然后根据二次根式性质进行化简即可．【详解】解：（1）；；；；故答案为：1；3；；4．（2）根据数a在数轴上的位置可知，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，用数轴上的数表示有理数，解题的关键是熟练二次根式的性质．三、解答题11．（2022春·全国·八年级专题练习）化简：(1)(2)(3)【答案】(1)2(2)(3)【分析】（1）先分母有理化，然后再计算乘法；（2）直接进行计算即可；（3）直接进行计算即可．（1）解：＝6×＝．（2）；（3）．【点睛】题目主要考查二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．12．（2021春·福建泉州·八年级福建省安溪第一中学校考期中）已知a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：．【答案】【分析】由数轴上的信息可知，由此可得，再结合绝对值和二次根式的性质将绝对值符号和根号去掉，然后合并同类项即可【详解】解：由数轴可知，∴，∴原式．【点睛】本题考查了数轴、二次根式的性质、绝对值的化简以及整式的加减运算等知识，关键是确定绝对值符号里式子的符号．13．（2022秋·安徽合肥·八年级校考期中）观察下列等式：①②③(1)根据等式规律写出第④个等式，并验证其正确性：______．(2)猜想第个等式，并证明．【答案】(1)(2)第个等式为：，证明见解析【分析】（1）根据前三个等式的规律直接求解即可；（2）根据前面等式规律，掌握变化与不变的量，猜想，对左边式子通分，结合二次根式性质化简即可证明．（1）解：由前三个等式的规律可知第个等式为：，故答案为：；（2）解：第个等式为：．证明：左边右边，．【点睛】本题考查等式规律，涉及到二次根式性质，根据已知，把握变化与不变的量是解决问题的关键．14．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）观察下列等式：①；②；③；④；……(1)请按规律写出第5个式子；(2)请按规律写出第n个式子，并予以证明；【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】通过观察类比总结出通用规律，两个根式相等，第一个根式里面是整数加分数，第二个根式里面是分数，根式外面为整数，发现等式两边的整数和分数之间的关系，即可求解．（1）解：根据前四个已有数据分析即可得：第5个式子为；（2）解：由前几个式子变化规律，第