专题20正比例函数(原卷版+解析)

专题20正比例函数目录TOC\o"1-1"\h\u必备知识点 1考点一正比例函数的定义问题 1考点二正比例函数的图像 2考点三正比例函数的性质 3知识导航知识导航必备知识点1.正比例函数的定义一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.例如y=x，y=-3x等都是正比例函数。2.正比例函数的图像特征与性质k的符号函数图像图像的位置性质k>0图像过第一、三象限y随x的增大而增大k<0图像过第二、四象限y随x的增大而减小1)通常画正比例函数y=kx(k≠0)的图象时只需取一点(1，k)，然后过原点和这一点画直线.2)当k>0时，函数y=kx(k≠0)的图象从左向右呈上升趋势；当k<0时，函数y=kx(k≠0)的图象从左向右呈下降趋势.3)正比例函数y=kx中，越大，直线y=kx越靠近轴；越小，直线y=kx越靠近x轴.考点一正比例函数的定义问题1．若正比例函数的图像经过点，则这个图像必经过点(

)A． B． C． D．2．下列函数中，表示y是x的正比例函数的是（

）．A． B． C． D．3．若函数是正比例函数，则下列叙述正确的是（

）A． B． C． D．y随x的增大而增大4．如果是正比例函数，那么a的值是(

)A．-1 B．0或1 C．-1或1 D．15．已知y与z成正比例函数，且当时，，z与x成一次函数关系，函数关系式为，且过点，则y是x的___函数，函数关系式为____.6．若一次函数表示正比例函数，则m=_____________．7．下列函数中，是一次函数的是_____，是正比例函数的是_____．（填序号）（1）y＝﹣；（2）y＝﹣；（3）y＝3﹣5x；（4）y＝﹣5x2；（5）y＝6x﹣；（6）y＝x（x﹣4）﹣x2；（7）y＝x﹣6．考点二正比例函数的图像8．已知正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小，则y=kx的大致图象为（

）A． B． C． D．9．正比例函数的图象大致是（

）A． B． C． D．10．如图，点C、B分别在两条直线y＝﹣3x和y＝kx上，点A、D是x轴上两点，若四边形ABCD是正方形，则k的值为（）A．3 B．2 C． D．11．如图所示，三个正比例函数的图象分别对应的表达式：①，②，③.则a，b，c的大小关系是________.12．函数的图象经过第二、四象限，则函数的图象经过第________象限.13．若正比例函数的图像经过点A（－5，3），（1）求的值；（2）判断随的增大如何变化；（3）如果这条直线上点B的横坐标＝4，那么它的纵坐标的值是多少？考点三正比例函数的性质14．正比例函数的图像上的点到两坐标轴的距离相等，则（

）.A．1 B．-1 C．±1 D．±215．如果正比例函数y＝（a﹣1）x（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＞0 C．a＜1 D．a＞116．如图，在同一直角坐标系中，正比例函数，，，的图象分别为，，，，则下列关系中正确的是（

）A． B．C． D．17．在正比例函数y＝（2m－1）x中，y随x增大而减小，则m的取值范围是_____.18．如图，10个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l，将这10个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为_______________19．已知y＝（k﹣3）是关于x的正比例函数，（1）写出y与x之间的函数解析式：（2）求当x＝﹣4时，y的值．20．如图，正比例函数y=kx的图像经过点A，点A在第四象限．过点A做AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为4.5．（1）求该正比例函数的解析式；（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP的面积为6？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．专题20正比例函数目录TOC\o"1-1"\h\u必备知识点 1考点一正比例函数的定义问题 1考点二正比例函数的图像 6考点三正比例函数的性质 10知识导航知识导航必备知识点1.正比例函数的定义一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.例如y=x，y=-3x等都是正比例函数。2.正比例函数的图像特征与性质k的符号函数图像图像的位置性质k>0图像过第一、三象限y随x的增大而增大k<0图像过第二、四象限y随x的增大而减小1)通常画正比例函数y=kx(k≠0)的图象时只需取一点(1，k)，然后过原点和这一点画直线.2)当k>0时，函数y=kx(k≠0)的图象从左向右呈上升趋势；当k<0时，函数y=kx(k≠0)的图象从左向右呈下降趋势.3)正比例函数y=kx中，越大，直线y=kx越靠近轴；越小，直线y=kx越靠近x轴.考点一正比例函数的定义问题1．若正比例函数的图像经过点，则这个图像必经过点(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先利用待定系数法求出正比例函数的解析式，然后代入检验即可．【详解】解：设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），∵y=kx的图象经过点（1，-2），∴k=-2，∴y=-2x，把这四个选项中的点的坐标分别代入y=-2x中，等号成立的点就在正比例函数y=-2x的图象上，所以这个图象必经过点（-1，2）．故选B．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，直线经过点，点的坐标一定满足直线的解析式．解题的关键是正确求出正比例函数的解析式．2．下列函数中，表示y是x的正比例函数的是（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据正比例函数的定义来判断：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．【详解】A、该函数不符合正比例函数的形式，故本选项错误．B、该函数是y关于x的正比例函数，故本选项正确．C、该函数是y关于x的一次函数，故本选项错误．D、该函数是y2关于x的函数，故本选项错误．故选B．【点睛】主要考查正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．3．若函数是正比例函数，则下列叙述正确的是（

）A． B． C． D．y随x的增大而增大【答案】C【解析】【分析】根据正比例函数的概念以及图象的性质对各选项进行判断即可．【详解】∵函数是正比例函数，∴，解得，m=-2,∴m-2=-4＜0，∴y随x的增大而减小，所以，选项A、B、D错误，故选C.【点睛】本题考查了正比例函数的概念以及性质，要求学生了解正比例函数图象的性质：当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．4．如果是正比例函数，那么a的值是(

)A．-1 B．0或1 C．-1或1 D．1【答案】D【解析】【分析】根据正比例函数的解析式y=kx，其中k≠0，x的指数为1求解．【详解】函数是正比例函数，∴a2=1，解得a=1或-1，∵a+1≠0，∴a≠-1，∴a=1．故选D【点睛】解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．5．已知y与z成正比例函数，且当时，，z与x成一次函数关系，函数关系式为，且过点，则y是x的___函数，函数关系式为____.【答案】

一次，

【解析】【分析】由y与z成正比例函数，可设，根据当时，，可求出k，由，且过点，可求出b，再把z与x的关系代入到y与z的关系式中，整理即得结果.【详解】解：∵y与z成正比例函数，∴设，∵当时，，∴，解得k=4，所以y=4z，∵一次函数过点（0,2），∴b=2，∴，∴，所以y是x的一次函数，且函数关系式为.【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数的定义和待定系数法求函数的解析式，解题的关键是熟知一次函数的定义，掌握待定系数法求函数解析式的方法.6．若一次函数表示正比例函数，则m=_____________．【答案】【解析】【分析】先去括号，再令常数项为零即可.【详解】解：，∵一次函数为正比例函数，∴，即.故答案为.【点睛】本题考点：正比例函数的定义，熟练掌握是解题的关键.7．下列函数中，是一次函数的是_____，是正比例函数的是_____．（填序号）（1）y＝﹣；（2）y＝﹣；（3）y＝3﹣5x；（4）y＝﹣5x2；（5）y＝6x﹣；（6）y＝x（x﹣4）﹣x2；（7）y＝x﹣6．【答案】

（1）（3）（5）（6）（7）

（1）（6）【解析】【分析】本题主要考查一次函数与正比例函数的定义以及两者之间的联系.【详解】解:一次函数:（1）y＝﹣；（3）y＝3﹣5x；（5）y＝6x﹣；（6）y＝x（x﹣4）﹣x2=-4x（7）y＝x﹣6．正比例函数:(1)y＝﹣;(6)y＝x（x﹣4）﹣x2=-4x;故答案为:一次函数:(1)(3)(5)(6)(7);正比例函数:(1)(6).【点睛】根据一次函数和正比例函数的定义判断.符合y=kx(k≠0)的形式的函数是正比例函数也是一次函数,符合y=kx+b(k≠0)的形式的函数是一次函数.考点二正比例函数的图像8．已知正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小，则y=kx的大致图象为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据正比例函数图象的性质可知．【详解】∵是正比例函数，∴b=0，∴图象必经过原点，∵函数值随着x的增大而减小，∴函数图象经过第二四象限．故选D．【点睛】了解正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．9．正比例函数的图象大致是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用正比例函数的性质：K>0时，直线经过第一、三象限；K<0时，直线经过第二、四象限.分析得出即可．【详解】解：正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当时，这条直线经过第一、三象限．故选B．【点睛】此题主要考查了正比例函数的性质，正确记忆图象分布与系数关系是解题关键．10．如图，点C、B分别在两条直线y＝﹣3x和y＝kx上，点A、D是x轴上两点，若四边形ABCD是正方形，则k的值为（）A．3 B．2 C． D．【答案】D【解析】【分析】设点C的横坐标为m，则点C的坐标为（m，﹣3m），点B的坐标为（﹣，﹣3m），根据正方形的性质，即可得出关于k的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解：设点C的横坐标为m，∵点C在直线y=-3x上，∴点C的坐标为（m，﹣3m），∵四边形ABCD为正方形，∴BC∥x轴，BC=AB，又点B在直线y＝kx上，且点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，∴点B的坐标为（﹣，﹣3m），∴﹣﹣m＝﹣3m，解得：k＝，经检验，k＝是原方程的解，且符合题意．故选：D．【点睛】本题考查正方形的性质，正比例函数的图象与性质以及解分式方程等知识点，灵活运用性质是解题的关键．11．如图所示，三个正比例函数的图象分别对应的表达式：①，②，③.则a，b，c的大小关系是________.【答案】【解析】【分析】根据正比例函数图象的性质分析．【详解】首先根据图象经过的象限，得a＞0，b＞0，c＜0，再根据直线越陡，|k|越大，则b＞a＞c．故答案为b＞a＞c．【点睛】了解正比例函数图象的性质：当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大．12．函数的图象经过第二、四象限，则函数的图象经过第________象限.【答案】一、三【解析】【分析】因为正比例函数y=-kx的图象经过第二、四象限，所以-k<0，得k＞0，从而k+1＞0，故可得答案．【详解】∵正比例函数y=-kx的图象第二、四象限，∴-k＜0，∴k＞0，∴k+1＞0∴函数y=(k+1)x的图象经过第一、三象限.故答案为一、三．【点睛】本题考查正比例函数的图象性质．需注意判断x的系数和常数的符号．13．若正比例函数的图像经过点A（－5，3），（1）求的值；（2）判断随的增大如何变化；（3）如果这条直线上点B的横坐标＝4，那么它的纵坐标的值是多少？【答案】（1）；（2）随的增大而减小；（3）【解析】【分析】（1）设这个正比例函数的解析式是y=kx，再将A（－5，3）代入求得k即可；（2）判断k的值，即可得到答案；（3）把点B的横坐标代入解析式，即可求出纵坐标的值.【详解】解：(1)设正比例函数的解析式为：y=kx，∵直线经过点A（－5，3），∴3＝－5∴＝，∴直线的解析式为.（2）∵＝＜0，∴随的增大而减小.（3）∵B点在直线上，＝4，∴＝.【点睛】本题考查了正比例函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数的性质.考点三正比例函数的性质14．正比例函数的图像上的点到两坐标轴的距离相等，则（

）.A．1 B．-1 C．±1 D．±2【答案】C【解析】【分析】根据题意，正比例函数图象上的点的坐标可设为（a，a）或（a，-a），然后把它们分别代入y=kx可计算出对应的k的值，从而可确定正比例函数解析式．【详解】∵正比例函数图象上的点到两坐标轴的距离相等，∴正比例函数图象上的点的坐标可设为（a，a）或（a，-a），∴k•a=a或k•a=-a∴k=1或-1，故选C．【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：设正比例函数解析式为y=kx，然后把一组对应值代入求出k，从而得到正比例函数解析式．15．如果正比例函数y＝（a﹣1）x（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＞0 C．a＜1 D．a＞1【答案】D【解析】【分析】根据正比例函数是常数）的图象经过第一、三象限得出的取值范围即可．【详解】解：因为正比例函数y＝（a﹣1）x（a是常数）的图象在第一、三象限，所以a﹣1＞0，解得：a＞1，故选：D．【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．16．如图，在同一直角坐标系中，正比例函数，，，的图象分别为，，，，则下列关系中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】首先根据直线经过的象限判断k的符号，再进一步根据直线的陡峭趋势（直线越陡越大）判断k的绝对值的大小，最后判断四个数的大小.【详解】解：根据直线经过的象限，知，，，，根据直线越陡越大，知，，所以．故选B．【点睛】此题主要考查了正比例函数图象的性质，直线越陡越大，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．17．在正比例函数y＝（2m－1）x中，y随x增大而减小，则m的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】根据正比例函数图象的增减性可求出m的取值范围．【详解】解：∵函数y=（2m-1）x是正比例函数，且y随x的增大而减小，∴2m-1＜0，解得故答案为【点睛】本题考查了正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．18．如图，10个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l，将这10个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为_______________【答案】【解析】【分析】设直线和十个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C，易知OB=3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线的解析式．【详解】解：设直线l和10个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C，∵正方形的边长为1,∴OB=3，∵经过原点的一条直线将这10个正方形分成面积相等的两部分，∴两边面积都为分别是5，∴三角形ABO面积是7，∴OB•AB=7，∴AB=，∴OC=AB=，由此可知直线经过，设直线方程为y=kx（k≠0），则3=k，解得k=，∴直线l解析式为．故答案为：．【点睛】此题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，考查了正方形的性质，解题的关键是作AB⊥y轴，作AC⊥x轴