第03讲认识三角形之与三角形有关的角（内角和定理与外角和定理）

第03讲认识三角形之与三角形有关的角（内角和定理与外角和定理）1．学会证明三角形的内角和是180°，并运用三角形内角和定理去计算角的度数；2．理解三角形的外角概念，掌握三角形的外角和定理；3、掌握三角形的一个外角和等于与它不相邻的两个内角之和；知识点一、三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）两个角互余的三角形是直角三角形．（5）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．知识点二、三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．考点一：三角形内角和定理的证明例1．某班学生对三角形内角和为展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明的内角和为的是（

）A．过点A作 B．延长BC到点D，过点C作C．过点A作于点D D．过BC上一点D作，【答案】C【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．【详解】解：A、由，则，．由，得，故符合题意．B、由，则，．由，得，故符合题意．C、由于，则，无法证得三角形内角和是，故不符合题意．D、由，得，，则．由，得，，由，得，故符合题意，故选：C．【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平行线的性质是解决本题的关键．【变式训练】1．定理：三角形的内角和等于180°．已知：的三个内角为、、求证：．证法1：如图∵，，（量角器测量）∵（计算所得）∴（等量代换）证法2：如图，延长到，过点作．∴（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，同位角相等）∵（平角定义）．∴（等量代换）即．下列说法正确的是（

）A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理B．证法1还需要测量一百个进行验证，就能证明该定理C．证法2还需证明其它形状的三角形，该定理的证明过程才完整D．证法2用严谨的推理证明了该定理【答案】D【分析】利用理论与实践结合可以判断C与D，根据三角形的平行的性质与平角的定义可以判断C与D，【详解】解：A．证法1用量角器量三个内角和为180°，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明该定理缺少理论证明过程，故选项A不符合题意；B．证法1只要测量一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需要理论证明，故选项B不符合题意；C．证法2给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故C不符合题意；D．证法2给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查三角形内角和的证明问题，命题的正确性需要严谨推理证明．2．如图,将铅笔放置在三角形ABC的边AB上，笔尖方向为点A到点B的方向，把铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了_________．【答案】三角形内角和等于180°【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°解答．【详解】解：笔尖方向发生了由点B到点A的方向，∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数，∴旋转角度之和为∠A＋∠B＋∠C，∵笔尖方向变为点B到点A的方向，∴旋转角度之和为180°，∴这种变化说明三角形内角和等于180°．故答案为：三角形内角和等于180°．【点睛】本题考查了平角的性质，三角形的内角和定理，理解旋转度数之和与三角形的内角和的关系是解题的关键．3．通过学习第5章《几何证明初步》知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路．例如：在证明“三角形的内角和是180°”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明，如下：已知：∠A，∠B，∠C是的三个内角．求证：．证明：延长BC，过点C作．∴，．∵，∴．(1)小明的证明过程依据有哪些？（写两条即可）(2)请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程．【答案】(1)两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；平角的定义(2)见解析【分析】（1）过点C作，利用平行线的性质，可得出，，结合平角等于，即可证出；（2）过点A作直线，利用平行线的性质，可得出，结合平角等于，即可证出．【详解】（1）证明：延长BC，过点C作．∴(两直线平行，内错角相等)，(两直线平行，同位角相等)．∵(平角的定义)，∴；（2）证明：如图所示，过点A作直线，∴，∠4=∠C(两直线平行，内错角相等)．∵(平角的定义)，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，牢记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．考点二：三角形内角和定理的相关计算例2．如图，在中，，平分交于点，，交于点，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用平行线的性质求出∠ABD的度数，接着利用角平分线的定义求出∠ABC，再利用三角形的内角和求出∠A的度数．【详解】解：∵DEAB，∠BDE＝50°，∴∠ABD＝∠BDE＝50°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD＝100°，∴∠A＝180°−∠C−∠ABC＝180°−30°−100°＝50°．故选：B．【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．【变式训练】1．如图，是的外角，平分，若，，则（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据外角的性质求出，再根据角平分线的定义即可求解．【详解】解：∵是的外角，，，∴，∵平分，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．2．如图，中，，将沿翻折后，点A落在边上的点处．如果，那么的度数为____．【答案】/度【分析】根据折叠性质，，根据三角形内角和定理，得到，根据平角计算即可．【详解】根据折叠性质，得，，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平角，熟练掌握折叠的性质，三角形内角和定理是解题的关键．3．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．(1)如图，一束光线m射到平面镜上，被反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且，则_________，________．(2)在（1）中，若，则_______；若，则________；(3)由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜、的夹角________时，可以使任何射到平面镜上的光线m，经过平面镜、的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．请说明理由．【答案】(1)，(2)，(3)，理由见解析【分析】（1）根据入射角与反射角相等，可得，．根据邻补角的定义可得，根据，所以，，根据三角形内角和为，即可求出答案；（2）结合题（1）可得的度数都是；（3）证明，由，证得与互补即可．【详解】（1）解：入射角与反射角相等，即，，根据邻补角的定义可得，根据，∴，∴，根据三角形内角和为，∴；故答案为：，．（2）由（1）可得，当时的度数是．同理，当时，，根据，∴，∴，根据三角形内角和为，∴；故答案为：，．（3），理由：因为，所以，又由题意知，，所以，，，．由同旁内角互补，两直线平行，可知：．故答案为：．【点睛】本题是数学知识与物理知识的有机结合，充分体现了各学科之间的渗透性．考点三：直角三角形两个锐角互余的计算例3．如图，含有角的直角三角板的两个顶点、放在一个长方形的对边上，点为直角顶点，，延长交于点，如果，那么的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直角三角形两锐角互余得到∠1=25°，根据平角的定义得到∠AEF=90°∠1=65°，根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：∵∠D=90°，∠3=65°，∴∠1=25°，∵∠FEG=90°，∴∠AEF=90°∠1=65°，∵ADBC，∴∠2=180°∠AEF=115°，故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余和平行线的性质，关键是得出∠AEF与∠2互补．【变式训练】1．一块直角三角板放置在上，三角板的两条直角边，恰好分别经过点，，已知，则的度数是（

）A．50° B．40° C．45° D．44°【答案】B【分析】在和中分别使用三角形内角和定理，即可得出答案．【详解】∵，∴，∵，∴．∵，∴，∵，∴．故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练使用三角形内角和定理进行导角是解本题的关键．2．如图，在中，，若，，则的度数是______【答案】【分析】由题意易得∠DBA+∠EAB=180°，∠CBA+∠CAB=90°，进而问题可求解．【详解】解：∵BD∥AE，∴∠DBA+∠EAB=180°，∵∠C=90°，∴∠CBA+∠CAB=90°，∵∠EAB=∠CAE+∠CAB，∠DBA=∠DBC+∠CBA，，∴∠CAE=180°90°20°=70°；故答案为：70°．【点睛】本题主要考查平行线的性质及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握平行线的性质及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．3．如图，点A在MN上，点B在PQ上，连接AB，过点A作交PQ于点C，过点B作BD平分∠ABC交AC于点D，且．(1)求证：；(2)若，求∠ADB的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据，利用三角形内角和．根据，得出，根据平行线判定定理即可得出结论；（2）根据，得出方程，解方程求出，根据BD平分，求出，再根据余角性质求解即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∴．∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴∵BD平分，∴，∵，∴．【点睛】本题考查平行线判定，三角形内角和，等角的余角性质，一元一次方程，角平分线定义，掌握平行线判定，三角形内角和，等角的余角性质，一元一次方程，角平分线定义是解题关键．考点四：三角形外角的定义与性质例4．如图，点在的边的延长线上，，若，，则的度数为（

）

A．15° B．20° C．30° D．50°【答案】B【分析】由平行线的性质可得，再由三角形外角的性质即可求得结果．【详解】解：∵，∴．在中，∵，∴．故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，掌握平行线的性质是关键．【变式训练】1．某学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．某同学“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，若将图1抽象成图2的数学问题：，，，则的大小是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】延长，交于点，利用同位角求出的度数，再利用“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”求．【详解】解：延长，交于点，如图．

，，在中，，．故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．2．如图，、的角平分线交于点，若，，则____．

【答案】/度【分析】延长交于点，根据角平分线的定义，得，，根据三角形的外角和，得，，根据等量代换，；根据，，根据等量代换，得，联立，即可求出．【详解】延长交于点，∵、的角平分线交于点，∴，，∵，，∴，∵，，∴，由得，，解得：，故答案为：．

【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形的外角和，解题的关键是掌握角平分线的定义，三角形的外角和．3．探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．

(1)解：∵，．∴．∵________，∴________，∴________．(2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求，，，，的和．(3)应用：如图③．小明将图②中的点落在上，点落在上，若，则________．【答案】(1)，，(2)(3)【分析】（1）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；（2）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；（3）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；【详解】（1），．．，，；（2），．．，；（3）．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质，掌握三角形内角和等于和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．考点五：三角形外角和定理的计算例5．如图，C是内一点，连接，的平分线与的平分线交于点E，延长交于点F．已知，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】首先延长交于F，由三角形外角的性质，可得，又由角平分线的性质，即可求得答案．【详解】解：如图，延长交于F，

∵，∴，∵平分，平分，∴，，∵，∴，∵，即．故选：A．【点睛】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义，掌握角平分线的定义和等量代换是解决问题的关键．【变式训练】1．已知直线，将一块含30°角的直角三角板按如图方式放置（），若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对顶角相等，三角形的外角性质得到，再根据平行线的性质即可求解.【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，故选：B.【点睛】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2．如图，在中，，平分的外角，射线将分成两部分．若交于点G，则_________．【答案】或【分析】先根据三角形外角的性质得到，再由角平分线的定义得到，再分当靠近时，当靠近时，两种情况利用三角形外角的性质求解即可．【详解】解：∵，∴，∵平分，∴；如图1所示，当靠近时，∵射线将分成两部分，∴，∴；同理如图2所示，当靠近时，；综上所述，的度数为或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．3．如图①，在中，与的平分线相交于点．(1)如果，求的度数；(2)如图②，作外角，的角平分线交于点，试探索、之间的数量关系．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】（1）先根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义得到，由此利用三角形内角和定理求出答案即可；（2）先根据三角形外角的性质和角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理得到，则．【详解】（1）解：∵，∴，∵与的平分线相交于点，∴，∴，∴；（2）解：，理由如下：∵，的角平分线交于点，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．考点六：三角形内角和与外角和定理的综合应用例6．如图，分别将三角板与的一边与放置在直线l上，边与所在直线重合．现将三角板绕点A逆时针旋转，三角板绕点A顺时针旋转．当与第一次重合时，三角板停止运动．在旋转过程中，下列说法不正确的是（

）A．当与垂直时， B．当与平行时，C．当与垂直时， D．当与平行时，【答案】B【分析】画出各选项对应的图形，然后根据平行线的性质，三角形内角和定理进行求解判断即可．【详解】解：当与垂直时，如图1，由题意知，∴，∴，∴A正确，故不符合要求；当与平行时，如图2，过作，则，∴，，∴，∴B错误，故符合要求；当与垂直时，如图3，∴，∴，∴C正确，故不符合要求；当与平行时，如图4，∴，∴D正确，故不符合要求；故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于正确的作图求解．【变式训练】1．如图，在中，，点在边上（如图1），先将沿着翻折，使点落在点处，交于点（如图2），再将沿着翻折，点恰好落在上的点处，此时（如图3），则的度数为（

）A．66° B．23° C．46° D．69°【答案】D【分析】根据翻折后对应角相等得到，利用已知条件和三角形的内角和等于，建立等量关系可求的度数．【详解】解：由题意可得，，设，则，三角形的内角和等于，在中，，即；在中，，即；，解得：，故选：D．【点睛】本题考查翻折后对应角相等，利用三角形的内角和等于，设未知数并建立等量关系是解题的关键，本题的难点是是两个三角形的公共角，由此列方程求解．2．下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中______°．

【答案】10【分析】连接，在中，求出，然后再中，求出，即可求解．【详解】解：连接，如图所示，

∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：10．【点睛】本题考查了三角形内角和的度数以及对顶角相等，灵活运用所学知识是解题关键．3．如图甲所示，已知点在直线上，点，在直线上，且，平分．(1)判断直线与直线是否平行，并说明理由．(2)如图乙所示，是上点右侧一动点，的平分线交的延长线于点，若，，求的值．设，，点在运动过程中，写出和的数量关系并说明理由．【答案】(1)平行，理由见解析；(2)①；②，理由见解析．【分析】（1）根据角平分线的定义，得到，进而得到，即可推出；（2）①根据平行的性质和角平分线的定义，推出，再根据三角形内角和定理，得到，最后利用三角形外角的性质，即可求出的度数；②根据三角形外角的性质，得到，，再根据角平分线的性质，得出，，据此求出和的关系，即可得到答案．【详解】（1）解：，理由如下：平分，，又，，；（2）解：①，，，平分，，，，，，；②是的外角，是的外角，，，又平分，平分，，，，设，，．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解决问题的关键是利用三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．1．（2022·山东德州·统考中考真题）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行线的性质可得的度数，再根据三角形内角和定理可得的度数．【详解】解：∵含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，如图所示：∴，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键．2．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）如图，直线l1//l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，过点A作AC⊥l2，垂足为C，若∠1＝52°，则∠2的度数是（

）A．32° B．38° C．48° D．52°【答案】B【分析】根据平行线的性质求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出即可．【详解】解：∵直线l1∥l2，∠1＝52°，∴∠ABC＝∠1＝52°，∵AC⊥l2，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣52°﹣90°＝38°，故选：B．【点睛】本题考查了对平行线的性质和三角形内角和定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．3．（2022·河北·统考中考真题）要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（

）A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行【答案】C【分析】用夹角可以划出来的两条线，证明方案Ⅰ和Ⅱ的结果是否等于夹角，即可判断正误【详解】方案Ⅰ：如下图，即为所要测量的角∵∴∴故方案Ⅰ可行方案Ⅱ：如下图，即为所要测量的角在中：则：故方案Ⅱ可行故选：C【点睛】本题考查平行线的性质和判定，三角形的内角和；本题的突破点是用可画出夹角的情况进行证明4．（2021·广西梧州·统考中考真题）在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于（）A．32° B．36° C．40° D．128°【答案】A【分析】直接根据三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵，且∠A＝20°，∠B＝4∠C，∴∴∴∠C=32°故选：A．【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理的应用以及解一元一次方程，运用方程思想解答此类试题是常用的思想方法．5．（2021·湖北宜昌·统考中考真题）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设AB与EF交于点M，根据，得到，再根据三角形的内角和定理求出结果．【详解】解：设AB与EF交于点M，∵，∴，∵，，∴，∴,∵,∴=，故选：A．．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记平行线的性质并应用是解题的关键．6．（2021·陕西·统考中考真题）如图，点D、E分别在线段、上，连接、．若，，，则的大小为（

）A．60° B．70° C．75° D．85°【答案】B【分析】由题意易得，然后根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】解：∵，，∴在△BEC中，由三角形内角和可得，∵，∴；故选B．【点睛】本题主要考查三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形内角和及外角的性质是解题的关键．7．（2020·四川·统考中考真题）如图所示，直线EFGH，射线AC分别交直线EF、GH于点B和点C，AD⊥EF于点D，如果∠A＝20°，则∠ACG＝（）A．160° B．110° C．100° D．70°【答案】B【分析】利用三角形的内角和定理，由AD⊥EF，∠A＝20°可得∠ABD＝70°，由平行线的性质定理可得∠ACH，易得∠ACG．【详解】解：∵AD⊥EF，∠A＝20°，∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣20°﹣90°＝70°，∵EF∥GH，∴∠ACH＝∠ABD＝70°，∴∠ACG＝180°﹣∠ACH＝180°﹣70°＝110°，故选：B．【点睛】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，关键是根据平行线的性质得到角的关系，然后利用三角形内角和进行求解即可．8．（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图，在和中，，，，AC与DE相交于点F．若，则的度数为_____．【答案】105°#105度【分析】在中，利用已知求得，再利用平行线的性质求得，然后在中利用三角形的内角和定理求得，最后在中，利用三角形的内角和定理即可求得．【详解】解：在中，，，∴；∵，∴，在中，，，∴，∴在中，．故答案为：【点睛】本题看考查了三角形的内角和定理，熟练运用三角形的内角和定理是解题的关键．9．（2022·四川绵阳·统考中考真题）两个三角形如图摆放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE与AC交于M，若，则∠DMC的大小为_________．【答案】110°/110度【分析】延长ED交BC于点G，利用三角形内角和定理求出∠C＝30°，∠E＝40°，再利用平行的性质求出∠EGC＝∠E=40°，再利用三角形内角和即可求出∠DMC＝110°．【详解】解：延长ED交BC于点G，∵∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，∴∠C＝30°，∠E＝40°，∵，∴∠EGC＝∠E=40°，∴∠DMC＝180°∠EGC∠C=110°．故答案为：110°【点睛】本题考查三角形内角和定理以及平行线的性质，解题的关键是求出∠C＝30°，∠E＝40°，证明∠EGC＝∠E=40°．10．（2022·江苏扬州·统考中考真题）将一副直角三角板如图放置，已知，，，则________°．【答案】105【分析】根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．【详解】，，，∵∠E=60°，∴∠F=30°，故答案为：105【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．11．（2022·江苏镇江·统考中考真题）一副三角板如图放置，，，，则_________．【答案】105【分析】根据平行性的性质可得，根据三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：如图，∵，∴，，，，，故答案为：105．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．12．（2020·湖南永州·中考真题）已知直线，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若，则_________．【答案】35°【分析】如图，标注字母，延长交于，利用平行线的性质证明，三角形的外角的性质证明，从而可得答案．【详解】解：如图，标注字母，延长交于，由题意得：故答案为：【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．13．（2020·湖南张家界·中考真题）如图，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点E处，则的度数是_______度．【答案】76°【分析】根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，在根据三角形外角性质即可求解．【详解】解：∵DC∥OB，∴∠ADC=∠AOB=38°，由光线的反射定理易得，∠ODE=∠ACD=38°，∠DEB=∠ODE+∠AOB=38°+38°=76°，故答案为：76°．【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反射角是解题的关键．14．（2020·江苏泰州·统考中考真题）如图，将分别含有、角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中角的度数为_______．【答案】/140度

【分析】如图，首先标注字母，利用三角形的内角和求解，再利用对顶角的相等，三角形的外角的性质可得答案．【详解】解：如图，标注字母，由题意得：故答案为：【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．15．（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度．【答案】减少10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°110°=70°，∴∠DCE=70°，如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．1．定理：三角形的内角和是180°．已知：、、是的三个内角．求证：．有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（

）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③【答案】C【分析】根据平行线的性质得出，，即可推出结论．【详解】解：证明：如图，作点E作直线，使得，∴（两直线平行，内错角相等），∴，∴．①*表示两直线平行，内错角相等；故①不正确，不符合题意；②@表示，故②正确，符合题意；③④上述证明得到的结论，在任何三角形均适用；故③不正确，不符合题意；④正确，符合题意；综上：正确的有②④，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．2．如图，在中，，过点作．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行线的性质可求得出的度数，然后在中利用三角形内角和定理即可求出的度数．【详解】解：∵，，∴，∵在中，，，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点．牢记三角形内角和是是解题的关键．3．如图，在中，点在的延长线上，点在上，且，，，则的度数为()A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平行线的性质可以求得的度数，然后即可得到的度数，再根据三角形内角和，即可求得的度数．【详解】解：，，，，，，故选：A．【点睛】本题考查平行线的性质、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．如图，一个含有角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行线的性质，直角三角形的性质即可求解．【详解】解：如图所示，

在直尺中，，，∴，在中，，故选：．【点睛】本题主要考查平行形与直角三角形的综合，掌握平行线的性质，直角三角形的性质是解题的关键．5．两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点P，则的大小为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由直角三角形的性质求出，从而得出，然后由三角形外角性质得出结果．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴．故选：D．【点睛】本题考查三角形外角的性质，直角三角形的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．6．如图，已知直线，则(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】由可以推出，又因为，所以，就可以求出．【详解】，，，．故选：C．【点睛】考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键．7．如图，把纸片沿折叠，使点A落在图中的处，若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用折叠性质得，，再根据三角形外角性质得，利用邻补角得到，则，然后利用，进行计算即可．【详解】解：，，纸片沿折叠，使点A落在图中的处，°，，，，，，故选：A．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，求一个角的邻补角，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．8．如图，在中，，点在边上（如图1），先将沿着翻折，使点落在点处，交于点（如图2），再将沿着翻折，点恰好落在上的点处，此时（如图3），则的度数为（

）A．66° B．23° C．46° D．69°【答案】D【分析】根据翻折后对应角相等得到，利用已知条件和三角形的内角和等于，建立等量关系可求的度数．【详解】解：由题意可得，，设，则，三角形的内角和等于，在中，，即；在中，，即；，解得：，故选：D．【点睛】本题考查翻折后对应角相等，利用三角形的内角和等于，设未知数并建立等量关系是解题的关键，本题的难点是是两个三角形的公共角，由此列方程求解．9．如图，，，，则________．【答案】【分析】根据三角形的内角和等于，得出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可得出的度数．【详解】解：∵，又∵，，∴，解得：，∵，∴．故答案为：【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．10．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则____．【答案】/度【分析】先根据角平分线的定义和三角形内角和定理求出，进而求出，由折叠的性质可得，再根据平角的定义得到，则．【详解】解：∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴，∴，由折叠的性质可得，∵，∴，∴．故答案为80°．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．11．如图甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为(如图乙)．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为(如图丙)，则的大小为______°．【答案】72【分析】设，根据翻折不变性可知，，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题．【详解】解：设，根据翻折不变性可知，，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换、三角形的内角和定理，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．12．将一副直角三角板按如图所示位置摆放，点在直角边上，点在直角边上，若，则________．

【答案】/155度【分析】先根据与互补，求出，根据求出，再根据三角形的内角和定理求得，进而求得，从而根据与互补，求出．【详解】解：，，，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查角的和与差，三角形的内角和定理，利用角的关系进行转化求解是解题的关键．13．如图，中，是的平分线，中，是边上的高，又有，则的度数为______．【答案】/45度【分析】设∠A=x，则∠EDA=∠CDB=5x，构建方程求出x，再求出∠CDE，∠DCE，∠BCA即可解决问题．【详解】解：设∠A=x，则∠EDA=∠CDB=5x，∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°，∴6x=90°，∴∠A=x=15°，∠EDA=∠CDB=75°，∴∠CDE=180°75°75°=30°，∵是的平分线，∴∠BCD=∠DCE=60°，∴∠ACB=120°，∴∠B=180°120°15°=45°．故答案为45°．【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会设未知数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．14．如图，在中，平分，，分别交，，，的延长线于E，H，F，G，已知下列三个式子：①；②；③．其中正确的是________．（填序号）

【答案】【分析】由平分，，根据三角形的内角和定理得，而，即可求得；再根据三角形外角性质得，得到，由此得到正确答案．【详解】解：如图：

平分，，，，，，；又，；故正确，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握和运用基本图形的性质是解决本题的关键．15．在中，，，，求的度数．

【答案】【分析】根据三角形的外角定理得出，再根据即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了三角形的外角定理，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．16．如图，在中，是的角平分线，，．求和的度数．【答案】【分析】利用三角形外角性质求出，根据角平分