21.3二次根式的加减（难点练）

21.3二次根式的加减（难点练）一、单选题1．（2020·全国九年级课时练习）若，，，则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论．【详解】解：a=2019×20212019×2020

=（20201）（2020+1）（20201）×2020

=20202120202+2020

=2019；

∵202224×2021

=（2021+1）24×2021

=20212+2×2021+14×2021

=202122×2021+1

=（20211）2

=20202，

∴b=2020；∵，∴c＞b＞a．

故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点．变形2019×20212019×2020、，利用完全平方公式计算出其值，是解决本题的关键．2．（2021·山东九年级一模）如图，，，，…是分别以，，，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，…均在反比例函数的图象上，则的值为（）A． B．900 C． D．【答案】A【分析】根据点C1的坐标，确定y1，可求反比例函数关系式，由点C1是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到OA1的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定y2，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定y3，……，然后再求和．【详解】解：过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…则∠OD1C1=∠OD2C2=∠OD3C3=90°，∵三角形OA1B1是等腰直角三角形，∴∠A1OB1=45°，∴∠OC1D1=45°，∴OD1=C1D1，其斜边的中点C1在反比例函数上，∴C（2，2），即y1=2，∴OD1=D1A1=2，∴OA1=2OD1=4，设A1D2=a，则C2D2=a此时C2（4+a，a），代入得：a（4+a）=4，解得：a=，即：y2=，同理：y3=，y4=，......，y2021=，∴y1+y2+…+y2021=2+++...+=，故选A．【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质一元二次方程的解法等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．3．（2021·全国九年级专题练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题中给的方法分别对和进行化简，然后再进行合并即可.【详解】设，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴原式，故选D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.4．（2021·上海九年级专题练习）关于代数式，有以下几种说法，①当时，则的值为4.②若值为2，则.③若，则存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（）A．① B．①② C．①③ D．①②③【答案】C【分析】①将代入计算验证即可；②根据题意=2，解得a的值即可作出判断；③若a＞2，则a+2＞0，则对配方，利用偶次方的非负性可得答案．【详解】解：①当时，

．

故①正确；

②若值为2，

则，

∴a2+2a+1=2a+4，

∴a2=3，

∴．

故②错误；

③若a＞2，则a+2＞0，

∴===≥0．

∴若a＞2，则存在最小值且最小值为0．

故③正确．

综上，正确的有①③．

故选：C．【点睛】本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键．5．（2021·内蒙古呼和浩特市·九年级二模）下列计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】分别运用二次根式、整式的运算、分式的运算法则逐项排除即可．【详解】解：A.，故A选项错误；B.，故B选项错误；C.，故C选项错误；D.，故D选项正确．故答案为D．【点睛】本题考查了二次根式、整式的运算、分式的运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．6．（2021·上海九年级专题练习）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．【详解】∴a的小数部分为，∴b的小数部分为，∴，故选：B．【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．7．（2021·上海九年级专题练习）如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（）．A．78cm2 B．cm2C．cm2 D．cm2【答案】D【分析】结合题意，根据二次根式的性质计算，即可求出阴影部分的面积，进而得出答案．【详解】从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，∴两个小正方形的边长分别为：cm、cm∴大正方形的边长是：cm∴大正方形的面积是：cm2∴留下部分（即阴影部分）的面积是3048＝cm2．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式的性质，从而完成求解二、填空题8．（2020·四川省内江市第六中学九年级一模）已知，则________．【答案】【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【详解】设m＝，n＝，那么m−n＝2①，m2＋n2＝()2＋()2＝34②．由①得，m＝2＋n③，将③代入②得：n2＋2n−15＝0，解得：n＝−5（舍去）或n＝3，因此可得出，m＝5，n＝3（m≥0，n≥0）．所以＝n＋2m＝13．【点睛】此题考查二次根式的减法，本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．9．（2021·上海九年级专题练习）已知函数，那么_____．【答案】【分析】根据题意可知，代入原函数即可解答.【详解】因为函数，所以当时，．【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键.10．（2020·威远县凤翔中学九年级期中）观察下列各式：=1+，=1+，=1+，……请利用你所发现的规律，计算+++…+，其结果为______．【答案】【分析】根据已知等式将各式分别化简，得到1++1++1++…+1+，再将等式写成+（+++…+）进行计算得到答案.【详解】∵=1+，=1+，=1+，……，∴+++…+=1++1++1++…+1+=+（+++…+）=2020+（1++++）=2020+1=，故答案为：.【点睛】此题考查运算类规律，有理数的混合运算，根据已知等式得到计算的规律，由此将各代数式化简，再根据特殊公式法进行计算得到答案，正确分析得到等式的计算规律是解题的关键.11．（2021·四川乐山市·九年级期末）形如的根式叫做复合二次根式，对可进行如下化简：＝＝+1，利用上述方法化简：＝_____．【答案】【分析】根据题目中复合二次根式的化简方法及二次根式的性质进行化简，再将化简结果运用二次根式的加减法法则计算即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】此题考查了二次根式的化简及运算，熟练掌握二次根式的性质及正确理解题目中复合二次根式的化简方法是解题的关键．12．（2021·安徽合肥市·九年级二模）阅读下面内容，并将问题解决过程补充完整．；；……由此，我们可以解决下面这个问题：，求出S的整数部分．解：……∴S的整数部分是________．【答案】见解析；18【分析】把各分母中第二个被开方数都加上1，增大分母，减小分数的值，构造大于的不等式，变形确定s的整数界点值，根据夹逼法确定整数值【详解】∵；；；∴18＜S＜19，∴S整数部分为18，故答案为：；；；18；【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，不等式的性质，估算的思想，熟练确定S位于哪两个整数之间是解题的关键．13．（2021·黑龙江绥化市·九年级一模）如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC边上一点，且BE＝CD，CD⊥BE．若∠A＝30°，BD＝1，CE＝2，则四边形CEDB的面积为_____．【答案】【分析】作辅助线，，由两直线垂直得，角角边证明△CKD≌△BHE，其性质得；设，根据直角三角的性质，线段的和差得，，；建立等量关系，求得，，最后由勾股定理，面积公式求得四边形的面积为．【详解】解：分别过点C、E两点作CK⊥AB，EH⊥AB交AB于点K和点H，设CK＝x，如图所示：∵CD⊥BE，∴∠BMD＝90°，∴∠EBH+∠CDB＝90°，同理可得：∠EBH+∠BEH＝90°，∴∠CDB＝∠BEH，又∵CK⊥AB，EH⊥AB，∴∠CKD＝∠BHE＝90°，在△CKD和△BHE中，，∴△CKD≌△BHE（AAS），∴DK＝EH，又∵Rt△AKC中，∠A＝30°，，，又，，，，又，，，又，，又，，解得：，，在中，由勾股定理得：，．故答案为．【点睛】本题综合考查了垂直的定义，余角的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，线段的和差，四边形面积的求法等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点是作辅助线构建全等三角形．14．（2021·浙江杭州市·九年级其他模拟）如图，中，，，点在边上，将沿翻折，点的对称点为，使得．则__________，__________．【答案】【分析】先求和，再用是外角即可得结果；延长交于，过作于，首先证明、△、是等腰三角形，再设，，用列方程，用表示，从而可得答案．【详解】解：，，沿翻折，，，，，沿翻折，，；延长交于，过作于，如图：，，，沿翻折，，，沿翻折，，，而，，，，设，，△中，，中，，，由可得：，解得，，．【点睛】本题考查等腰三角形性质及判定及翻折问题，解题的关键是构造30°、45°的直角三角形，利用它们边的关系列方程．三、解答题15．（2020·浙江杭州市·九年级）（1）已知均不为0，且，求的值；（2）已知：，且，求的值．【答案】（1）；（2）16【分析】（1）仔细观察所求分式，只要a、b、c用同一个数表示就可以约去分式中的未知数，所以设=k，用k来表示a、b、c，然后将其代入所求的分式即可；（2）把x看成把y看成，直接进行因式分解即可；也可以设，将原式进行转化为，再进行因式分解即可．【详解】解：（1）设=k，则由①+③得2b+2c=14k即b+c=7k④由②+④得4b=12k，即b=3k把b=3k分别代入①、②得，a=k，c=4k∴方程组的解为∴=故答案为：（2）==∴=0∵，，∴，∵=0，∴或∵，，∴不成立，当时，，∴故答案为：16．【点睛】本题考查了分式的化简求值和分解因式，解答本题时，采用数学思想：转化思想，（1）是将未知数a、b、c转化为关于k的分式；（2）是将x、y看成一个平方式即、，也可以设，进行转化．16．（2020·山东烟台市·）先观察下列各等式及其验证过程，然后解答问题：①验证：；②验证：；解答下列问题：(1)按上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式所反映的一般规律，写出用为自然数，且表示的等式，并给出证明．【答案】（1）；见解析（2）；证明见解析【分析】（1）依据题干中的猜想和验证过程解答即可；（2）由前面几个例子可得出根号内的分母是根号外数字平方减1，分子等于根号外的数字这个猜想，用字母表达，再依据上面的方法验证即可．【详解】解：(1)验证：；（2）验证：【点睛】本题考查二次根式的性质，分式的基本性质．观察时，既要注意观察等式左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式．17．（2021·全国九年级专题练习）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”:与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：因为，所以再例如：求的最大值．做法如下：解：由可知，而当时，分母有最小值2，所以的最大值是2．解决下述问题：（1）比较和的大小；（2）求的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）的最大值为2，最小值为．【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小；（2）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用当时，有最小值，有最下值0得到的最小值．【详解】解：（1），，而，，，；（2）由，，得，，∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2；当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为．【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．18．（2020·福建漳州市·龙海二中九年级月考）先阅读，再解答:由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：(1)的有理化因式是_______；(2)化去式子分母中的根号：_____．（直接写结果）(3)（填或）(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：【