江苏省九年级数学上学期【第一次月考卷】（解析版）

江苏省九年级上学期【第一次月考卷】

(测试时间：120分钟满分：120分测试范围：第1章-第2章)

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.)

I.(2022秋•金坛区校级月考)下列方程中，关于x的一元二次方程是()

A.3(x+1)2=2(x+1)B.工J_2=o

2Y

XX

C.ax2+bx+c=0D.xi+2x=x2-1

【分析】根据一元二次方程的概念判断即可.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方

程叫一元二次方程.

【解答】解：A.该方程是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；

B.该方程是分式方程，故本选项不符合题意；

C.ax2+bx+c—0,a—0,6#0时是一元一次方程，故本选项不符合题意，；

D.该方程整理可得2x+l=0,是一元一次方程，故本选项不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整

式方程叫一元二次方程是解题的关键.

2.(2021秋•东台市月考)电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某

地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长

率记作x,则方程可以列为()

A.3(1+x)=10B.3(1+x)2=10

C.3+3(1+x)2=10D.3+3(1+x)+3(1+x)2=10

【分析】若把增长率记作x,则第二天票房约为3(1+x)亿元，第三天票房约为3(1+x)2亿元，根据

三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

【解答】解:若把增长率记作x,则第二天票房约为3(1+x)亿元，第三天票房约为3(1+x)2亿元，

依题意得：3+3(1+x)+3(1+x)2=10.

故选：D.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

3.(2021秋•丰县校级月考)若一元二次方程/-2船+庐=0的一根为x=-1,则左的值为()

A.-1B.0C.1或-1D.2或0

【分析】把x=-1代入方程计算即可求出k的值.

【解答】解：把x=-1代入方程得：1+2日庐=0,

解得：k=-1,

故选：A.

【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

4.(2020秋•滨海县月考)关于x的一元二次方程依2+2彳-1=0有两个不相等的实数根，则左的取值范围是

()

A.k>-1B.左>-1且左WOC.k<\D.左<1且右£0

【分析】由关于X的一元二次方程依2+2x-1=0有两个不相等的实数根，知A=22-4XLX(-1)>0

且左W0,解之可得答案.

【解答】解：•••关于尤的一元二次方程依2+2》-1=0有两个不相等的实数根，

A=22-4XkX(-1)>0且左*0,

解得-1且左W0,

故选：B.

【点评】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=O0WO)的根与A=

庐-4就有如下关系：①当△>()时，方程有两个不相等的实数根；②当A=0时，方程有两个相等的

实数根；③当△<()时，方程无实数根.

5.(2022秋叶B江区月考)的半径为5c加，点/到圆心。的距离。4=3c加，则点4与的位置关系

为()

A.点/在。。上B.点N在。。内C.点/在外D.无法确定

【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.

【解答】解：；O。的半径为5cm,点/到圆心。的距离为3c%,

即点A到圆心O的距离小于圆的半径，

/.点A在O。内.

故选：B.

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设。。的半径为心点尸到圆心的距离OP=d,则有点尸在圆

外=d>r；点尸在圆上=d=r；点P在圆内0do.

6.(2022秋•洪泽区校级月考)若N8是。。的直径，CD是的弦，ZABD=55Q,则/BCD的度数为

D

C

A.25°B.35°C.45°D.65°

【分析】连接4。，由45是OO的直径得到N4Z）5=90°,再根据互余计算出N4的度数，然后根据圆

周角定理即可得到NC的度数.

【解答】解：连接40,如图，

TAB是。。的直径，

ZADB=90°,

VZABD=55°,

AZA=90°-55°=35°,

AZBCD=ZA=35°.

故选：B.

C

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对

的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

7.（2021秋•灌云县月考）若关于x的一元二次方程办2+取+5=0（aWO）的一个解是x=l,则2021-q-b

的值是（）

A.2016B.2020C.2025D.2026

【分析】利用一元二次方程解的定义得到。+6=-1,然后把2021变形为2021-（a+b）,再利用

整体代入的方法计算.

【解答】解：把x=l代入方程办2+及+5=0得。+6+5=0,

所以a+b=-5,

所以2021-a-b=2021-(a+b)=2021+5=2026.

故选：D.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程

的解.

8.（2021秋•工业园区校级月考）如图，N8为的直径，点C、D、£在上，且向=&，NE=

A.30°B.40°C.35°D.50°

【分析】如图，连接OD,BD.利用圆周角定理求出/DOB,再求出NOAD=20°,可得结论.

【解答】解:如图，连接O。，BD.

AD=CD，

/.ZABD^ZCBD,

'：ZDOB=2ZDEB=140°,

：./OBD=NODB=20°,

：.ZABC=2ZOBD=40°,

故选：B.

【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握圆周

角定理，属于中考常考题型.

9.（2022秋•江阴市校级月考）如图，48是的直径，若/C=2,ZZ）=60°,则3C长等于（）

c

A.4B.5C.A/3D.273

【分析】根据圆周角定理得出N/C2=9（T,/CAB=ND=60°,解直角三角形求出2c即可.

【解答】解：是。。的直径，

AZACB^90°,

VZZ）=60°,

：.BC=MAC=26,

故选：D.

【点评】本题考查了圆周角定理和解直角三角形等知识，能熟记圆周角定理是解此题的关键.

10.（2022秋•洪泽区校级月考）如图，在平面直角坐标系xQy中，点/在x轴负半轴上，点3在v轴正半

轴上，经过4,B,O,C四点，//CO=120°,4B=4,则圆心点。的坐标是（）

A.（炳，1）B.（-V3,1）C.（-1,V3）D.（-2,2A/3）

【分析】先利用圆内接四边形的性质得到//8。=60°,再根据圆周角定理得到N8为。。的直径，则。

点为N8的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到。8=2,OA=273-所以/（-273.

0）,B（0,2）,然后利用线段的中点坐标公式得到。点坐标.

【解答】解：：四边形N20C为圆的内接四边形，

AZABO+ZACO=1SO°,

：.ZABO=180°-120°=60°,

；/4OB=90°,

为O。的直径，

:.D点、为AB的中点，

在Rt^4B。中，ZABO^60°，

：.0B=LB=2,

2

：.OA=«OB=2^3

：.A（-243>0）,B（0,2）,

点坐标为（-V3，1）.

故选：B.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对

的圆心角的一半.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了坐标

与图形性质.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）

11.（2020秋•宿城区校级月考）已知方程x2-5x-2=0的两根分别为肛，冷，则x[2.4x]+x2+8=

15.

【分析】根据方程/-5x-2=0的两根分别为xi，物得出XI+X2=5,xj-5肛=2,再把要求的式子变

形为X/-5XI+XI+X2+8,最后代入计算即可.

【解答】解:...方程x2-5x-2=0的两根分别为XI，X2，

•・％1+%2=5，

x12-5x1-2=0,

・・xj-5xi=2,

二•xj-4XI+X2+8=XJ-5%I+%I+%2+8=2+5+8=15；

故答案为：15.

【点评】此题考查了根与系数的关系，一元二次方程办2+bx+c=oQW0）,当方程有解，即62-4。。三0

时，设方程的两根分别为修，X2，则有町+工2=-二，%1%2——•

aa

12.（2022秋•沐阳县月考）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店

揽件日平均增长率为x,则根据题意可列方程为200（1+x）2=242.

【分析】利用第三天揽件数量=第一天揽件数量X（1+设该快递店揽件日平均增长率）2,即可得出关于

x的一元二次方程，此题得解.

【解答】解：依题意得200（1+x）2=242.

故答案为：200（1+x）2=242.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

13.（2020秋•沐阳县校级月考）若圆锥的底面半径为3c〃z,母线长为4°加，则圆锥的侧面积为12TT

C%2.（结果保留TT）

【分析】圆锥的侧面积=底面周长X母线长+2.

【解答】解：底面圆的半径为3,则底面周长=6n,侧面面积=』X6nX4=12nc加2.

2

故答案为：121T.

【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解.

14.（2021秋•滨湖区校级月考）已知关于x的方程/+3x+a=0有一个根为-1,则a的值为2.

【分析】把x=-1代入方程N+3x+a=0得1-3+a=0,然后解关于a的方程.

【解答】解：把％=-1代入方程N+3x+a=0得1-3+a=0,

解得。=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程

的解.

I~~2

15.（2022秋•浦口区校级月考）当a=l,b=m,c=-15时，若代数式飞+、』Yac的值为3,则代数式

2a

-b）b2-4ac的值为一5.

2a

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求得.

2

【解答】解：♦.•一元二次方程为ax2+bx+c=0的两个根为修=-b+Jb2-4ac,-b-Vb-4ac；

2a2a

_-

•vv_b+Vb^-4ac.bWb^-4ac_c__15__

•--------------------------------------------------ID,

2a2aal

•••代数式一b+'b2_4ac的值为3,

2a

...代数式上显短j的值为-5,

2a

故答案为：-5.

【点评】本题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键.

16.（2022秋•江都区月考）如图，在边长为4的正方形48CD中，点£、点厂分别在边8C上，分别

从/、C同时出发以相同的速度向终点。、8移动，连接斯，。是斯中点，过点。作DGLE尸于点G,

连接/G,则线段NG长的最小值是二'、技_.

【分析】连接/C、BD,由正方形的对称性可知，。为/C,AD的交点，取OD中点M,连接

GM,则GM为定长，利用三角形三边关系解决问题即可.

【解答】解：连接/C,BD,取。。的中点连接GM,如图：

由正方形的对称性可知，。为4C,AD的交点，

正方形ABCD的边长是4,

：.OD=OA=2'、&ZAOM=90°,

是。。中点，

"AM=VOA2K）M2=V（2V2）2+（V2）2=V10'

'：DG.LEF,

:.△DGO是直角三角形，

:.GM=%D=近,

2

在△/GM中，AG>AM-GM,即AG>y/10-

...当/,G,M不能构成三角形，即n,G,〃■共线时，NG最小，如图:

E

A

B

止匕时GM=y/10-

故答案为：Vio-V2.

【点评】本题主要考查了正方形的性质，构造定长线段和GM,利用三角形三边关系解决问题是解

决本题的关键.

17.（2023•宿迁模拟）如图，是的弦，NC是。。的切线，/为切点，3c经过圆心，若/3=25°,

【分析】连接根据切线的性质，结合等腰三角形的性质，即可求得/C的度数.

【解答】解：如图，连接04,

是的切线,

：.ZOAC=90°,

"：OA^OB,

：.ZB=ZOAB=25°,

AZAOC=50°,

AZC=40°.

故答案为：40.

【点评】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切

点.

18.（2023春•亭湖区校级期末）如图，是半径为2的。。的弦，将篇沿着弦折叠，正好经过圆心

。，点C是折叠后定的上一动点，连接并延长2C交O。于点。，点E是CD的中点，连接NC,AD,

【分析】首先证明是等边三角形，再证明求出。尸，EF,可得结论.

【解答】解：连接。/和。8,作。尸，N8.连接EF.

由题知：窟沿着弦N5折叠，正好经过圆心O,

：.OF^^OA=^OB,

22

AZAOF=Z56>F=60°,

AZAOB^nO0,

ZACB=}20o,

ZD=^-ZAOB=60°,

2

Zy4C£>=180°-ZACB=60°,

.♦.△/CD是等边三角形，

YE是CD中点，

J.AELBD,

又；OFUB,

；.F是4B中点,

即，E尸是△N8E斜边中线,

:.AF=EF=BF,

即，£点在以为直径的圆上运动.

所以，当E、。、厂在同一直线时，长度最，

此时，AE=EF,AEA.EF,

的半径是2,即04=2,OF=\,

:.AF=M（勾股定理），

OE=EF-OF=AF-OF=^3-1.

故答案为：Vs-1.

【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理等知识,

解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

三、解答题（本大题共8小题，共66分.）

19.（2023秋•鼓楼区校级月考）用指定方法解下列一元二次方程

（1）3（2x7）2-12=0（直接开平方法）

（2）2x2-4x-7=0（配方法）

（3）x2+x-1=0（公式法）

（4）（2x-1）2-/=0（因式分解法）

【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；

（2）方程利用配方法求出解即可；

（3）方程利用公式法求出解即可；

（4）方程利用因式分解法求出解即可.

【解答】解：（1）3（2x-1）2-12=0,

移项，得3（2x-1）2=12,

两边都除以3,得（2x-1）2=4,

两边开平方，得2x-l=±2,

移项，得2%=1±2,

解得：xi=—,x=--：

222

（2）2/-4X-7=0,

两边都除以2,得/-2x-工=0,

2

移项，得--2x=工，

2

配方，得/-2x+l=旦，即(X-1)2=旦

22

解得：X-1=±3&,

2

即xi=l+3&,x2=l-3a；

22

(3)x2+x-1=0,

这里a=l,b=\,c=-1,

VZ)2-4ac=l2-4XlX(-1)=5,

--1±V5

.•r人=--------,

2X1

解得：X2=-1-疾;

22

(4)(2x-1)2-x2=0,

方程左边因式分解，得(2x-1+x)(2x-I-x)=0,即(3x-1)(x-1)=0,

解得：xi=—,x=l.

32

【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本

题的关键.

20.(2022秋•滨海县月考)已知关于x的一元二次方程/-4SX+3%2=O.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若加＞0,且该方程的两个实数根的平方和为10,求"?的值.

【分析】(1)根据方程的系数，结合根的判别式可得出A=4加2,利用偶次方的非负性可得出4加220,

即A20,再利用“当A时，方程有两个实数根”即可证出结论；

(2)利用根与系数的关系可求出答案.

【解答】(1)证明：b=-4m,c=3m2,

：.A=庐-4碇=(-4m)2-4XlX3m2=4m2.

;无论加取何值时，4/20,即A20,

二原方程总有两个实数根.

(2)解：设方程的两根为所，X2，则X1+%2=4冽,Xi,X2=3m2,

(Xi+%2)2-2町》2=10，

(4m)2-2X3加2=io,

又m>Q,

•»ZH=1.

【点评】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）

牢记“当A时，方程有实数根"；（2）利用因式分解法求出方程的解.

21.（2022秋•盐都区月考）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1）,隋代建造的赵州桥距今约

有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥

拱是圆弧形，表示为定.桥的跨度（弧所对的弦长）/2=24加，设源所在圆的圆心为。，半径OCL

AB,垂足为。.拱高（弧的中点到弦的距离）CD=5m.连接。瓦求这座石拱桥主桥拱的半径.（精确

到1m).

图1

图2

【分析】设主桥拱半径为R,在Rt^ObD中，根据勾股定理列出火的方程便可求得结果.

【解答】解：-：OC±AB,

：.AD=BD,

设主桥拱半径为R,由题意可知N5=24,CD=5,

：.BD=~AB=n,

2

OD=OC-CZ)=R-5,

VZ<92)5=90°,

：.OD2+BD2^OB2,

：.(R-5)2+U2=R2,

解得R=16.9仁17,

答：这座石拱桥主桥拱的半径约为17m.

【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理.解题的关键是方程思想的应用.垂径定理和勾股定理相结合,

构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题.这类题中一般使用列方程的方法，这种用代

数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握.

22.（2022秋•东台市月考）已知关于x的一元二次方程/-（2左+1）x+4左-3=0.

（1）求证：无论先取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）当一矩形的对角线长为/。=而，且矩形两条边和2C恰好是这个方程的两个根时，

求矩形N5CD的周长.

【分析】（1）计算判别式的值得到△=（2左-3）2+4,利用非负数的性质得到△>（）,从而根据判别式的

意义得到结论；

（2）利用根与系数的关系得到4B+BC=2k+l,AB・BC=4k-3,利用矩形的性质和勾股定理得到AB2+B（^

22

=AC=（V31）2,则（2K1）-2（4k-3）=31,解得后i=3,k2=-2,利用/8、8c为正数得到左

的值为3,然后计算/3+8C得到矩形/BCD的周长.

【解答】（1）证明：△=（2左+1）2-4（4八3）

=4启+4左+1-16左+12

=4庐-12眉43

=（2k-3）2+4,

,/⑵-3）220,

A>0,

...无论左取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）根据题意得N8+8C=2左+1,AB・BC=4k-3,

而（V31）2,

（2K1）2-2（4左-3）=31,

整理得后-左-6=0,解得左1=3,左2=-2,

AB+BC=2k+\>0,AB・BC=4k-3>3

；.一的值为3,

；.AB+BC=7,

二矩形/BCD的周长为14.

【点评】本题考查了根与系数的关系若X1，型是一元二次方程O^+bx+cuO0WO）的两根时，Xi+X2=-

电，XU2=£也考查了根的判别式.

aa

23.（2022秋•靖江市校级月考）超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天可达到30件.为尽快减少

库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件.

（1）当一件商品降价5元时，每天销售量可达到40件,每天共盈利1800元:

（2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到2100元？

（3）在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利可以达到2200元吗？如果可以，请求出销售价;

如果不可以，请说明理由.

【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价5元，可多售出2义5件，盈利的钱数=原来的盈利-降低

的钱数；

（2）根据日盈利=每件商品盈利的钱数X（原来每天销售的商品件数30+2X降价的钱数），列出方程求

解即可；

（3）根据题意列出方程，利用根的判别式进行判断即可.

【解答】解：（1）降价5元，销售量达到30+2X5=40件，

当天盈利：（50-5）X40=1800（元）；

故答案为：40,1800；

（2）根据题意，得：（50-x）X（30+2x）=2100,

解得:x=15或x=20,

••.该商场为了尽快减少库存，

降的越多，越吸引顾客，

.,.选x=20,

答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元；

（3）根据题意可得（30+2%）（50-%）=2200,

整理得到：x2-35x+350=0.

由于△二属-4ac=1225-1400=-175<0,

所以该方程无解.

故商场日盈利不可以达到2200元.

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；得到日盈利的等量关系是解决本题的关键.

24.（2022秋•兴化市月考）如图，一扇形纸扇完全打开后，48和ZC的夹角为120°,48长为30c加，贴

纸部分的宽8。为18c加，求纸扇上贴纸部分的面积.

奋斗

B

【分析】先求出的长度，再根据扇形的面积公式分别求出扇形D/E和扇形5/C的面积即可.

【解答】解:'：AB=30cm,BD=\^cm,

二-20=30-18=12(cm),

...纸扇上贴纸部分的面积S=S扇形B/C-S扇形D/E

=120冗X3()2_120冗X小

―360360

=300TT-48TT

=252TT(cm2).

【点评】本题考查了扇形的面积公式，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：半径为心圆心

角为“。的扇形的面积为史叱.

360

25.(2021春叶B江区月考)如图，是。。的弦，C是。。外一点，OCA.OA,OC交48于点P,交。O

于点。，且CP=C2.

(1)判断直线2C与O。的位置关系，并说明理由；

(2)若N4=30°,OP=M，求图中阴影部分的面积.

【分析】(1)连接。3,根据等腰三角形的性质得出N/=NOA4,NCPB=/CBP,求出N/OC=/O2C

=90。，再根据切线的判定得出即可；

(2)根据含30°角的直角三角形的性质求出/P,求出/O,求出/CO8=30°,根据含30°角的直角三

角形的性质求出OC=2BC,