专题28不等式（组）应用之几何问题

专题27不等式（组）应用之几何问题【例题讲解】如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动；动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动．若两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．（Ⅰ）直接写出三个点的坐标；（Ⅱ）设两点运动的时间为秒，用含的式子表示运动过程中三角形的面积；（Ⅲ）当三角形的面积的范围小于16时，求运动的时间的范围．【详解】解：（Ⅰ）轴，，，轴，，；（Ⅱ）∵点运动的路径长为，所用时间为7秒；点运动的路径长为，所用时间为秒，∴根据其中一点到达终点时运动停止可知，运动时间的取值范围为，点运动到点所用时间为4秒，点运动到点所用时间为，因此，分以下两种情况：①如图，当时，，则三角形的面积为；②当时，如图，过点作，交延长线于点，，，则三角形的面积为，，，综上，当时，三角形的面积为；当时，三角形的面积为；（Ⅲ）①当时，则，解得，则此时的取值范围为；②当时，则，解得，则此时的取值范围为，综上，当三角形的面积的范围小于16时，或．【综合解答】1．小明同学在计算一个多边形（每个内角小于）的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到的总和是，则少算了这个内角的度数为________．【答案】##度【分析】n边形的内角和是，少计算了一个内角，结果得，则内角和是与的差一定小于180度，并且大于0度．因而可以解方程，多边形的边数n一定是最小的整数值，从而求出多边形的边数，内角和，进而求出少计算的内角．【详解】解：设多边形的边数是n，依题意有，解得：，则多边形的边数n＝14；多边形的内角和是；则未计算的内角的大小为．故答案为．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，正确确定多边形的边数是解题的关键．2．在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b＝2a﹣b，已知不等式x△k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是_____．【答案】4【分析】根据新运算法则得到不等式2x﹣k≥2，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的值．【详解】解：根据图示知，已知不等式的解集是x≥﹣1．则2x﹣1≥﹣3∵x△k＝2x﹣k≥2，∴2x﹣1≥k+1且2x﹣1≥﹣3，∴k＝﹣4．故答案填：﹣4．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．3．将长为4，宽为（大于2且小于4）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪上一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，的值为___________．【答案】3或【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案．【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：∴当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：∴∵∴第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：；第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：解得：∴当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：解得：∴∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得：解得：∵∴符合题意；当剩下的正方形边长为：时，得：解得：∵∴符合题意；∴的值为：3或故答案为：3或．【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解．4．如图，长方形ABCD中，AB=4，AD=2．点Q与点P同时从点A出发，点Q以每秒1个单位的速度沿A→D→C→B的方向运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→B→C→D的方向运动，当P，Q两点相遇时，它们同时停止运动．设Q点运动的时间为（秒），在整个运动过程中，当△APQ为直角三角形时，则相应的的值或取值范围是_________．【答案】0＜≤或x=2．【分析】由题意可得当0＜x≤△AQM是直角三角形，当

＜x＜2时△AQM是锐角三角形，当x=2时，△AQM是直角三角形，当2＜x＜3时△AQM是钝角三角形．【详解】解：当点P在AB上时，点Q在AD上时，此时△APQ为直角三角形，则0＜x≤；当点P在BC上时，点Q在AD上时，此时△APQ为锐角三角形，则＜x＜2；当点P在C处，此时点Q在D处，此时△APQ为直角三角形，则x=2时；当点P在CD上时，点Q在DC上时，此时△APQ为钝角三角形，则2＜x＜3．故答案是：0＜x≤或x=2．【点睛】本题主要考查矩形的性质和列代数式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质，还要熟练掌握三角形形状的判断，此题难度一般．二、解答题(共0分)5．平面直角坐标系中，点A坐标为（2m－3，3m＋2）．(1)若点A在坐标轴上，求m的值：(2)若点A在第二象限内，求m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据点在x轴上纵坐标为0求解；（2）根据点在第二象限横坐标小于0，纵坐标大于0求解．(1)解：∵点A在x轴上，∴，解得：．(2)∵点A在第二象限内，，解得，．【点睛】此题考查了点与坐标的对应关系，坐标轴上的点的特征，各个象限的点的特征，掌握以上知识是解题的关键．6．如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为，宽为．(1)当时，求的值；(2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围．【答案】(1)10；(2)．【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=30代入所列式子中求出b的值；（2）由（1）可得a，b之间的关系式，用含有b的式子表示a，再结合，列出关于b的不等式组，解不等式组即可求出b的取值范围．（1）解：由题意，得，当时，．解得．（2）解：∵，∴，，∴解这个不等式组，得．答：矩形花园宽的取值范围为．【点睛】此题主要考查了列代数式及不等式组的应用，正确理解题意得出关系式及不等式组是解题关键．7．在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，且，满足方程为二元一次方程．（1）求，的坐标．（2）若点为轴正半轴上的一个动点．①如图1，当时，与的平分线交于点，求的度数；②如图2，连接，交轴于点．若成立．设动点的坐标为，求的取值范围．【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为；（2）①45°；②【分析】（1）根据可得，，，，即可求得a、c的值，坐标可求；2）①作PH∥AD，根据角平分线的定义、平行线的性质计算，得到答案；②连接AB，交y轴于F，根据点的坐标特征分别求出S△ABC、S△ABD，根据题意列出不等式，解不等式即可．【详解】解：（1）由题意得，，，，解得，，，则点的坐标为，点的坐标为；（2）①如图1，作，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵与的平分线交于点，∴，，∴，∵，，∴，，∴；②连接，交轴于，∵，∴，即，∵，，，∴，过作轴的平行线，作、垂直，交于点、，，，由题意得，，解得，，∵点为轴正半轴上的一个动点，∴．【点睛】本题考查的是二元一次方程的定义、平行线的性质、坐标与图形性质、三角形的面积计算，一元一次不等式，掌握平行线的性质、三角形面积公式是解题的关键．8．△ABC在平面直角坐标系内如图1摆放，A、C两点的横坐标都是5，BC∥x轴．已知B点坐标为(－3，m)，AB交y轴于点D，且AC＝BC．

(1)填空：BC＝_____；△ABC的面积为______；用m表示点A的坐标为______.(2)射线BO交直线AC于点Q，若△ABQ的面积为16，试求m的值(3)如图2，点D在y轴负半轴上，∠BAC的三等分线AP与∠BOD的角平分线OP交于点P，其中∠BAC＝3∠BAP＝45°．若∠P＞2∠B，试求∠BOD的取值范围.【答案】（1）8，32，(5,m+8)；（2）m=或m=（3）40°<∠BOD<45°.【分析】（1）根据A、C点横坐标为5，说明AC⊥x轴，根据与x轴，y轴平行的直线上点坐标特征确定点A坐标，再根据面积公式求解；（2）通过证明三角形相似，利用其性质表示出Q点的坐标，再根据面积公式列方程求解；（3）设∠BOP=∠POD=α，利用外角等于不相邻两个内角和及已知角的关系将∠P和∠B用α表示，根据题意列不等式求α的解集，再结合外角大于任何一个不相邻的内角确定∠BOD的范围.【详解】解：（1）∵A、C点横坐标为5，B点坐标为(－3，m),∴BC=5(3)=8,∵BC∥x轴,∴∠ACB=90°∵AC＝BC∴S△ABC=∵B(－3，m),BC=AC=8,∴A(5,m+8)；（2）如图，过B作BH⊥x轴，垂足为H,AC与x轴交于点G,∴∠BHO=∠QGO=90°,∠HOB=∠GOQ,∴△HOB∽△GOQ,∴,∴,∴QG=,∴Q的坐标为，∴AQ的长度为，∵△ABQ的面积为16,∴，解得：m=或m=.（3）如图，AP与y轴交于点N,点M在y轴上，∵OP是∠BOD的角平分线，∴∠BOP=∠POD，∵∠ACB=90°，AC=BC,∴∠BAC=∠ABC=45°,∵∠BAC＝3∠BAP＝45°∴∠BAP=15°,∠CAP=30°,∵OM∥AC,∴BDM=∠BAC=45°,∠PNM=∠PAC=30°,设∠BOP=∠POD=α,∵∠BDM=∠B+∠BOD,∴∠B=∠BDM∠BOD=45°2α,∵∠PNM=∠POM+∠P,∴∠P=∠PNM∠POM=30°α,∵∠P>2∠B,∴30°α>2(45°2α)解得，α>20°∴∠BOD>40°∵∠BDM>∠BOD,∴∠BOD<45°∴40°<∠BOD<45°.【点睛】本题考查平面直角坐标系坐标与图形，理解点坐标的意义，将坐标转化线段长是解答此类问题的关键；同时利用外角定理表示角之间的关系，也是解答此题的关键之处.9．如图，长方形AOCB的顶点A(m，n)和C(p，q)在坐标轴上，已知和都是方程的解，点B在第一象限内．（1）求点B的坐标（2）将线段AB沿着y轴负半轴方向向下平移6个单位长度到线段EF，点P从点O出发以每秒1个单位长度沿的路线做匀速运动，同时点Q也从点O出发以每秒2个单位长度沿的路线做匀速运动．当点Q运动到点C时，两动点均停止运动，设运动的时间为秒，四边形OPCQ的面积为S．①当时，求的值；②若时，求的取值范围．【答案】（1）B（2，3）；（2）①5；②或3＜t≤4.【分析】（1）根据坐标轴上的点得出m=q=0，再根据二元一次方程的解分别求出n和p，得到A和C的坐标，从而得到点B坐标；（2）①当t=2时，得到OP和OQ的坐标，再计算结果；②根据运动过程分当t≤3时，当3＜t≤4时，当4＜t≤5时和当t＞5时，四种情况分别求解.【详解】解：（1）∵A(m，n)和C(p，q)在坐标轴上，∴m=0，q=0，代入中，可得：n=3，p=2，∴A（0，3），C（2，0），∵点B在第一象限，∴B（2，3）；（2）①当t=2时，点P在OA边上，点Q在EF边上，OP=2，OQ=4，∴EQ=1∴S四边形OPCQ=S△POC+S△QOC=；②由运动过程可知：当t≤1.5时，点P在OA上，点Q在OE上，OP=t，OQ=2t，此时若要，则，解得：，∴此时t的取值范围是；当1.5＜t≤2.5时，点Q在EF上，点P在OA上，此时S四边形OPCQ=S△POC+S△QOC=，解得t＜2，∴此时t的取值范围是当2.5＜t≤3时，点Q在CF上，点P在OA上，此时S四边形OPCQ=S△POC+S△QOC=，解得，∴此种情况，不存在；当3＜t≤4时，点P在AB上，点Q在CF上，S四边形OPCQ=S△POC+S△QOC=解得：t＞，∴t的取值范围是：3＜t≤4，综上：当时，t的取值范围是：或3＜t≤4．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形、一元一次不等式、平移的性质、多边形的面积，本题综合性强，理解题意，弄清运动情形是解题的关键.10．如图，正方形ABCD的边长是2厘米，E为CD的中点，Q为正方形ABCD边上的一个动点，动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿运动，最终到达点D，若点Q运动时间为秒．（1）当时，平方厘米；当时，平方厘米；（2）在点Q的运动路线上，当点Q与点E相距的路程不超过厘米时，求的取值范围；（3）若的面积为平方厘米，直接写出值．【答案】（1）1；

（2）

（3）【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求解；（2）根据题意列出不等式组故可求解；（3）分Q点在AB上、BC上和CD上分别列出方程即可求解．【详解】（1）当时，=1平方厘米；当时，=平方厘米；故答案为；；（2）解：根据题意，得解得，故的取值范围为；（3）当Q点在AB上时，依题意可得解得；当Q点在BC上时，依题意可得解得＞6，不符合题意；当Q点在AB上时，依题意可得或解得或；∴值为．【点睛】此题主要考查不等式组与一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程或不等式组进行求解．11．如图，某农场准备用80米的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为x米，宽为y米．（1）当y＝22时，求x的值；（2）由于受场地条件的限制，y的取值范围为16≤y≤26，求x的取值范围．【答案】（1）x＝29；（2）27≤x≤32【分析】（1）由题意得2x+y＝80，再将y＝22代入即可求x；（2）由题意可得1