辽宁省沈阳一二〇中学2024-2025学年高二上学期第一次质量监测数学试题

沈阳市第120中学2024-2025学年度高二上学期第一次质量监测科目：数学满分：150分时间：120分钟命题人：佟智海李晓东审题人：李晓东一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的一个方向向量是（）A. B. C. D.2.设，，，，且，，则（）A. B. C.3 D.43.的最小值为（）A. B. C.4 D.84.在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.5.已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为（）A. B. C.或 D.或6.表示的曲线为（）A.两个半圆 B.一个圆 C.半个圆 D.两个圆7.若点是圆：上的任一点，直线：与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（）A. B. C. D.8.已知点为平面直角坐标系内的圆上的动点，点，现将坐标平面沿轴折成的二面角，则，两点间距离的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件；B.直线与直线互相平行，则；C.过，两点的所有直线的方程为；D.经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为.10.如图，四棱锥中，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（）A.平面 B.与平面所成角的余弦值为C.到平面的距离为2D.四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为11.已知圆：，点是圆上的一点，则下列说法正确的是（）A.圆关于直线对称B.已知，，则的最小值为C.的最小值为D.的最大值为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12.直线过点，且点到的距离为3，则直线的方程为______.13.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为______.14.手工课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，底边和侧棱长均为4，过点作一个平面进行切割，分别交、、于点、、，得到四棱锥，若，，则的值为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，.（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值.16.（15分）（1）已知中，顶点，，的平分线所在直线的方程为，求顶点的坐标；（2）在中，点，边上的高线所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求边所在直线的一般式方程.17.（15分）在平面直角坐标系中，点，，，且点在第一象限.记的外接圆为圆.（1）求圆的方程；（2）过点且不与轴重合的直线与圆交于，两点，是否为定值?若是定值，求出该值；否则，请说明理由.18.（17分）在多面体中，平面为正方形，，，二面角的平面角的余弦值为，且.（1）证明：平面平面；（2）若（），求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围.19.（17分）在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为（）；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为.（1）若平面：，平面：，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量（写出一个即可）；（2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，，，平面：，平面：，求实数的值；（3）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.

沈阳市第120中学2024—2025学年度高二上学期第一次质量监测数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.C3.B4.A5.C6.A7.A8.D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.ACD10.BCD11.ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.或13.14.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）因为，同理可得，所以..（2）因为，所以，因为所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.16.（1）关于直线的对称点的直线方程为，联立，解得，∴.（2）设，因为在高线上，①，因为、中点在中线上，所以②，联立①②解得，，所以，设，由题意可知③，④，联立③④解得，，所以，所以所在直线的方程为：，化简有，所以：.17.（1）由题意可得，所以，又因为，点在第一象限，所以直线的倾斜角为60°，所以，，所以，设的外接圆的方程为，由有，解得，所以的外接圆的方程为：；（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为：，由，可得，所以，，，所以，所以是定值.18.（1）∵，，，∴，即，又∵在正方形中，，且，平面，平面，∴平面，又平面，∴平面平面；（2）由（1）知，是二面角的平面角，作于点，则，，且平面平面，平面平面，平面，∴平面，取中点，连接，则，如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，取，，，设平面的一个法向量为，则，取，∴，其中，若，则；若，则由对勾函数的性质可得，∴∴，∴综上，，即平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围为.19.（1）记平面，的法向量为，，设直线的方向向量，因为直线为平面和平面的交线，所以，，即，取，则，所以直线的单位方向向量为.（2）设：，由平面经过点，，，所以，解得，即：，所以记平面、、的法向量为，，，与