人教版九年级数学上册专项训练：旋转（解析版）

第23章旋转（培优卷）

.选择题（每小题3分，共24分）

1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史，2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工

智能机器人A勿3G。进行围棋人机大战.截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心

对称的是（）

【答案】A

【解析】解：A.是中心对称图形，故本选项符合题意;

B.不是中心对称图形,故本选项不合题意;

C.不是中心对称图形,故本选项不合题意;

D.不是中心对称图形,故本选项不合题意.

故选:A.

2.如图将△ABC绕点。（0,-1）旋转180。得到△ABC,设点A的坐标为（a,b）,则A的坐标为（）

B.Q-a,-b-I)C.(-a,-b+1)D.(-a,-b-2)

【答案】D

【解析】解：将△48C绕点C（0,-1）旋180。得到△ABC,，C4=G4',

设A（私〃）,而盟a,6）,

由中点坐标公式可得:

im+a

，解得」

|2m=-a

;A(-cit-b-2)

\n+bln--2-b

=-1

i2

故选D

3.如图，将,ABC绕点A顺时针旋转得到“ADE,且点。恰好在AC上，ZBAE=ZCDE=136°,则NC的度

数是（）

A.24°B.26°C.30°D.36°

【答案】A

【解析】解：由题意可知：NE=NC,ZEAD=ZCAB

又；ZBAE^136°,：.ZEAD=ZCAB=1(360°-ZBAE)=112°

又：ZE+ZEAD=ZEDC=136°,/.ZE=ZEDC-ZEAD=24°,NC=24°

故选：A.

4.如图，Rt^ABC中，ZB=30°,ZC=90°,AC=2,BC平行于y轴，以点A(0,5)为旋转中心，将Rt^ABC

逆时针旋转30。，得到RtZV®。，则点C'的坐标为()

A.卜石,3)B.A/5,4)C.^—5/3,3)D.卜班,4)

【答案】D

【解析】解：过点C'向A。作垂线，垂足为点。，如图，

VZB=30°,ZC=90°,AZBAC=6OQ

：BC〃y轴，ZBAO=NB=30°,/.ZBAO+ZBAC=30°+60°=90°,

将RtZkABC逆时针旋转30°,得到RtzMB,C,,

?.ZCAC'=ZC'AB=ZBAB'=30°,：.BC//AB',点在y轴上，

由旋转的性质得，AC=AC=2,ACAD=ACAD=60°,AZACD=30°,

AD=-AC,=-x2=l,

22

A(0,5),；.OA=5,；.OD=CM—AD=5—1=4

由勾股定理得，CZ>=JAC2_AD2=后

:点C在第二象限，；.点C的坐标为卜6,4)

故选：D.

5.如图，BA=BC,ZABC=1Q°,将绕点3逆时针旋转至ABEA处，点区A分别是点。，C旋转后

的对应点，连接。区则N3ED为()

A.55°B.60°C.65°D.70°

【答案】A

【解析】•・・△30。绕点5逆时针旋转至45阴处，点区A分别是点。，。旋转后的对应点，

；・NCBD=/ABE,BD=BE,

VZABC=ZCBD-^ZABD,/EBD=/ABE+NABD,ZABC=70°,：.ZEBD=ZABC=70°,

•:BD=BE,：.ZBED=ZB£>E=^-(180°-ZEBD)=1(180°-70°)=55°,

故选：A.

6.如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0,2),点A(4,2).以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋

转60。，得点艮在M2(-V3,-l),%(1，4)，四个点中，直线尸3经过的点是()

A.M}B.M2C.M,D.M4

【答案】B

【解析】解：：点A(4,2),点P(0,2),

.•.B4_Ly轴，B4=4,

由旋转得：ZAPB=60°,AP=PB=4,

如图，过点2作BCLy轴于C,

ZBPC^30°,；.BC=2,PC=2A/3,:.B(2,2+2指),

设直线PB的解析式为：y=kx+b,

则F'=2+2百，*="一..直线依的解析式为：y=@+2,

(b=2[b=2

当产。时，A/3A+2=0,x=-巫,.•.点(-且，0)不在直线上,

33

当产-君时，y=-3+2=l,：.M2(-73,-1)在直线P8上，

当下1时，y=73+2,：.M3(1,4)不在直线P8上，

当尸2时，尸26+2，:.M4(2,y)不在直线尸8上.

故选：B.

7.如图，等边三角形ABC内有一点P,分别连结AP、BP、CP,若AP=6,BP=S,CP=10.贝|S^ABP+S^BPC

=().

A.20+166B.24+126C.20+12#D.24+166

【答案】D

[解析】如图，将LBPC绕点B逆时针旋转60°后得_AB'P,连接PP',

A

根据旋转的性质可知，旋转角NP3P=NC4S=60。，BP=BF,_BPP为等边三角形,BP=BP=PP=8,

由旋转的性质可知，AP'=PC=10,

在APP'中，PP'=S,AP=6,由勾股定理的逆定理得，.A"'是直角三角形,

SBPP,=^-BP-BP=^-x64=16^3,

SAPP.=g.AP.PP'=；x6x8=24,

,,Sf^p+SBPC=S四边形AP协=SBPP,SAPP=16A+24.

故选：D.

8.如图，在平面直角坐标系中，将△A3。绕点A顺时针旋转到△ASG的位置，点、B、。分别落在点B/、

。处，点5在x轴上，再将△A8/G绕点8/顺时针旋转到△48(2的位置，点C2在无轴上，将△A/SC2

绕点C2顺时针旋转到△A2&C2的位置，点4在x轴上，依次进行下去…，若点A(3,0),B(0,4),则

A.12120B.12128C.12132D.12125

【答案】C

【解析】解：：点A(3,0),B(0,4),：.OA=3,OB=4,AB=Sl+OB'=4学+4?=5，

：II：)

.OA+AB+BC2=3+5+4=12,.B2(12,4),B4(24,4),B6(36,4),B2„(12H,4

；2022+2=1011,/.1011x12=12132,

故选：c.

二.填空题(每小题2分，共16分)

9.如果抛物线丁=2f—4%+机的顶点关于原点对称点的坐标是(一1,-3),那么根的值是一

【答案】5

【解析】:抛物线y=2N-4x+加的顶点关于原点对称点的坐标是(-1,-3),

二・抛物线》=2/-4%+根的顶点坐标是(1,3),

4x2m-(-4)2

4^2

解得，根=5；

故答案为：5.

10.如图，在平面直角坐标系中，点A(T,2),OC=4,将平行四边形0ABe绕点。旋转90。后，点8的对

【答案】(一2,3)或(2,-3)

【解析】解：VA(-1,2),OC=4,：.C(4,0),B(3,2),M(0,2),BM=3,

AB//无轴，BM=3.

将平行四边形0A8C绕点0分别顺时针、逆时针旋转90。后，

由旋转得：OM=OMI=OM2^2,ZAOAI^ZAOA2=90°

BM=BIM尸B2M2=3,轴，A2B2_Lx轴，

.••⑶和星的坐标分别为：(-2,3),(2,-3),

二》即是图中的囱和史,坐标就是，B,(-2,3),(2,-3),

故答案为：(-2,3)或(2,-3).

11.如图，△ABC中，ZABC=64°,将△ABC绕点8逆时针旋转到△48。的位置，使得A¥〃8C,贝iJ/CBC

C

B

【答案】52

【解析】解：：AABC绕点A逆时针旋转得到八BA'C,：.BA'=AB,：.ZBAA'=ZBA'A,

'：AA'HBC,：.ZA'AB=ZABC,

VZABC=64°,AZA'AB=64°,：.ZABA'=(180°-2x64°)=52°,

VZCBC'=ZABA',：.ZCBC=52°.

故答案为：52.

12.如图，//3C的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是(-1,0),现将/4BC绕A点逆时针

旋转90。，再向右平移一个单位后点C的对应点C，的坐标是.

【答案】(-1,3)

【解析】//8C绕A点逆时针旋转90。后的图像如图:

观察图象，可知C对应的点G坐标为(-2,3),

A(-2,3)再向右平移一个单位后点C的对应点。的坐标是(-1,3)

故答案是：(-1，3).

13.如图，在中，ZAOB=90°,AO=3cm,3O=4cm,将一AQB绕顶点O,按顺时针方向旋转到4。⑸

处，此时线段。片与的交点。恰好为A3的中点，则线段瓦。的长度为.

5

%

d

【答案】1.5cm

【解析】•.,在AAOB中，ZAOB=90°,A0=3cm,BO=4cm,

.,.AB=do尺+OB°=5cm,/.OD=；A8=2.5cm,

•.,将AAOB绕顶点。，按顺时针方向旋转到44。氏处，；.02/=。2=431,

BiD:=OBi-OD=1.5cm.

故答案为：L5cm.

14.如图，在尺公ABC中，ZACB=9Q°,ZCAB=30°,BC=4.将△ABC绕点C逆时针旋转a度（0<aW180）,

得到△DEC,A,B的对应点分别为。，E.边DC,分别交直线AB于EG,当△OEG是直角三角形

时，则80=

【答案】2有或-4

【解析】解：根据题意得：CD=AC,ZCDE=ZA=30°,

当/OEG=90。时，如图：

,/ZACB=9Q°,ZCAB=30°,8C=4.AB=2BC=8,：.CD=AC=AB2-BC2=4A/3>

7^AABC=^ABCF=^ACBC,：.CF=AC^C=2^/3,：.DF=CD-CF=2y/3■,

当/DGP=90。时，如图:

VZCDE=ZA=30°,/DGB=90。,：.ZDFG=60°=ZABC,.•.点8与点产重合，

/.BD=CD-BC=4布-4；

综上所述，8。的长为2石或40-4.

故答案为：2出或46-4

15.如图，在平面直角坐标系xQy中，ABC为等腰三角形，AC=AB=5,BC=8,点A与坐标原点重合，

点C在无轴正半轴上，将一ABC绕点C顺时针旋转一定的角度后得到A4C,使得点B对应点”在无轴上,

记为第一次旋转，再将ABC绕点与顺时针旋转一定的角度后得到&B£,使得点4对应点4在x轴上,

以此规律旋转，则第2023次旋转后钝角顶点坐标为.

【解析】过点A作于点。，

,/AB=AC=5,BC=8,：.BD=CD=1BC=4,，AD=y/AB2-BD2=3，

由题意4(9,3),A(18,0),4(18,0),4(27,3),4(36,0),4(36,0),4(45,3),...,

每3次是一个循环组，2023+3=674-1,

二4侬在竖直方向的位置与A的位置相同，纵坐标为3,

.•.第2023次旋转后钝角顶点的横坐标为674x18+9=12141,

第2023次旋转后钝角顶点坐标为(12141,3).

故答案为(12141,3)

16.如图，在矩形ABC。中，AB=2拒,BC=6,点E是直线BC上的一个动点，连接。E,将线段。E绕着

点。顺时针旋转120。得到线段QG,连接AG,则线段AG的最小值为

AD

BE

【答案】6

【解析】解：如图所示，将线段DC绕点。顺时针旋转120。得到线段。C',作直线GC'交AD于K,过点4

作AHLGC'于点风

NEDC=1200-ZEDC=NGDC：CD=CD,DE=DG,.-.ADCEWDCG(SAS)

ZGC'D=NC=90°=NKC'D,

如图所示，当点E在直线BC上运动时，G在直线GC'上运动，即点G的运动轨迹是直线GC'.

当点G运动到X时，AG最小，最小值即为A8的长度.

NCDC'=120°,ZCDA=90°,/.NKDC'=30°,/.C'K=-DK,ZC'KD=60°=ZAKH

2

CD=CD=AB=2区：.C'K=2,DK=4

AD=BC=6,:.AK=AD-DK=2

在用AAJf中，ZAKH=&)°,：.KH=LAK=1,AH=6KH=6

2

则线段4G的最小值为⑺

故答案为：6

三.解答题（共60分）

17.（6分）如图，在一ABC中，AB=BC,NCBA=60。，点E是BC上的一点，连接AE,将E4绕点E顺时

针旋转90。得到即，点。恰好在AC的延长线上，若CE=2,求AC的长.

【答案】A/3+I

【解析】解：如图，过点E作ENLAC于点N,

\-AB^BC,ZCBA^6Q°,ABC是等边三角形，：.ZBCA^6Q0,

'：EN±AC,：.ZENC=90°,ZCEN=90°-ZBCA=30°,

,:CE=2,:.CN=1,EN=JCE。-CN。=5

由题可知E4绕点E旋转90。得到ED,：.二ADE是等腰直角三角形，

二ZA£N=NEW=45。，:•AN=NE=BAC=AN+CN=y[3+1.

18.（8分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，ABC的顶点均在格点上，点

A,B,C的坐标分别为A（-3,T）,8（—2,-4）,C（-l,-2）.

（1）先将一ABC沿y轴正方向平移3个单位长度，再沿X轴负方向平移1个单位长度得到△44G，画出

&月£,点C坐标是；

(2)将用BC，绕点与逆时针旋转90。，得到AB.Q,画出旦G，点C?的坐标是

⑶我们发现点C,C?关于某点成中心对称，对称中心坐标是

【答案】⑴见解析，(-2,1)；⑵见解析,(-5,0)；(3)(-3-1)

【解析】(1)解：如图，4G即为所求，G(-2,l)

(2)解：如图，AA4G即为所求，点C?坐标为(-5,0)

故答案为：(-5,0)

(3)解：2),C2(―5,0),.•.二^=-3,三、=-1,.•.对称中心坐标是(-3,-1),

故答案为：(-3,-1).

19.(8分)如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线y=N+2x与x轴的另一个交点为A,把该

抛物线在无轴及其下方的部分记作C/,将C/绕着点。旋转180。，得到C2,C2与x轴交于另一点8.

(1)求抛物线C2的顶点E的坐标；

(2)将C2绕着点8旋转180。得到C3,连接C/与C3的最低点，则阴影部分图形的面积为

【答案】⑴(1,1);(2)4

【解析】⑴设抛物线产N+2x的顶点为G,

''y—^+lx—(x+1)2-1,G(-1,-1),

:将C/绕着点。旋转180。，得到C2,...点G与点E关于原点。对称，(1,1)；

(2)设C3的最低点为厂，

令y=0,则X2+2X=0,解得：x=0或x=-2,'.A(-2,0),

由题意：点A与点B关于原点。对称，...B(2,0),

:将C2绕着点8旋转180。得到C3,...点E与点尸关于原点。对称，二尸(3,-1),

过点G作于点以过点尸作雁，2。于点K,过点£作EML02于点如图,

,：GH±OA,FK1BD,四边形GH"为矩形.

VG(-1,-1),F(3,-1),：.HO=1,0K=3,：.HK=OH+OK=4,

根据旋转不变性可得：S阴影部分=5矩形GHKF,

••S阴影部分=HK・HG=4xl=4,

故答案为：4.

20.(8分)问题：如图(1),点E、尸分别在正方形ABC。的边8C、CD上,ZEAF=45°,试判断BE、EF、

阳之间的数量关系.

图⑴图⑵

(1)延长也＞到点G使。G=8E,连接AG,得到至AAOG,从而可以证明EF=8E+FD,请你利用图(1)

证明上述结论.

(2)如图(2),四边形ABCD中，NBAD声90°,AB=AD,ZB+ZD=180°,点£、尸分别在边2C、C。上,

则当NEAF与/BA。满足数量关系时，仍有EF=BE+FD,并说明理由.

【答案】⑴见解析；(2)4AD=2ZE4F,理由见解析

【解析】(1)延长尸。到点G使0G=3E,连接AG.

如图(1),在正方形A8CQ中，AB=AD,ZBAD=ZADC=ZB=90°,

AB=AD

在MBE和AADG中，＜/ABE=ZADG

BE=DG

:.^ABE^AADG(SAS)f/.ZBAE=ZGAD,AE=AGtAGAD+^DAF=ZBAE-^-ZDAF=45°

.\ZGAF=ZEAF=45°

GA=EA

在A4E尸和AAGF中，＜ZGAF=ZEAF

AF=AF

AAAEFAAGF,EF=GF=GD+DF=BE+DF

理由如下：如图，延长CB至M,使BM=DF,连接AM,

ZABC+ZD=180°,ZABC+ZABM=180°,：.ZD=ZABM

AB=AD

在A/WM和AADb中，SZABM=ZD

BM=DF

/A4DF,AF=AM,ZDAF=ZBAM

NBAD=2NEAF,.•.ZDAF+ZBAE=ZBAM+ZBAE=ZEAF,:./FAF=7FAM

AF=AM

在AE4F和AEAM中，＜/EAF=NEAM

AE=AE

AEAF^A£W,j.EF=EM=BE+BM=BE+DF,.\EF=BE+DF

21.(10分)如图，一ABC中，AB=AC,NB4C=90。，点。、£在5C边上，ZDAE=45°,将一ACE绕点

A顺时针旋转90°得_ABF.

A

⑴求证：BF_LBC；

（2）连接。尸，求证：VADF^VADE；

（3）若即=3,CE=4,贝,四边形AFDE的面积=.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）5；30

【解析】（1）证明：：将一ACE绕点A顺时针旋转90。得二尸，，/。=/的，

:在ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,：,ZABC=ZC=45°,

：./DBF=ZABC+ZABF=45°+45°=90°,二BF±BC.

（2）证明：\•将，ACE绕点A顺时针旋转90。得sABF,.•.AF=AE,ZBAF^ZCAE,

VZDAE=45°,ABAC=90°,：.ABAD+ZCAE=90°-45°=45°,

ZBAD+ZBAF=ZBAD+ZCAE=45°,ZDAF=ZDAE,

在，ADb和ADE中，

AF=AE

-ZDAF=NDAE,

AD=AD

：..ADF^ADE（SAS）.

（3）解：如图，过点A作A”,3c于H,

•.,将ACE绕点A顺时针旋转90。得,ABR,BD=3,CE=4,：.BF=CE=4,

由（1）得，NDBF=90°,

在MVD3/中，DF=Y/BD2+BF2=V32+42=5-

由（2）得，7ADFAADE,:.DE=DF=5,SAADF=SAADE,：.BC=BD+DE+CE=3+5+4=12,

:在，ABC中，AB^AC,Z&4c=90。，AH±BC；:.BH=CH,

：.AH=^BC=6,四边形AFDE1的面积:

s四边形AEDE=S^ADF+S^ADE=2S=2x^xDExAH=DExAH=5x6=30.

故答案为：5；30.

22.(10分)△ABC和△OEC是等腰直角三角形,ZACB=ZDCE=90°AC^BC,CD=CE.

(1)【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接B。、AE,延长8。交AE于点凡猜想

线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系.

(2)【探究证明】如图2,将AOCE绕着点C顺时针旋转一定角度tz(0°<a<90。)，线段2D和线段AE的数

量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由.

(3)【拓展应用】如图3,在△AC。中，ZADC=45°,C£)=0,AD=4,将AC绕着点C逆时针旋转90。

至BC,连接BD,求的长.

【答案】（1）BD=AE,BD1AE-,（2）成立，理由见解析；（3）2指

【解析】（1）BD=AE,BD1AE,证明如下：

在△BCD和wACE中，

QZACB=ZDCE=90°,AC^BC,CD=CE,BCD=ACE,

BD=AE,ZCBD=ZCAE,

ZACB=90°,.，/CBD+/BDC=9伊,

ZBDC=ZADF,:.ZCAE^-ZADF=90°,.\BD±AE；

（2）成立，理由如下：

VZACB=ZDEC,:・ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,^ZBCD=ZACE,

在和中，

VAC=BC,/BCD=ZACE,CD=CE,:・&BCD'ACE,:・BD=AE,NCBD=/CAE,

,:ZBGC=ZAGF,:.ZCBD+ZBGC=NC4E+ZAGF,

VZACfi=90°,：./CBD+/BGC=90。，：.ZCAE+ZAGF=90°,：.ZAFB=90°,：.BD_LAE；

⑶

如图，过点C作C"，CD,垂足为C,交AD于点”，

由旋转性质可得：ZACB=9Q°,AC=BC,

■:CH1CD,：.ZDCH=90°,

VZADC+ZCHD=90°,且ZADC=45°,；.NCHD=45。,

：.ZCHD=ZADC,:.CD=CH=④,

在RNDCH中：DH=yJCD2+CH2=J（何+（何=2,

ZACB=ZDCH=90°,/.ZACB+ZACH=ZDCH+ZACH,§PZACD=Z.BCH,

在八48和二3CW中，

VAC=BC,ZACD=NBCH,CD=CH,:.△ACD^ABCH,

BH=AD=4,NCBH=NDAC,：.ZCBH+Z1=ZDAC+Z2,

VZACB=90°,；.NCBH+4=90。,AZDAC+Z2=90°,

：.ZBHA=90°,：.BH±AD,△BHD是直角三角形，

在&BD"中，BD=dBH、DH2="+2〉=26•

23.（10分）如图，正方形ABC。和正方形CEPG（其中BZA2CE）,直线BG与DE交于点H.

(1)如图1,当点G在C。上时，请直接写出线段BG与。E的数量关系和位置关系;

(2)将正方形CEFG绕点C旋转一周.

①如图2,当点E在直线CO右侧时，