专题2.2平行线四大模型与动态角度问题专题讲练（原卷版）

专题2.2平行线四大模型与动态角度问题专题讲练平行线基本模型与动态角度问题在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，该份资料就平行线的四大模型（铅笔模型、猪蹄模型、拐弯模型、“5”字模型）和动态模型（翻折、旋转）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。重要模型模型1：猪蹄模型（M型）【解题技巧】如图，①已知：AB∥CD，结论：∠APC=∠A+∠C；②已知：∠APC=∠A+∠C，结论：AB∥CD.图①、图②图③③已知：AB∥CD，结论：∠A+∠P2+∠C=∠P1+∠P3.例1、（2022.广东省初一月考）如图所示，已知：AB∥CD，求证：∠APC=∠A+∠C；变式1.（2022·广西·七年级专题练习）如图，已知直线，直线与，分别交于点A，B，直线与，分别交于点C，D，P是直线上的任意一点(不与点C，D重合).探究，，之间的关系，可以得到的结论是________.变式2．（2022·广西贵港·七年级期末）如图，平面内直线，点，，分别在直线，，上，平分，并且满足，则，，关系正确的是（

）A． B． C． D．例2．（2022·山东·德州七年级期中）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．求证：小明笔记上写出的证明过程如下:证明：过点E作∵∵，∴∴∴∴请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．(1)如图，若，，求；(2)如图，，BE平分，CF平分，，求．变式3．（2022·安徽·潜山市七年级阶段练习）如图，点A，B，C，D是的两条射线上的点（异于点O），且，，．(1)如图1，当点P在A，B两点之间运动时，问与，之间有什么数量关系？请说明理由；(2)当点P在射线BM上时（异于点B），与，之间有什么数量关系？请在图2中画出图形，并说明理由；(3)当点P位于直线AD与BC之间且在直线CD下方时，与，之间有什么数量关系？请在图3中画出图形，并说明理由．变式4.（2022·四川·西川中学七年级期中）已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、．（1）如图1，若，求的度数．（2）在（1）的条件下，分别作和的平分线交于点，求的度数．（3）如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知．则判断以下两个结论是否正确，并证明你认为正确的结论．①为定值；②为定值．模型2：铅笔头模型【解题技巧】如图，①已知：AB∥CD，结论：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；②已知：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°，结论：AB∥CD.图①、图②图③③已知：AB∥CD，结论：∠1+∠2+…+∠n=180（n－1）.例1、（2022.河北七年级月考）如图，已知：AB∥CD，求证：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；变式1．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图已知：ABCD，CDEF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下结论：①AB∥EF；②2∠1−∠4=90°；③2∠3−∠2=180°；④∠3+∠4=135°，其中，正确的结论有____．（填序号）变式2．（2022·黑龙江·七年级期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（）A． B． C． D．例2．（2022·福建泉州七年级期末）问题情境：我市某中学班级数学活动小组遇到问题：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．经过讨论形成的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．（1）按该数学活动小组的思路，请你帮忙求出∠APC的度数；（2）问题迁移：如图3，∥，点在、两点之间运动时，，．请你判断、、之间有何数量关系？并说明理由；（3）拓展应用：如图4，已知两条直线∥，点在两平行线之间，且的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，求的度数．变式3．（2022·吉林白山·七年级期中）如图，已知直线．这两直线之间一点．（1）如图1，若与的平分线相交于点，若，求的度数．（2）如图2，若与的平分线相交于点，与有何数量关系？并证明你的结论．（3）如图3，若的平分线与的平分线所在的直线相交于点，请直接写出与之间的数量关系．变式4．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，已知，M，N分别是直线AB，CD上一点，点E在直线AB，CD之间．(1)如图1，求证：；(2)如图2，F是EM上一点，NE平分，FH平分，试探究与之间的数量关系？并证明你的结论；(3)如图3，P为直线MN上一动点（不与点N重合），过点P作交直线CD于点G，∠PNG的角平分线和∠PGC的角平分线交于点O，则∠O的度数为______（直接写出结果）．例3．（2022·西安七年级月考）下列各图中的MA1与NAn平行．（1）图①中的∠A1+∠A2=度，图②中的∠A1+∠A2+∠A3=度，图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=度，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=度，…，第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10=度（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=．变式5．（2022·内蒙古包头·七年级期中）如图，已知A1BAnC，则∠A1＋∠A2＋…＋∠An等于__________(用含n的式子表示)．变式6．（2022·河南安阳·七年级期末）猜想说理：（1）如图，，分别就图1、图2、图3写出，，的关系，并任选其中一个图形说明理由：拓展应用：（2）如图4，若，则度；（3）在图5中，若，请你用含n的代数式表示的度数．模型3：拐弯模型【解题技巧】类型1（鸟嘴形）：如图，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3.类型2（骨折形）：如图，AB∥CD，结论：∠2=∠1+∠3.例1．（2022.广东七年级期中）如图，已知AB∥CD，求证：∠1=∠2+∠3.变式1．（2022·山东德州·七年级期末）已知，平分，，，则___________．变式2．（2021·保定市期中）（1）已知：如图1，，易知______．（2）如图2，，，是直线上的两点，猜想，，，，这四个角之间的关系，写出以下三种情况中这四个角之间的关系，并选择其中之一进行说明．图2①图中四个角的关系：______②图中四个角的关系：______③图中四个角的关系：______例2.（2022·忠县七年级月考）如图，已知直线l1//l2，l3、和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；（4）若点P在线段DC延长线上运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．变式3．（2022·上海市罗南中学七年级阶段练习）已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．(1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；(2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是（直接写出答案）；(3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是，∠FMG＝度．变式4．（2022·湖南株洲市期末）已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．（1）如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1+∠3=∠2；（提示：过点P作PM∥a）（2）当点P在线段EF外运动时有两种情况，①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明．②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．模型4：“5”字模型基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.例1.（2022.浙江七年级期中）如图，AB∥CD，求证：∠1+∠3－∠2=180°.变式1．（2022·江苏七年级期末）如图，AB∥CD，则∠1+∠3－∠2的度数等于__________．变式2．（2022·四川成都·七年级期末）已知直线，射线、分别平分，，两射线反向延长线交于点，请写出，之间的数量关系：________．例2．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为______．变式3．（2022·黑龙江·七年级月考）如图，，E是上的点，过点E作，若，平分，，，则_______．变式4．（2022·安徽芜湖·七年级期中）如图，AB∥CD，BF,DF分别平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F与∠ABE互补，则∠F的度数为A．30° B．35° C．36° D．45°例3．（2022·河南驻马店七年级期中）如图1，已知AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．（1）若∠E＝50°，请直接写出∠F的度数；（2）探索∠E与∠F之间满足的数量关系，并说明理由；（3）如图2，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，FG的反向延长线交EP于点P，求∠P的度数．变式5．（2022·江苏·吕良中学七年级阶段练习）课题学习：平行线的“等角转化”功能．(1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求的度数．阅读并补充下面推理过程解：过点A作，_________________．__________________解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．(2)方法运用：如图2，已知，求证：提示：过点C做．(3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，平分，DE平分，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数。②如图4，点B在点A的右侧，且，若，则的度数为___________．变式6．（2022·湖北咸宁市期末）（感知）如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE、BE，试说明∠BAE+∠DCE=∠AEC；（探究）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°；（应用）点E、F、G在直线AB与CD之间，连结AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图③，若∠EFG=36°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°.模型5：折叠模型例1．（2022·黑龙江·林口县七年级期末）一张长方形纸条按如图所示折叠，EF是折痕，若∠EFB=35°，则：①∠GEF=35°；②∠EGB=70°；③∠AEG=110°；④=70°．以上结论正确的有（

）A．①②③④ B．②③④ C．①②③ D．①②变式1．（2022·江苏·沭阳县潼阳中学七年级阶段练习）如图，把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠，若，则∠EFC的度数为（）A．70° B．110° C．130° D．150°变式2．（2022·浙江绍兴·七年级期中）如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝36°，则∠GHC等于（

）A．110° B．108° C．106° D．112°变式2．（2022·广东佛山市七年级期中）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=30°，则∠BFC′的度数为_________．例2.（2022·广东深圳市七年级期末）如图①，在长方形中，点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中，则的度数为______度.变式3．（2022·安徽合肥·七年级期末）如图1，将一条对边互相平行的纸条进行两次折叠，第一次折叠的折痕为AB，且∠1＝25°，第二次折叠的折痕为CD．（1）如图2，若CD∥AB，则∠2＝______．（2）如图3，若CD∥BE，则∠2＝______．变式4．（2022·全国·八年级单元测试）在△ABC中，将∠B、∠C按如图方式折叠，点B、C均落于边BC上一点G处，线段MN、EF为折痕．若∠A＝80°，则∠MGE＝_____°．例3．（2022·宜兴市北郊中学初二期中）如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．102° B．108° C．124° D．128°变式5．（2022·安徽合肥·七年级期中）有长方形纸片，E，F分别是AD，BC上一点∠DEF＝x（0°＜x＜45°），将纸片沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2．（1）如图1，当x＝32°时，＝_____度；（2）如图2，作∠MGF的平分线GP交直线EF于点P，则∠GPE＝_____（用x的式子表示）．变式6.（2022·上海市七年级月考）已知，如图1，四边形，，点在边上，为边上一动点，过点作，交直线于点．（1）当时，求；（2）当时，求；（3）如图3，将沿翻折使点的对应点落在边上，当时，请直接写出的度数，答：______．模型6：旋转模型例1．（2022·湖南岳阳·七年级期末）如图，将一副三角板按如图所示放置，，，，且，则下列结论中：①；②若平分，则有；③将三角形绕点旋转，使得点落在线段上，则此时；④若，则．其中结论正确的选项有______．（写出所有正确结论的序号）变式1．（2022·辽宁建昌·七年级期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有__________．（填序号）变式2．（2022·重庆·西南大学附中七年级期中）如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法正确的是（）A．当α＝15°时，DC∥ABB．当OC⊥AB时，α＝45°C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行例2.（2022·浙江七年级期中）已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为_____；（2）若射线QC先转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为_____秒时，PB′∥QC′．变式3.（2022·江苏泰兴市月考）某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行，即PQ∥MN．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动_________秒，两灯的光束互相平行．变式4（2022.江苏镇江七年级期中）镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是．例3.（2022.绵阳市七年级期中）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．（1）填空：∠BAN=______°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．变式5.（2022·山东德州市七年级期中）如图，PQ∥MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向）（1）a＝，b＝；（2）若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直．（3）若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？课后专项训练：1．（2022·辽宁大连·七年级期末）如图，已知，点是之间的任意一点且在右侧．（1）与的数量关系是___________________；（2）的平分线所在直线与的邻补角平分线相交于点．①根据题意，在图中补全图形，判断与的数量关系并说明理由；②若，求的度数(用含的式子表示)．2．（2022·福建龙岩七年级阶段练习）如图，直线，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EM平分∠AEF交CD于点M，若G是射线MD上一动点（不与点M，F重合）．(1)如图1，若EG平分∠BEF，试判断EM与EG的位置关系，并说明理由；(2)如图2，若EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN=α，∠EGF=β．①当点G在点F的右侧时，若β=60°，求α的度数；②在点G运动的过程中，α和β之间满足怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并说明理由．3．（2022·浙江台州·七年级阶段练习）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．(1)判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；(2)如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①当点G在点F的右侧时，若β＝56°，求α的度数；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．4．（2022·江苏南通·七年级期中）已知，连接，两点．(1)如图1，与的平分线交于点，则等于__________度；(2)如图2，点在射线反向延长线上，点在射线上．与的平分线交于点．若，，求的度数；(3)如图3，图4，，分别为射线，射线上的点，与的平分线交于点．设，，请直接写出图中的度数（用含，的式子表示）．5．（2022·江苏连云港·七年级期中）（1）【问题情境】小明翻阅自己数学学习笔记时发现，数学老师在讲评七下《伴你学》第6页“迁移应用”第1题时，曾做过如下追问：如图1，已知，点E、F分别在AB、CD上，点G为平面内一点，当点G在AB、CD之间，且在线段EF左侧时，连接EG、FG，则一定有，为什么？请帮助小明再次说明理由；（2）【变式思考】如图2，当点G在AB上方时，且，请直接写出与之间的数量关系______；（3）【迁移拓展】①如图3，在（2）的条件下，过点E作直线HK交直线CD于K，使与互补，作的平分线与直线GE交于点L，请你判断FG与KL的位置关系，并说明理由；②在①的条件下，第一次操作；分别作∠BEL和∠DKL的平分线，交点为L1；第二次操作，分别作∠BEL1和∠DKL1的平分线，交点为L2；……第n次操作，分别作∠BELn1和∠DKLn1的平分线，交点为L、则∠Ln=______．6．（2022·广东·深圳大学附属中学七年级期末）如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．(1)求证：AB∥CD；(2)如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数．(3)保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．7．（2022·山西晋中·七年级期中）综合与实践：问题情境：在综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线a，b且和直角三角形ABC，，，．操作发现：(1)在图1中，，求的度数；(2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，说明理由；实践探究：(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分，此时发现与又存在新的数量关系，请写出你的发现并说明理由．8．（2022·辽宁大连·七年级期末）如图1，点E、F分别在直线AB、CD上，点P为AB、CD之间的一点，且．(1)求证：；(2)如图2，点G在射线FC上，PG平分，，探究与之间的数量关系．并说明理由；(3)如图3，，．直线HQ分别交FN，EM于H、Q两点，若，求的度数．9．（2022·内蒙古包头·七年级期中）如图①，直线，直线和直线、分别交于、两点，点、分别在直线、上，点在直线上，连接、．(1)猜想：如图①，若点在线段上，，，则的大小为度；(2)探究：如图①，若点在线段上，直接写出、、之间的数量关系；(3)拓展：如图②，若点在射线上或在射线上时，直接写出、、之间的数量关系．10．（2022·江西赣州·七年级期中）已知，，直线与直线，分别交于点E，F．(1)如图1，若，求的度数．(2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，H是上一点，且．求证：．(3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．11．（2022·江西宜春·七年级期末）问题：已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．(1)端点A、C同向：如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC﹣（∠A+∠C）＝度；如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）＝度；(2)端点A、C反向：如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC与∠A﹣