专题03二次根式规律探究(原卷版+解析)2

专题03二次根式规律探究专题说明专题说明以二次根式的运算为载体的规律探究题是中考常考题型之一,这类题新颖、独特、综合性强.解此类题先要通过观察题目中所给出的若干个与二次根式有关的算式,从中寻找它们的共性,进而归纳、猜想出一般的结论,再利用探究的结论解决新的问题.【典例分析】【典例1】（2021春•西山区期末）阅读材料，回答问题：观察下列各式＝1+﹣＝1；；．请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：（1）猜想：＝＝；（2）归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：＝＝；（3）应用：用上述规律计算．【变式1-1】（2021•白银模拟）观察下列各式：＝1+＝1+（1﹣）；＝1+＝1+（﹣）；＝1+＝1+（﹣）……请利用你发现的规律，计算：+++…+其结果为．【变式1-2】（2021春•利辛县期末）观察下列各式：＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1，…请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题①猜想：＝＝；②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：＝＝；③应用：计算．【典例2】（2021秋•思明区校级期末）观察下列各式，发现规律：＝2；＝3；＝4；…（1）填空：＝5，＝6；（2）计算（写出计算过程）：；（3）请用含自然数n（n≥1）的代数式把你所发现的规律表示出来．【变式2-1】（2022春•黄梅县期中）小明做数学题时，发现＝；＝；＝；＝；…；按此规律，若＝（a，b为正整数），则a+b＝．【变式2-2】（2020秋•栾城区期末）在学习二次根式时，思思同学发现一个这样的规律＝2；＝3；＝4，假设说思思发现的规律是正确的，请你写出＝4后面连续的一个等式．【变式2-3】（2021春•惠州期末）观察下列各式及其验算过程：＝2，验证：＝＝＝2；＝3，验证：＝＝＝3．（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证．（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．【夯实基础】1．（2021春•饶平县校级期中）观察分析，探求规律，然后填空：，2，，，，…，（请在横线上写出第100个数）．2．（2021春•西乡塘区校级月考）观察：①＝﹣1，②＝﹣，③＝2﹣．……按此规律，第8个等式的是．3．（2022春•舒城县校级月考）观察下列运算：①由（+1）（﹣1）＝1，得；②由（+）（﹣）＝1，得；③由，得；…（1）由上述规律，直接化简：＝；（2）通过观察你得出什么规律？用含n（n≥0且为整数）的式子表示出来＝﹣；（3）利用（2）中你发现的规律计算＝．4．（2021春•霍邱县期中）观察与思考：①2＝；＝；．式①验证：2＝＝＝＝；式②验证：3＝＝＝＝．（1）仿照上述式①、式②的验证过程，请写出式③的验证过程；（2）猜想5＝；（3）试用含n（n为自然数，且n≥2）的等式表示这一规律，并加以验证．5.（2020秋•安国市期中）观察下列各式及验证过程＝，验证：＝＝＝；＝，验证：＝＝＝；＝，验证：＝＝＝；（1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想＝；（2）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；（3）针对上述各式反映的规律，写出用n（n≥2的自然数）表示的等式，并进行验证．6．（2020春•官渡区期末）观察下列各式：，，，请你根据上面三个等式提供的信息，解答下列问题：（1）归纳规律：＝；（n≥1，且n为整数）（直接写出结果）（2）利用规律计算．7．（2022秋•南山区校级期中）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．例如：＝＝＝＝1+．解决问题：（1）在括号内填上适当的数：＝＝③①：，②：，③．（2）根据上述思路，化简并求出+的值．8．（2021春•蒙阴县期中）观察下列等式：第1个等式：a1＝＝﹣1；第2个等式：a2＝＝﹣；第3个等式：a3＝＝2﹣；第4个等式：a4＝＝﹣2；…按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n个等式：an＝；（2）求a1+a2+a3+…+an的值．9．（2022秋•祁东县校级期中）【阅读理解】阅读下列材料，然后解答下列问题：我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要先把原数分母中的无理数化为有理数，如：，，这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．（1）的有理化因式是，的有理化因式是；（2）化简：；（3）利用你发现的规律计算：的值．10．（2022秋•浦东新区期中）观察下列运算：（1）由，得﹣1（2）由，得……问题：（1）通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来；（2）利用（1）中发现的规律计算：．【能力提升】11．（2020春•微山县期末）在学完二次根式的乘除法之后，小明借助计算机完成了以下计算：＝10，＝100，＝1000，＝10000，…．通过计算，小明发现了其中规律，那么按照上述规律，计算的结果是（）A．102020 B．102021 C．102022 D．10201912．（2020•曾都区模拟）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律得出的值为（）A．350 B．351 C．352 D．35313．（2022春•香河县期中）观察下列运算：（1）由（+1）（﹣1）＝1，得＝﹣1；（2）由（+）（﹣）＝1，得＝﹣；（3）由（2+）（2﹣）＝1，得＝；（4）把上述规律用含n的式子表示出来．14．（2022春•翔安区期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题（+1）（）＝1，（+）（﹣）＝1，（+）（﹣）＝1…（1）观察上面规律，计算下面的式子+++…+（2）利用上面的规律比较﹣与﹣的大小．15．（2022春•东莞市校级期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．OA22＝（）2+1＝2，s1＝；OA32＝12+（）2＝3，S2＝；…OA42＝12+（）2＝4，S3＝；…（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：OAn2＝，Sn＝．（2）若一个三角形的面积是2，计算说明它是第几个三角形？（3）求出S12+S22+S32+…+S92的值．16．（2021春•饶平县校级期末）观察下列等式：回答问题：①＝1+﹣＝1②＝1+﹣＝1③＝1+﹣＝1，…（1）根据上面三个等式的信息，猜想＝；（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式；（3）验证你的结果．17．（2020秋•嘉祥县期末）探索规律观察下列各式及验证过程：n＝2时，有式①：；n＝3时，有式②：；式①验证：式②验证：（1）针对上述式①、式②的规律，请写出n＝4时的式子；（2）请写出满足上述规律的用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并加以验证．专题03二次根式规律探究专题说明专题说明以二次根式的运算为载体的规律探究题是中考常考题型之一,这类题新颖、独特、综合性强.解此类题先要通过观察题目中所给出的若干个与二次根式有关的算式,从中寻找它们的共性,进而归纳、猜想出一般的结论,再利用探究的结论解决新的问题.【典例分析】【典例1】（2021春•西山区期末）阅读材料，回答问题：观察下列各式＝1+﹣＝1；；．请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：（1）猜想：＝＝；（2）归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：＝＝；（3）应用：用上述规律计算．【答案】（1）1+﹣，1（2）1+﹣，1+（3）9【解答】解：（1）根据题意可得：＝1+＝1；故答案为：1+﹣，1；（2）根据题意可得：＝1+﹣＝1+；故答案为：＝1+﹣＝1+；（3）＝1+1﹣+1+﹣+1+﹣+•••+1+＝10﹣＝9．【变式1-1】（2021•白银模拟）观察下列各式：＝1+＝1+（1﹣）；＝1+＝1+（﹣）；＝1+＝1+（﹣）……请利用你发现的规律，计算：+++…+其结果为．【答案】2019【解答】解：由题意可得：原式＝1+（1﹣）+1+（﹣）+1+（﹣）+……+1+（﹣）＝2019+1﹣＝2019．故答案为：2019．【变式1-2】（2021春•利辛县期末）观察下列各式：＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1，…请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题①猜想：＝＝；②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：＝＝；③应用：计算．【答案】①1+﹣，1②1+﹣，③1【解答】解：①猜想：＝1+﹣＝1；故答案为：1+﹣，1；②归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：＝1+﹣＝；③应用：＝＝＝1+﹣＝1．【典例2】（2021秋•思明区校级期末）观察下列各式，发现规律：＝2；＝3；＝4；…（1）填空：＝5，＝6；（2）计算（写出计算过程）：；（3）请用含自然数n（n≥1）的代数式把你所发现的规律表示出来．【解答】解：（1）根据题意得：＝5；＝6；故答案为：5；6；（2）＝＝＝＝2015；（3）归纳总结得：＝（n+1）（自然数n≥1）．【变式2-1】（2022春•黄梅县期中）小明做数学题时，发现＝；＝；＝；＝；…；按此规律，若＝（a，b为正整数），则a+b＝．【答案】【解答】解：根据题中的规律得：a＝8，b＝82+1＝65，则a+b＝8+65＝73．故答案为：73．【变式2-2】（2020秋•栾城区期末）在学习二次根式时，思思同学发现一个这样的规律＝2；＝3；＝4，假设说思思发现的规律是正确的，请你写出＝4后面连续的一个等式．【答案】＝5【解答】解：第1个等式为＝＝2；第2个等式为＝＝3；第3个等式＝＝4，所以第4个等式为＝＝5．故答案为：＝5．【变式2-3】（2021春•惠州期末）观察下列各式及其验算过程：＝2，验证：＝＝＝2；＝3，验证：＝＝＝3．（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证．（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．【解答】解：（1）∵＝2，＝3，∴＝4＝4＝，验证：＝＝，正确；（2）由（1）中的规律可知3＝22﹣1，8＝32﹣1，15＝42﹣1，∴＝，验证：＝＝；正确；【夯实基础】1．（2021春•饶平县校级期中）观察分析，探求规律，然后填空：，2，，，，…，（请在横线上写出第100个数）．【答案】10．【解答】解：因为2＝，2＝＝，所以此列数为：，，，，…，则第100个数是：＝10．故答案是：10．2．（2021春•西乡塘区校级月考）观察：①＝﹣1，②＝﹣，③＝2﹣．……按此规律，第8个等式的是．【答案】＝3﹣2【解答】解：通过观察等式的中被开方数与等式的序号的关系找到规律为：第n个式子为：，∴第8个等式的是：＝，即：＝3﹣2．故答案为：＝3﹣2．3．（2022春•舒城县校级月考）观察下列运算：①由（+1）（﹣1）＝1，得；②由（+）（﹣）＝1，得；③由，得；…（1）由上述规律，直接化简：＝；（2）通过观察你得出什么规律？用含n（n≥0且为整数）的式子表示出来＝﹣；（3）利用（2）中你发现的规律计算＝．【解答】解：（1）∵（+2）（﹣2）＝1，∴＝﹣2，故答案为：﹣2；（2）∵（+）（﹣）＝1，∴＝﹣，故答案为：﹣；（3）＝2﹣2+2﹣2+4﹣2+2﹣4＝2﹣2＝6﹣2，故答案为：6﹣2．故答案为：a2b．4．（2021春•霍邱县期中）观察与思考：①2＝；＝；．式①验证：2＝＝＝＝；式②验证：3＝＝＝＝．（1）仿照上述式①、式②的验证过程，请写出式③的验证过程；（2）猜想5＝；（3）试用含n（n为自然数，且n≥2）的等式表示这一规律，并加以验证．【解答】解：（1）4＝＝＝＝；（2）5＝，故答案为：；（3）n＝；证明：n＝＝＝＝．5.（2020秋•安国市期中）观察下列各式及验证过程＝，验证：＝＝＝；＝，验证：＝＝＝；＝，验证：＝＝＝；（1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想＝；（2）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；（3）针对上述各式反映的规律，写出用n（n≥2的自然数）表示的等式，并进行验证．【答案】（1）（2）略（3）【解答】解：（1）猜想＝，验证：＝＝＝；故答案为：；（2）猜想＝，验证：＝＝＝；（3）＝；验证：＝＝＝6．（2020春•官渡区期末）观察下列各式：，，，请你根据上面三个等式提供的信息，解答下列问题：（1）归纳规律：＝；（n≥1，且n为整数）（直接写出结果）（2）利用规律计算．【答案】（1）1+﹣（2）2019【解答】解：（1）观察所给三个等式发现规律：归纳规律：＝1+﹣；（n≥1，且n为整数）故答案为：1+﹣；（2）根据以上规律可得：原式＝1+（1﹣）+1+（﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣）＝（1+1+1+…+1）+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝2019+（1﹣）＝2019．7．（2022秋•南山区校级期中）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．例如：＝＝＝＝1+．解决问题：（1）在括号内填上适当的数：＝＝③①：，②：，③．（2）根据上述思路，化简并求出+的值．【解答】解：（1）由题意得，＝＝3+，则①＝5，②＝，③＝3+，故答案为：①5；②；③3+；（2）+＝＝＝5﹣＝7．8．（2021春•蒙阴县期中）观察下列等式：第1个等式：a1＝＝﹣1；第2个等式：a2＝＝﹣；第3个等式：a3＝＝2﹣；第4个等式：a4＝＝﹣2；…按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n个等式：an＝；（2）求a1+a2+a3+…+an的值．【解答】解：（1）an＝＝﹣，故答案为：﹣；（2）a1+a2+a3+…+an，＝﹣1+﹣+…+﹣，＝﹣1．9．（2022秋•祁东县校级期中）【阅读理解】阅读下列材料，然后解答下列问题：我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要先把原数分母中的无理数化为有理数，如：，，这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．（1）的有理化因式是，的有理化因式是；（2）化简：；（3）利用你发现的规律计算：的值．【解答】解：（1）的有理化因式是，的有理化因式是﹣，故答案为：，﹣；（2）＝＝＝3+4；（3）＝（﹣1+﹣+﹣+•••+﹣）（+1）＝（﹣1）（+1）＝2022﹣1＝2021．10．（2022秋•浦东新区期中）观察下列运算：（1）由，得﹣1（2）由，得……问题：（1）通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来；（2）利用（1）中发现的规律计算：．【解答】解：（1）＝﹣（n为正整数）；（2）原式＝（﹣1++﹣+•••+﹣）（+1）＝（﹣1）（+1）＝2019﹣1＝2018．【能力提升】11．（2020春•微山县期末）在学完二次根式的乘除法之后，小明借助计算机完成了以下计算：＝10，＝100，＝1000，＝10000，…．通过计算，小明发现了其中规律，那么按照上述规律，计算的结果是（）A．102020 B．102021 C．102022 D．102019【答案】B【解答】解：∵＝10，＝100＝102，＝1000＝103，＝10000＝104，…．∴＝102021．故选：B．12．（2020•曾都区模拟）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律得出的值为（）A．350 B．351 C．352 D．353【答案】B【解答】解：＝1；＝1+2＝3；＝1+2+3＝6；＝1+2+3+4＝10，所以＝1+2+3+…+26＝＝351．故选：B．13．（2022春•香河县期中）观察下列运算：（1）由（+1）（﹣1）＝1，得＝﹣1；（2）由（+）（﹣）＝1，得＝﹣；（3）由（2+）（2﹣）＝1，得＝；（4）把上述规律用含n的式子表示出来．【解答】解：（3）由（2+）（2﹣）＝1，得＝2﹣，故答案为：2﹣；（4）观察规律得：由（n+）（n﹣）＝1，得＝n﹣，故答案为：＝n﹣．14．（2022春•翔安区期末）观察下列一组