中考数学专项复习：面积法

面积法

【规律总结】

所谓面积法，就是利用面积相等或者成比例，来证明其他的线段相等或为成比例线段

的方法。

相关定理

(1)等底等高的两个三角形面积相等；

(2)等底(或等高)的两三角形面积之比等于其高(或底)之比；

(3)在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等；

(4)若在同一线段的同侧有底边相等面积相等的两个三角形，则连结两个三角形的顶点

的直线与底边平行。

【典例分析】

D_________

例1、如图，四边形ABC。是菱形，对角线AC,BD相交于点。，A

DEI力B于点E,若aC=8cm,BD=6cm,则DE=()\/

A.5V3cm”■一

B.2V5cm

C.—cm

D.ycm

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用.注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以

高.首先利用勾股定理求得菱形的边长，然后由菱形的两个面积计算渠道求得边上的高

OE的长即可.

【解答】

解：「四边形ABCD是菱形，AC=8cm,BD=6cm,

・•.S菱形4BCD=乂。•BD=[x6x8=24,

,•,四边形ABCD是菱形，

.-.AC1BD,0A^0C^lAC^4cm,OB=OD=3cm,

••・在直角三角形AOB中，AB=VOB2+OA2=V32+42=5cm,

S^ABCD

：.DE

AB

故选C.

【解析】

【分析】

本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求线段的长，属于中

考常考题型.

利用菱形的面积公式：YAC-BD-BC-AE,即可解决问题；

【解答】

解：••・四边形ABC。是菱形，

•••AC1BD,OA=OC=3,OB=OD=4,

•••由勾股定理得：AB=BC=5,

1

V--AC-BD=BC•AE,

2

故答案为：g.

例3、如图，在AABC中，乙4=90。，。是边上一点，4DCB

为等腰三角形，过BC上一点P,作PE1AB,垂足为点E,作PF1

CD,垂足为点F,已知4。：DB=1.'3,BC=6爬,求PE+PF的

长.

【答案】解：为等腰三角形，PE14B,PF1CD,ACLBD,

•1•S"CD=IBD-PE+ICD-PF=^BD-AC,

APE+PFAC,

设2D=x,BD=CD=3x,AB=4%,

222

vAC=CD-AD=(3x)2-*=8x2；

vAC2=BC2-AB2=(6V6)2-(4x)2,

x-3»

AC=2-\/2x=6V2,

•••PE+PF6V2.

【解析】本题主要考查了面积法和勾股定理，把求两条边的长的和转变为求直角三角形的边

是解答本题的关键.

根据三角形的面积判断出PE+PF的长等于AC的长，这样就变成了求AC的长；在Rt△ACD

和Rt△力BC中，利用勾股定理表示出AC,解方程就可以得到A。的长，再利用勾股定理就

可以求出AC的长，也就是PE+PF的长.

【好题演练】

一、选择题

4

1.如图，RtAABC^,^LACB=90°,AC=3,BC=4,将边AC;'、、

''、E

沿CE翻折，使点A落在A8上的点。处；再将边8c沿CF翻；

折，使点8落在的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边AB

分别交于点E、F,贝UB'F长为()°B

A.更B.1C.JD-

255

【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质

求得相等的角是本题的关键.

首先根据折叠可得CD=AC=3,B'C=BC=4,/.ACE=乙DCE,Z.BCF=AB'CF,CE1AB,

然后求得^ECF是等腰直角三角形，进而求得NB'FD=90°,CE=EF=当，ED=AE=

从而求得B'D=1,。尸=|，在RtAB'DF中，由勾股定理即可求得B'F的长.

【解答】

解：根据折叠的性质可知CD=AC=3,B'C=BC=4,^.ACE=/.DCE,乙BCF=乙B'CF,

CELAB,

B'D=4-3=1,乙DCE+乙B'CF=^ACE+乙BCF,

•••^ACB=90°,

•••乙ECF=45°,

・•.△ECF是等腰直角三角形，

•••EF=CE,Z.EFC=45°,

乙BFC=乙B'FC=135°,

•••乙B'FD=90°,

■■-S^ABC=\AC-BC=\AB-CE,

：.AC-BC=AB-CE,

•••根据勾股定理求得力B=5,

12

•*,CE~j

-12I---------------------Q

EF=y,ED=AE=<AC2-CE2=

•••DF=EF-ED=I，

B'F=y/B'D2-DF2=1.

故选D

2.在AABC中，。是BC延长线上一点，MBC=mBD,AB=nAC,过。点作直线A8、

AC的垂线，垂足分别为E、F,贝UDE：。尸的比值为()

A.1：n(l—m)B,1：n(m—1)C.1：m(l—n)D,1：n(m+1)

【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了面积法，利用同一个三角形的面积的两种表示等到等式是解题的关键.

分别用DE、。歹表示SMBDS^ACD=^-AC-DF,通过线段比可知两三角形面

积关系，进而得到?4C-0F=(l—zn)/aB-£)E,从而得到DE和。尸关系即可解答.

【解答】

解：连接4C,

•・•BC=m•BD,

ACD=(l-m)^D,

•••S&ACD=(1-'

1i

=

又1S-8O=2,DE9S^ACD2'"C,DF,

YAC-DF=AB-DE,

•・•AB=n-AC,

・•・4c•OF=(1—m)n-ACDE

・•・DF=(1—m)n-DE

DE1(〃、

故选：A.

3.如图，在RtAABC中，乙4cB=90。，AC=6,BC=8,A。是NBAC的平分线.若P,

。分别是AO和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是()

c

A.YB.4C.5D.y

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点尸和。

的位置.过点C作CM，48交A3于点交AD于点P,过点尸作PQ14C于点。，由AD

是NB4C的平分线.得出PQ=PM,这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理

求出AB,再运用为谢=|48-优=158。，得出CM的值，即PC+PQ的最小值.

【解答】

解：如图，过点C作CM14B交AB于点M,交AO于点P,过点尸作PQ，AC于点。,

•••4D是NB4C的平分线.

PQ=PM,这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，

AC=6,BC=8,/.ACB=90°,

•••AB=V4C2+BC2=V62+82=10.

11

■■-SAABC=-AB-CM^-AC-BC,

即PC+PQ的最小值为

故选A.

4.如图，在菱形ABCZ）中，AC=2V6,BD

于点X,则。*的长为（）

A.3

B.2A/3

C.2

D.2V2

【答案】D

【解析】

【分析】

此题主要考查了菱形的面积公式以及菱形的性质以及勾股定理的运用，得出菱形边长是解题

关键.利用菱形的对角线互相平分线且垂直即可得出菱形的边长，再利用菱形面积公式求出

即可求出的长.

【解答】

解：,•,在菱形中，AC=2①，BD=2V3，

AO=CO==s[6,BO-DO-：BD-y/3,

・•・AB=A/3+6=3,

.：DHX3=IACXBD,

故选：D.

5.如图，口/lBCD的对角线AC与2。相交于点O,AE1BC垂足为E,AB=遮,AC=2,

D.厚

7

【答案】。

【解析】

【分析】

本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，由勾股定理的逆定理可判定△84。是直

角三角形，利用三角形ABC面积的不同表示方法，建立方程求出AE的长.

【解答】

解：•••ac=2,BD=4,四边形ABCD是平行四边形，

•­-4。=-AC=1,BO=-BD=2,

22

AB=V3,

•••AB2+A02=BO2,

•••4BAC=90°,

•.•在Rt△B4C中，BC=yjAB2+AC2=J(V3)2+22=77,

11

S^BAC=-xABxAC=-xBCxZE,

V3X2=y/7AE,

Ab2y[2i

・•・AE=-----,

7

故选D

6.如图，在平面直角坐标系中RtAABC的斜边BC在x轴上，点B坐标为(1,0),AC=2,

乙48c=30。，把母△ABC先绕2点顺时针旋转180。，然后再向下平移2个单位，则A

点的对应点4的坐标为()

A.(—4,—2—V3)B.(―4,—2+V3)

C.(-2,-2+V3)D.(一2,一2一V3)

【答案】D

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质和平移的性质，作出图形利用旋

转的性质和平移的性质是解答此题的关键.作力D1BC,并作出把RtA4BC先绕8点顺时

针旋转180。后所得△ABC1，然后依据旋转的性质解答即可.

【解答】

解：如图所示，作4D1BC,并作出把Rt△4也先绕8点顺时针旋转180。后所得44/6,

4C=2,/.ABC=30°,

BC=4,

AB=2V5，

A&D-=A--B-A-C=-2-^-3-x-2=73/T,T

BC4

BD=y/AB2-AD2=3.

,••点2坐标为(1,0),

•••4点的坐标为(4,b).

•••BD=3,

•••=3,

A坐标为(-2,0),

4］坐标为(_2,—'V3).

••・再向下平移2个单位，

•••4的坐标为(—2,一百-2).

故选。.

二、填空题

7.如图，Rt/kABC中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,

。是AB上一点，DE1AC于点E,DF1BC于点凡连接EF,

则EF的最小值为cm.

【答案】2.4

【解析】

【分析】

本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD14B时，线段

E尸的值最小是解题的关键，难点在于利用等面积法列出方程.

【解答】

解：如图，连接CO.

vZ.ACB—90°,AC=3cm,BC=4cm,

・•・AB=V324-42=5(cm),

vDELAC,DF上BC,^ACB=90°,

・•・四边形CFDE是矩形，

・・・EF=CD.

由垂线段最短可得，当CD148时，线段CO的值最小，即线段E尸的值最小,

此时，SaABC^^BC-AC=-AB-CD,

即(x4x3=之x5•CD,解得CD=2.4cm,

EF最小=2.4cm.

故答案为2.4.

8.若A4BC三边的长a,b,c均为整数，且工+<+3=工，a+b-c=8,设△ABC的面

abab4

积为s,则s的最大值是,最小值是.

【答案】4V231；4V105

【解析】

【分析】

此题考查了三角形的面积，根据所给算式求出服6、c的值再用海伦公式解答是解题的关键.

根据5+£+烹=3得到(a—4)(/?-4)=28,然后将28分解为1x28,2x14…等，据此得

到服。的所有可能值及c的值，利用海伦公式计算出面积，找出最小者与最大者即可.

【解答】

解：,•二+；+5=；,

4b+4a+12=ab,

即ab—4a-46=12,

・•・(a-4)(6-4)=28,

•••a>4,b>4,

a-4=1,2,4,7,14,28,

b—4=28,14,7,4,2,1,

・•・a=5,6,8,11,18,32,

b=32,18,11,8,6,5,

va+h—c=8,

・・.c=29,16,11,11,16,29,

(1)当a=5,h=32,c=29时，p=*：+29=33,s=(p(p—a)(p—b)(p-c)=

733(33-5)(33-32)(33-29)=4V231;

(2)当a=6,b=18,c=16时，p=6+1^+16=20,S=720(20-6)(20-18)(20-16)=

8V35;

(3)当a=8,b=11,c=11时，p==I}"=15,S=715(15-8)(15-11)(15-11)=

4V105;

(4)当a=11,b=8,c=11时，p=---=15,S=715(15-11)(15-8)(15-11)=

4V105;

(5)当a=18,b=6,c=16时，p=⑶茨=20,s=720(20-18)(20-6)(20-16)=

8V35;

(6)当a=32,b=5,c=29时，p=—^―=33,S=733(33-32)(33-5)(33-29)=

4V231.

可见最大值为4V^r，最小值为

故答案为4夜五，4V105.

9.如图，矩形ABC。中，E为边AB上一点,将△ADE沿。E折

叠，使点A的对应点厂恰好落在边BC上，连接AF交DE于

点N,连接BN.若DE=3后tan乙BNF=—,贝!=

2

【答案】3V5

【解析】

【分析】

本题考查了折叠的性质，圆周角定理，矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理以及三角形的

面积等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.由折叠的性质得出NBNF=/BEF,由条

件得出tan/BEF=遇，设=逐乂，BE=2x,由勾股定理得出EF=3久，得出力B=5x,

2

再由勾股定理得出AF的长，于是得到AN的长，在RtALME中根据面积法列式求解可得出

答案.

【解答】

解：•.•将AADE沿DE折叠，使点A的对应点?恰好落在边BC上，

•••AFIDE,AE=EF,AN=FN,

•.•矩形ABCD中，^ABF=90°,

■■B,E,N,尸四点共圆，

•••乙BNF=Z.BEF,

：.tan乙BNF=tanz.B£F=里=恒,

BE2

设=V5x，BE=2%,

・•.EF=7BF2+BE2=3%，

AE=3x,

AB—5XJ

AF=7AB2+BF2=V30%»

..V30

・•・ANT=——x，

2

在RtA/ME中，根据面积法可得：\AE-AD=^AN-DE,

AN-DE苧・3遍

AD—=3V5-

AE3x

故答案为3遍.

10.如下图，口ABCD的对角线AC与3。相交于点O,AE1BC,垂足为E,AB=V3,AC=2,

BD=4,则AE的长为.

【答案】纪红

7

【解析】解：,••4C=2,BD=4,四边形是平行四边形,

11

・•.AO=-AC=1,BO=-BD=2,

22

vAB=V3,

・•・AB2+4。2=BO2,

・•・乙BAC=90°,

•・・在中，BC=ylAB2^AC2=J(V3)2+22=V7

S"AC=IxZBxAC=|xBCxZE,

.•・2V3=V7XE,

・/•i•IZTE=2^2--1,

7

故答案为：浮

7

由勾股定理的逆定理可判定小吕力。是直角三角形，所以根据△ABC的面积列等式即可求出

AE的长.

本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△B4C是直角三角形是解此题的

关键.

11.如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图

案，己知大正方形面积为10,小正方形面积为2,若用x,y表示

直角三角形的两直角边(x>y),下列四个说法：@x2+y2=10；

@xy=2；③x-y=F；④x+2y=4&.其中说法正确的有

.(只填序号)

【答案】①③④

【解析】

【分析】

本题主要考查了勾股定理、面积分割法等知识.

根据勾股定理、面积分割法对选项一一分析即可.

【解答】

解：①大正方形的面积是10,则其边长是同，显然，利用勾股定理可得/+y2=10,故

选项①正确；

③小正方形的面积是2,则其边长是应，根据图可发现y+/=x,即③x-y=&,故选

项③正确；

②根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即4X^孙+2=

10,化简得xy=4,故选项②错误；

④因为y4-V2=x，所以把它代入%y=4中，得到y(y+V2)=4,解得y=V2,或y=—2^2(

舍去)，

则％=2或，则％+2y=4或,故选项④正确.

故答案为①③④.

12.如图，在矩形A8CD中，AB=3,AD=4,点尸在A8上，PE1AC于点E,PF1BD于

点、F,则PE+PF=

【答案】y

【解析】

【分析】

本题考查矩形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用面积法解决问

题；

连接。尸，首先求得的面积，根据的面积=A04P的面积的面积即

可求解.

【解答】

解：连接。P,

在直角4ABD中，AB-：bAD=1，^-BAD=90°

.BD—，："+卜:5'

AO=OB=25，

S&AOB=15矩彬ABO.x3x4=3

l1

)AOPE+OBPF=3,

i6

.,.区(PE+PFf

解得：PE+PF=].

5

故答案为蔡.

三、解答题

13.如图，小明的房间由小卧室和阳台组成，小明爸妈的房间由大卧室和露台组成.大小卧

室都是正方形，大卧室的边长和小明房间的长都是露台的宽度为6,阳台的宽度是

露台宽度特

台

阳

-

一

大

卧室

陞a

(1)①用含。、b的代数式表示小卧室和大卧室的面积；②当a=4米，6=2米时，求

大小卧室的面积差；

(2)若5a=3(3a—b),Sj”「S'：：,求相的值.

(3)已知房屋的高度为/izn,现需要在小卧室和大卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要

多少平方米的壁纸？

【答案】解：(1)①s大=。2,s〃、=(a-；b)2.

答：小卧室的面积为(a-：b)2,大卧室的面积为a?.

(2)S-L-_S./a?_(a_工b)2=a?_(j21ab-----/?2=-ab------.

7y大小v47216216

a=4m,b=2m,

・•・S.—S//、=-x4mx2m——x4m2=—m2.

大小2164

答：大小卧室的面积差为?Hl?.

4

(2)若5a=3(3a—b),则3b=4a,

S阳台=a(a_(b)=|b(|b-]b)=：匕2

vS露台=m-S阳台,

••--b2—m--b2,

48

■■■m—2.

答：机的值为2.

(3)S=4ah+4(a—=4h(2a-b)rn2

答：至少需要4h(2a-於)平方米的壁纸.

【解析】本题考查了列代数式，代数式求值，矩形和正方形的面积，读懂图意，列出代数式

是解题关键.

(1)①利用正方形面积公式表示即可；②利用①中的面积相减，并将完全平方式展开化简合

并即可；

(2)由5a=3(3a-6)解出。和b的关系式，并分别表示出露台和阳台的面积，然后利用

S露今=爪,5韵台列式，化简即可解出机的

值；

(3)根据矩形和正方形的面积来进行计算求解.

14.如图，等腰直角三角板如图放置.直角顶点C在直线机上，分别过点A、B作4E1直

线加于点E,8。，直线机于点。.

①求证：EC=BD；

②若设△NEC三边分别为a、b、c,利用此图证明勾股定理.

【答案】⑴证明：；乙ACB=90°,

・•・/,ACE+Z.BCD=90°.

•・•Z.ACE+/.CAE=90°,

•••Z-CAE=乙BCD.

\LCEA=乙BDC

在^CAE^^BCD中，bcAE=乙BCD,

AC=CB

：.LCAE=LBCD{AAS}.

・•・EC=BD；

（2）解：由①知：BD=CE=a

CD=AE=b

・•・S一的=久。+匕）（。+力）

=-Q2+ab-|—b2.

22

又丁S梯形AEDB=SuEC+S^BCD+^LABC

111o

=-ab-\--ab+-c

222

=ab+-c2.

2

1"?1919

•••-a+ab-\--b=ab+-c.

222

整理，得q2+b2=c2.

【解析】主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解本题

的关键是判断两三角形全等.

(1)通过A4S证得△CAE=LBCD,根据全等三角形的对应边相等证得结论；

(2)利用等面积法证得勾股定理.

15.如图1,直线=—x—b分别与尤，y轴交于4(6,0)、B两点，过点8的直线交x轴

负半轴于C,且。B:0C=3:l.

(1)求直线BC的函数表达式；

(2)如图2,尸为x轴上A点右侧的一动点，以尸为直角顶点，8尸为一腰在第一象限内

作等腰直角三角形/BPQ,连接Q4并延长交y轴于点K.当P点运动时，K点的位置是

否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由.

-1____

(3)直线EF:y二万无一似上力0)交A2于E,交BC于点E交x轴于。，是否存在这样

的直线EF,使得S/EBO=S"BD?若存在，求出K的值；若不存在，说明理由.

【答案】解：(1)直线AB：y=-久一b分别与尤，y轴交于4(6,0)、2两点,

,•0=-6—b,

.*•b=—6,

・•・直线A3的解析式为：y=—%+6.

・•・8(0,6),

•••OB=6,

•・,OB：OC=3：1,

OC=\OB=2,.・.C(-2,0),

设BC的解析式是y=ax+c,

.f6=0-a+c

to=-2a+c

U=6

・•・直线BC的解析式是：y=3%+6；

(2)K点的位置不发生变化，K(0,—6).

如图1,过。作轴于H,

・・・△5PQ是等腰直角三角形，

・•・乙BPQ=90°,PB=PQ,

•・•/,BOA=(QHA=90°,

Z.BPO=乙PQH,

在ABOP与中，

(2LA0B=(QHA

乙BPO=乙PQH,

BP=PQ

••.△B0PwZk"PQ0L4S),

・•.PH=BO,OP=QH,

・•.PH+PO=BO+QH,

即0/+4H=80+Q”，

又•・•OA=OB,

・•.AH=QH,

.•・△Z”Q是等腰直角三角形，

・•・“AH=45°,

•••Z.OAK=45°,

・•・△40K为等腰直角三角形，

OK=OA=6,

・・・K(0,-6)；

(3)如图2,过瓜尸分别作EMI%轴，FN1

贝(J4EMD=乙FND=90°.

,*,S^EBD=SFBD，

・•.DE=DF.

又・・•乙NDF=4EDM,

在△NFO与中，

2FND=乙DEM

(NDF=乙EDM,

DE=DF

••.△NFD/EDM(44S),

・•.FN=ME.

解方程组［y=/i得E点的纵坐标=字,

vy=—x+6§

解方程组卜=一上得尸点的纵坐标=年

ly=3久+65

•・•FN=—力，ME=yE,

••-fc=I;

当k=衬，存在直线EF：y=|%-|,使得〃EBD=^FBD.

【解析】此题综合考查了用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和全等三角

形的性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是正确求解析式以及借助于函数

图象全面的分析问题.

(1)设BC的解析式是y=ax+c,由直线AB：y=-%—6过4(6,0),可以求出6,因此可以

求出2点的坐标，再由已知条件可求出C点的坐标，把8,C点的坐标分别代入求出。和c

的值即可；

(2)不变化，过。作QH_Lx轴于"，首先证明ABOPmAHPQ,再分别证明△4HQ和△40K为

等腰直角三角形，问题得解；

(3)过£、/分别作EMJ.X轴，FNlx轴，贝UNEMD=NFND=90。，由题目的条件证明△

NFD三4EDM,进而得到FN=ME,联立直线AB：y=-久一b和y=2x-k求出交点E和

产的纵坐标，再利用等底等高的三角形面积相等即可求出人的值.

16.如图，四边形ABCD内接于O。，AB=AC,AC1BD,垂足

为E,点尸在8。的延长线上，且DF=DC,连接AP、CF.

⑴求证：/.BAC=2^CAD；

(2)若4F=10,BC=4V5.求tan/BAD的值.

【答案】解：(1)"AB=AC,

：.AB=AC>/.ABC-Z.ACB,

・♦・Z.ABC=Z-ACB=Z-ADB,

Z4BC=|(180°-zF4C)=90°-|zBXC,

■:BD1AC,

・・・^LADB=90°-^CAD,

1

ACAD,

.-.2-ABAC=

•••Z-BAC=2/.CAD；

(2)解：•；DF=DC,

Z.DFC=乙DCF,

・•・Z-BDC=2乙DFC,

ii

•••乙BFC=-A.BDC=-Z.BAC=/.CAD=乙FBC,

22

•••CB=CF,

又BDLAC,

・•.AC是线段B尸的中垂线，

•••AB=AF=10,AC=AB=10.

又BC=4V5,

设力E=x,CE=10-x,

由一心=BC2_CE2t

得100—/=80-(10-x)2,

解得x=6,

•••AE—6,BE=8,CE=4,

乙ABD=Z.ACD,Z-AEB=Z.CED,

ABE~bDCE,

clAECE6X4仁

・•・8O=BE+OE=3+8=11,

作。HL力B,垂足为人

BH=y/BD2-DH2=y,

・•.AH=AB-BH=10-4-4=-6

55f

「“cDH3311

tanZ.^i4D=—=—=—.

AH62

【解析】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，圆心角、弧、

弦的关系，相似，等腰三角形的判定和性质，属于中考压轴题.

(1)根据等腰三角形的性质得出乙4BC=N4CB,根据圆心角、弧、弦的关系得到念=求，

即可得到N4BC=^ADB,根据三角形内角和定理得至(UABC=|(180°-NBAC)=90°-

|zFXC,^ADB=90°-/.CAD,从而得至igzBaC="AD,即可证得结论；

(2)易证得BC=CF=4岔，即可证得AC垂直平分8尸，证得4B=4尸=10,根据勾股定理

求得AE、CE、BE,根据相似求得DE,即可求得8,然后根据三角形面积公式求得。

进而求得4”,解直角三角函数求得tan/B力。的值.

17.在矩形ABC。中，AB=4,BC=3,若点尸是C。上任意一点，如图①，PE1BD于点

E,PF12C于点孔那么PE和PF之间有怎样的数量关系?写出理由.变式一：当点尸

是AD上任意一点时，如图②，猜想PE和尸尸之间有怎样的数量关系，直接写出结果.

变式二：当点尸是。。延长线上任意一点时，如图③，猜想PE和PF之间有怎样的数

量关系，写出推理过程.

【答案】连接OP,如图1,设点C到BD的距离为h.

在Rt△BCD中，BD=VBC2+CD2=V32+42=5.

工c

由=-1BcnD-h,=-1BCxCD,Z得R力j=-B-C-xC-D-=—3x4=—12.

^bLU22BD55

•・•四边形ABC。是矩形，.・.OC=OD.

由SACOD=SADOP+SACOP，得5ODxh=-ODxPE+-OCXPF,

化简得PE+PF=h=£.

变式一：猜想：PE+PFy.

变式二：猜想：PF—PE=£.

连接。P、BP,如图2.

四边^

由S"PQ=S^COD+S80cp~S^COD+S&COP+S^BOP，得

-BDxPF=-0D-h+-OCxPE-{--OBxPF

2222f

17

化简得2PF=l+PE+PF,即PF-PE=h=?

【解析】略

18.如图1,直线=—x—b分别与无，y轴交于4(6,0)、B两点，过点B的直线交x轴

(1)求直线BC的函数表达式;

(2)