专题10正方形（考点剖析）-2018-2019学年浙江省八年级数学下学期期末必考点复习（浙教版）

专题10正方形【考点剖析】正方形：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.1、正方形的性质正方形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有矩形和菱形的所有性质，如下：①正方形的对边平行且相等；②正方形的四条边都相等；③正方形的四个角都是直角；④正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；⑤对称性：正方形是一个轴对称图形，它有四条对称轴.（对称轴是它对边中点的连线和它的两条对角线）2、正方形的判定正方形的判定方法：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形.正方形的性质【典例】例1．如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为边AB、BC、AD上的中点，连接AF、DE交于点M，连接GM、CG，CG与DE交于点N，则结论①GM⊥CM；②CD＝DM；③四边形AGCF是平行四边形；④∠CMD＝∠AGM中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：∵AG∥FC且AG＝FC，∴四边形AGCF为平行四边形，故③正确；∴∠GAF＝∠FCG＝∠DGC，∠AMN＝∠GND在△ADE和△BAF中，∵AE=BF∠DAE=∠ABF∴△ADE≌△BAF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，∵∠ADE+∠AEM＝90°∴∠EAM+∠AEM＝90°∴∠AME＝90°∴∠GND＝90°∴∠DE⊥AF，DE⊥CG．∵G点为AD中点，∴GN为△ADM的中位线，即CG为DM的垂直平分线，∴GM＝GD，CD＝CM，故②错误；在△GDC和△GMC中，∵DG=MGCD=CM∴△GDC≌△GMC（SSS），∴∠CDG＝∠CMG＝90°，∠MGC＝∠DGC，∴GM⊥CM，故①正确；∵∠CDG＝∠CMG＝90°，∴G、D、C、M四点共圆，∴∠AGM＝∠DCM，∵CD＝CM，∴∠CMD＝∠CDM，在Rt△AMD中，∠AMD＝90°，∴DM＜AD，∴DM＜CD，∴∠DMC≠∠DCM，∴∠CMD≠∠AGM，故④错误．故选：B．【点睛】要证以上问题，需证CN是DN是垂直平分线，即证N点是DM中点，利用中位线定理即可，利用反证法证明④不成立即可．本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用及平行四边形的性质的运用．在解答中灵活运用正方形的中点问题解决问题，灵活运用了几何图形知识解决问题．例2．如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝10cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在边AB上，且AE＝4cm，如果点P在线段BC上以2cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．设运动时间为t秒．（1）若点Q与点P的运动速度相等，经过2秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点Q与点P的运动速度不相等，则当t为何值时，△BPE与△CQP全等？此时点Q的运动速度为多少？【答案】见解析【解析】解：（1）全等．理由：由题意：BP＝CQ＝2t，当t＝2时，BP＝CQ＝4，∵AB＝BC＝10，AE＝4，∴BE＝CP＝10﹣4＝6，∵BP＝CQ，∠B＝∠C＝90°，BE＝CP，∴△BPE≌△CQP（SAS）．（2）∵P、Q运动速度不相等，∴BP≠CQ∵∠B＝∠C＝90°∴当BP＝CP，CQ＝BE时，△BPE≌△CQP，∴BP＝CP=1∴当t＝5÷2=52（秒）时，△BPE此时点Q的运动速度为6÷5【点睛】（1）由题意可得BP＝CQ，BE＝CP，由“SAS”可证△BPE≌△CQP；（2）由全等三角形的性质可得BP＝CP＝5，BE＝CQ＝6，即可求点Q的速度．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质解决问题是本题的关键．例3．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．【答案】见解析【解析】解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四边形ANEM是矩形，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形．（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE，∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝AC=2AD＝42（3）如图，作EH⊥DF于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，∵F是AB中点，∴AF＝FB2∴DF=22+∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，∴DH＝HF，∴EH=12DF∵AF∥CD，∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，∴FM=2∴HM＝HF﹣FM=5在Rt△EHM中，EM=H【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．【巩固练习】1．小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有同一性质是（）A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．平分一组对角【答案】C【解析】解：因为平行四边形的对角线互相平分、正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分．故选：C．2．如图，在边长为4的正方形ABCD内取一点E，使得BE＝CE，连接ED、BD．BD与CE相交于点O，若∠EOD＝75°，则△BED的面积为（）A．342 B．43-4 C．3【答案】B【解析】解：如图所示：过点E作EF⊥BC，垂足为F，作EG⊥DC，垂足为G．∵∠EOD＝75°，∠ECD+∠ODC＝∠EOD，∴∠ECD＝30°．∴∠ECB＝60°．又∵BE＝CE，∴△BCE为等边三角形．∴EC＝BC＝4．∴EF=3FC＝23∵在Rt△EGC中，∠ECG＝30°，∴EG=1∴S四边形BDEC=12CB•EF+12DC•EG=1又∵S△BCD=1∴△BED的面积＝（43+4）﹣8＝43故选：B．3．如下图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，且CE＝AC，连接AE，则∠E＝____________度．【答案】22.5【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠CAD＝45°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠E∵CE＝AC，∴∠CAE＝∠E∴∠E=12故答案为22.5．4．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去第n个正方形的边长为______．【答案】（2）n﹣1【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°，∴AC2＝12+12，AC=同理可得：AE＝（2）2，AG＝（2）3…，∴第n个正方形的边长an＝（2）n﹣1．故答案为（2）n﹣1．5．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点O是AD上一个定点，AO＝5，点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度，按照A→B→C→D的方向，在正方形的边上运动，设运动的时间为t（秒），当t的值为______________________时，△AOP是等腰三角形．【答案】5或10.5或20【解析】解：∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC＝CD＝AD＝8，∠D＝90°∵AO＝5，∴OD＝3若AP＝AO＝5，即t=若AP＝OP，即点P在AO的垂直平分线上，∴点P在BC上，且BP＝2.5∴t=若AO＝OP＝5，即点P在CD上，∴PD=OP∴t=故答案为：5或10.5或20正方形的判定【典例】例1．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了五组条件：①AB＝AD，且AC＝BD；②AB⊥AD，且AC⊥BD；③AB⊥AD，且AB＝AD；④AB＝BD，且AB⊥BD；⑤OB＝OC，且OB⊥OC．其中正确的是____________________（填写序号）．【答案】①②③⑤【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形，①正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥AD，∴四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形，②正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥AD，∴四边形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形，③正确；④AB＝BD，且AB⊥BD，无法得出四边形ABCD是正方形，故④错误；∵四边形ABCD是平行四边形，OB＝OC，∴四边形ABCD是矩形，又∵OB⊥OC，∴四边形ABCD是正方形，⑤正确；故答案为：①②③⑤．【点睛】由矩形、菱形、正方形的判定方法对各个选项进行判断即可．本题考查了矩形、菱形、正方形的判定；熟记判定是解决问题的关键．例2．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=22，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥①求证：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】见解析【解析】①证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，∠DNE=∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，②解：CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，AD=CD∠ADE=∠CDG∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE=2AB=2×∴CE+CG＝4是定值．【点睛】（1）作出辅助线，得到EN＝EM，然后判断∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF即可；（2）同（1）的方法证出△ADE≌△CDG得到CG＝AE，得出CE+CG＝CE+AE＝AC＝4即可．此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等．【巩固练习】1．在四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，能判定这个四边形为正方形的是（）A．AD∥BC，∠B＝∠D B．AC＝BD，AB＝CD，AD＝BC C．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC D．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD【答案】D【解析】解：因为对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形，故选D．2．如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形【答案】D【解析】解：A、因为DE∥CA，DF∥BA，所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．B、如果AD＝EF，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确．C、因为AD平分∠EAF，所以∠EAD＝∠FAD，∵∠FAD＝∠EDA，∠EAD＝∠FDA，∴EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确．D、如果AD⊥BC且AB＝AC，所以四边形AEDF是菱形，故D选项错误．故选：D．3．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是正方形．【答案】见解析【解析】证明：∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形OBEC是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴OC＝OB，AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴四边形OBEC是矩形，∵OC＝OB，∴四边形OBEC是正方形．4．已知：如图，在平行四边形ABCD中，BC＝AC，E，F分别是AB，CD的中点，连接CE并延长交DA的延长线于M，连接AF并延长交BC的延长线于N．（1）求证：△ABN≌△CDM；（2）当平行四边形ABCD的边或角满足什么关系时，四边形AECF是正方