专题06分式与分式方程

专题6分式与分式方程分式有意义的条件1．（2021•宁波）要使分式有意义，x的取值应满足（）A．x≠0 B．x≠﹣2 C．x≥﹣2 D．x＞﹣2【分析】直接利用分式有意义则分母不等于零，即可得出答案．【解答】解：要使分式有意义，则x+2≠0，解得：x≠﹣2．故选：B．2．（2023•宁波）要使分式有意义，x的取值应满足x≠2．【分析】当分母不等于0时，分式有意义．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠2．分式的运算3．（2022•湖州）当a＝1时，分式的值是2．【分析】把a＝1代入分式计算即可求出值．【解答】解：当a＝1时，原式＝＝2．故答案为：2．4．（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式＝+（v≠f）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（）A． B． C． D．【分析】利用分式的基本性质，把等式＝+（v≠f）恒等变形，用含f、v的代数式表示u．【解答】解：＝+（v≠f），＝+，，，u＝．故选：C．5．（2021•金华）+＝（）A．3 B． C． D．【分析】根据同分母的分式的加减法法则计算即可．【解答】解：+＝＝，故选：D．6．（2022•温州）计算：+＝2．【分析】根据同分母分式的运算法则运算即可．【解答】解：原式＝，＝，＝2．故答案为：2．7．（2023•温州）计算：（2）﹣．【分析】（2）直接利用分式的加减运算法则计算，再利用分式的性质化简得出答案．【解答】（2）原式＝＝＝a﹣1．8．（2022•衢州）（2）化简：+．【分析】（2）运算异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，进行计算即可得出答案．【解答】解（2）．9．（2022•舟山）观察下面的等式：＝+，＝+，＝+，……（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）．（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【分析】（1）观察已知等式，可得规律，用含n的等式表达即可；（2）先通分，计算同分母分式相加，再约分，即可得到（1）中的等式．【解答】解：（1）观察规律可得：＝+；（2）∵+＝+＝＝，∴＝+．分式的应用10．（2022•台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x的值是5．先化简，再求值：+1，其中x＝★．解：原式＝•（x﹣4）+（x﹣4）…①＝3﹣x+x﹣4＝﹣1【分析】先将题目中的分式化简，然后令化简后式子的值为﹣1，求出相应的x的值即可．【解答】解：+1＝＝，当＝﹣1时，可得x＝5，检验：当x＝5时，4﹣x≠0，∴图中被污染的x的值是5，故答案为：5．11．（2021•衢州）先化简，再求值：+，其中x＝1．【分析】根据分式的加法法则把原式化简，把x的值代入计算，得到答案．【解答】解：原式＝﹣＝＝＝x+3，当x＝1时，原式＝1+3＝4．12．（2021•台州）将x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖（）A．20% B．×100% C．×100% D．×100%【分析】根据x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合，可知含糖的质量为10%x+30%y，要求混合后的糖水含糖的百分比，只要用混合后糖的质量除以混合后糖水的质量再乘以100%即可．【解答】解：由题意可得，混合后的糖水含糖：×100%＝×100%，故选：D．解分式方程13．（2023•绍兴）方程的解是x＝3．【分析】解分式方程得结论．【解答】解：去分母，得3x＝9，∴x＝3．经检验，x＝3是原方程的解．故答案为：x＝3．14．（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b＝+．若（x+1）⊗x＝，则x的值为﹣．【分析】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案．【解答】解：根据题意得：+＝，化为整式方程得：x+x+1＝（2x+1）（x+1），解得：x＝﹣，检验：当x＝﹣时，x（x+1）≠0，∴原方程的解为：x＝﹣．故答案为：﹣．15．（2022•金华）若分式的值为2，则x的值是4．【分析】依据题意列出分式方程，解分式方程即可求得结论．【解答】解：由题意得：＝2，去分母得：2＝2（x﹣3），去括号得：2x﹣6＝2，移项，合并同类项得：2x＝8，∴x＝4．经检验，x＝4是原方程的根，∴x＝4．故答案为：4．16．（2023•浙江）小丁和小迪分别解方程﹣＝1过程如下：你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．【分析】根据解分式方程的步骤进行计算并判断即可．【解答】解：小丁和小迪的解法都不正确，正确步骤如下：﹣＝1，两边同乘（x﹣2），去分母得：x+x﹣3＝x﹣2，移项，合并同类项得：x＝1，检验：将x＝1代入（x﹣2）中可得：1﹣2＝﹣1≠0，则x＝1是分式方程的解，故原分式方程的解是x＝1．17．（2022•嘉兴）（2）解方程：＝1．【分析】（2）首先去分母化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后验根．【解答】解：（2）去分母得x﹣3＝2x﹣1，∴﹣x＝3﹣1，∴x＝﹣2，经检验x＝﹣2是分式方程的解，∴原方程的解为：x＝﹣2．分式方程的应用18．（2022•衢州）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．燃油车油箱容积：40升油价：9元/升续航里程：a千米每千米行驶费用：元新能源车电池电量：60千瓦时电价：0.6元/千瓦时续航里程：a千米每千米行驶费用：_____元（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．①分别求出这两款车的每千米行驶费用．②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用；（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．【解答】解：（1）由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为：＝（元），即新能源车的每千米行驶费用为元；（2）①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，∴﹣＝0.54，解得a＝600，经检验，a＝600是原分式方程的解，∴＝0.6，＝0.06，答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；②设每年行驶里程为xkm，由题意得：0.6x+4800＞0.06x+7500，解得x＞5000，答：当每年行驶里程大于5000km时，买新能源车的年费用更低．19．（2021•温州）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．营养品信息表营养成分每千克含铁42毫克配料表原料每千克含铁甲食材50毫克乙食材10毫克规格每包食材含量每包单价A包装1千克45元B包装0.25千克12元（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？【分析】（1）设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为2a元，根据“用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克”列分式方程解答即可；（2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，根据（1）的结论以及“每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完”列方程组解答即可；②设A为m包，则B为包，根据“A的数量不低于B的数量”求出m的取值范围；设总利润为W元，根据题意求出W与m的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可得到获利最大的进货方案，并求出最大利润．【解答】解：（1）设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为2a元，由题意得，解得a＝20，经检验，a＝20是所列方程的根，且符合题意，∴2a＝40（元），答：甲食材每千克进价为40元，乙食材每千克进价为20元；（2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，由题意得，解得，答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；②设A为m包，则B为＝（2000﹣4m）包，∵A的数量不低于B的数量，∴m≥2000﹣4m，∴m≥400，设总利润为W元，根据题意得：W＝45m+12（2000﹣4m）﹣18000﹣2000＝﹣3m+4000，∵k＝﹣3＜0，∴W随m的增大而减小，∴当m＝400时，W的最大值为2800，答：当A为400包时，总利润最大，最大总利润为2800元．20．（2022•丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5．AE＝a，DE＝b，且a＞b．（1）若a，b是整数，则PQ的长是a﹣b；（2）若代数式a2﹣2ab﹣b2的值为零，则的值是3+2．【分析】（1）直接根据线段的差可得结论；（2）先