专题04相似遇到二次函数(原卷版+解析)

专题04相似遇到二次函数知识回放知识回放类型一：如图，P是直线BC下方抛物线上一点，连接OP交直线BC于E，求的最大值．解法提示：过P作PQ∥y轴交BC于Q，则，而OC为定值，所以，的最大值就转化为求PQ的最大值问题，利用坐标法求解最值即可．类型二：如图，P是直线BC下方抛物线上一点，连接AP交直线BC于E，求的最大值．解法提示：过P作PQ∥y轴交BC于Q，过A作AF∥y轴交BC于F，则，而AF为定值，所以，的最大值就转化为求PQ的最大值问题，利用坐标法求解最值即可．类型三：直角三角形存在性或相似（直角）三角形存在性如图，P是抛物线上一点，连接PB，PC，当△PBC为直角三角形时，求P点坐标．解法提示：构造一线三直角此题需要分类讨论，就一种情况进行说明，即当∠PCB=90°时，如图，过C作x轴平行线，再分别过P、B作该平行线的垂线，垂足为M，N则△PMC∽△CNB，利用相似三角形对应边成比例，可得：，再利用坐标法得方程求解即可．真题解析真题解析典例1（2022•湖北黄石中考真题）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．(1)A，B，C三点的坐标为____________，____________，____________；(2)连接，交线段于点D，①当与x轴平行时，求的值；②当与x轴不平行时，求的最大值典例2（2022•浙江湖州中考真题）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．(1)①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．(2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．

典例3（2022•湖南衡阳中考真题）如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点．(1)写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式；(2)若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值；(3)为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

真题演练真题演练1.（2022•辽宁抚顺中考真题）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，点D为x轴上方抛物线上的动点，射线交直线于点E，将射线绕点O逆时针旋转得到射线，交直线于点F，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)当点D在第二象限且时，求点D的坐标；(3)当为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．2.（2022•广西贵港中考真题）如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D．(1)求该抛物线的表达式；(2)若轴交于点E，求的最大值；(3)若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．

3.（2022•福建中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；(3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由专题04相似遇到二次函数知识回放知识回放类型一：如图，P是直线BC下方抛物线上一点，连接OP交直线BC于E，求的最大值．解法提示：过P作PQ∥y轴交BC于Q，则，而OC为定值，所以，的最大值就转化为求PQ的最大值问题，利用坐标法求解最值即可．类型二：如图，P是直线BC下方抛物线上一点，连接AP交直线BC于E，求的最大值．解法提示：过P作PQ∥y轴交BC于Q，过A作AF∥y轴交BC于F，则，而AF为定值，所以，的最大值就转化为求PQ的最大值问题，利用坐标法求解最值即可．类型三：直角三角形存在性或相似（直角）三角形存在性如图，P是抛物线上一点，连接PB，PC，当△PBC为直角三角形时，求P点坐标．解法提示：构造一线三直角此题需要分类讨论，就一种情况进行说明，即当∠PCB=90°时，如图，过C作x轴平行线，再分别过P、B作该平行线的垂线，垂足为M，N则△PMC∽△CNB，利用相似三角形对应边成比例，可得：，再利用坐标法得方程求解即可．真题解析真题解析典例1（2022•湖北黄石中考真题）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．(1)A，B，C三点的坐标为____________，____________，____________；(2)连接，交线段于点D，①当与x轴平行时，求的值；②当与x轴不平行时，求的最大值；【答案】(1);;；(2)①；②；(3)存在点P，【解析】（1）解：令x=0，则y=4，∴C(0，4)；令y=0，则=0，∴x=-2或x=3，∴A(-2，0)，B(3，0)．故答案为：(-2，0)；(3，0)；(0，4)．（2）解：①∵轴，，∴，，又∵轴，∴△CPD∽△BAD∴；②过P作交于点Q，设直线BC的解析式为，把B(3，0)，C(0，4)代入，得，解得，∴直线的解析式为，设，则，∴，∵，∴△QPD∽△BAD∴，∴当时，取最大值；（3）解：假设存在点P使得，即，过C作轴，连接CP，延长交x轴于点M，∴∠FCP=∠BMC，∵，∴平分，∴∠BCP=∠FCP，∴∠BCP=∠BMC，∴BC=BM，∴为等腰三角形，∵，∴，，，设直线CM解析式为y=kx+b，把C(0，4)，代入，得，解得：，∴直线CM的解析式为，联立，解得或(舍)，∴存在点P满足题意，即．典例2（2022•浙江湖州中考真题）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．(1)①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．(2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．【答案】(1)①A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)、②；(2)（0≤m≤3）；．【解析】（1）解：①∵正方形OABC的边长为3，∴点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；②把点A(3，0)，C(0，3)的坐标分别代入y=−x2+bx+c，得，解得；（2）解：由题意，得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°，∴Rt△ABP∽Rt△PCM，∴，即．整理，得，即（0≤m≤3）．∴当时，n的值最大，最大值是．典例3（2022•湖南衡阳中考真题）如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点．(1)写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式；(2)若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值；(3)为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)或；(3)存在，或或．【解析】（1）解：由翻折可知：.令，解得：，，∴，，设图象的解析式为，代入，解得，∴函数关系式为=．（2）解：联立方程组，整理，得：，由△=4-4（b-2）=0得：b=3，此时方程有两个相等的实数根，由图象可知，当b=2或b=3时，直线与图象W有三个交点；（3）解：存在．如图，当时，，此时，N与C关于直线x=对称，∴点N的横坐标为1，∴；如图，当时，，此时，N点纵坐标为2，由，解得，（舍），∴N的横坐标为，所以；如图，当时，，此时，直线的解析式为，联立方程组：，解得，（舍），∴N的横坐标为，所以，因此，综上所述：点坐标为或或．真题演练真题演练1.（2022•辽宁抚顺中考真题）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，点D为x轴上方抛物线上的动点，射线交直线于点E，将射线绕点O逆时针旋转得到射线，交直线于点F，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)当点D在第二象限且时，求点D的坐标；(3)当为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【答案】(1)；(2)或；(3)或或或【解析】（1）解：将代入得：，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：过点D作于点G，交AC于点H，设过点的直线的解析式为，则，解得，∴直线AC的解析式为，设，则．∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴解得或将分别代入得∴或；（3）解：如图所示，①当点D与点C重合时，∵点A（-4，0），点C（0，4），∴OA=OC=4，∴∠OCA=∠OAC=45°，②当点C与点D重合时，∵OP是OD逆时针旋转45°得到的，∴∠POD=45°，即∠FOC=45°，∴∠AOF=∠FOC=45°，又∵OA=OC，∴OF⊥AC，即∠OFC=90°，∴△OFC是直角三角形，∴此时点D的坐标为（0，4）；如图所示，当∠DFO=90°时，连接CD，由旋转的性质可得∠DOF=45°，∴△DOF是等腰直角三角形，∴OF=OD，∠FDO=∠FCO=45°，∴C、D、F、O四点共圆，∴∠FCD=∠FOD=45°，∴∠OCD=∠FCD+∠FCO=90°，∴CD⊥OC，∴点D的纵坐标为4，∴当y=4时，，解得或（舍去），∴点D的坐标为（-3，4）；③如图所示，当∠ODF=90°时，过点D作DH⊥y轴于H，过点F作FG⊥DH交HD延长线于G，同理可证△DOF是等腰直角三角形，∴OD=DF，∵FG⊥DH，DH⊥y轴，∴∠FGD=∠DHO=90°，∴∠GDF+∠GFD=90°，又∵∠GDF+∠HDO=90°，∴∠GFD=∠HDO，∴△GDF≌△HOD（AAS），∴GD=OH，GF=DH，设点D的坐标为（m，），∴，∴，∴点F的坐标为（，），∵点F在直线AC：上，∴，∴，解得，∴点D的坐标为或；综上所述，点D的坐标为（-3，4）或（0，4）或或．2.（2022•广西贵港中考真题）如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D．(1)求该抛物线的表达式；(2)若轴交于点E，求的最大值；(3)若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．【答案】(1)(2)最大值为(3)或，【解析】（1）解：∵抛物线经过和两点，∴解得：，，∴抛物线的表达式为．（2）解：∵，∴直线表达式为，∵直线与x轴交于点C，∴点C的坐标为，∴，∴，∴，则，设点P的坐标为，其中，则点D的坐标为，∵，∴，∵，∴当时，有最大值，且最大值为．（3）解：根据题意，在一次函数中，令，则，∴点C的坐标为（2，0）；①当∽时，如图此时点D与点C重合，∴点D的坐标为（2，0）；∵轴，∴点P的横坐标为2，∴点P的纵坐标为：，∴点P的坐标为（2，3）；②当∽时，如图，则，设点，则点，∴，∵，∴，，∴，∴，∴点D的坐标为，点P的坐标为；∴满足条件的点P，点D的坐标为或，．3.（2022•福建中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；(3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)存在，或（3，4）；(3)存在，【解析】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，得，解得．所以