2024-2025学年山东省潍坊市安丘市高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省潍坊市安丘市青云学府高二（上）开学数学试

卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条（）

A.相交B.异面C.相交或异面D.平行

2.下列选项中，一定能得出直线a与平面a平行的是（）

A,直线zn在平面a外

B.直线ni与平面a内的两条直线平行

C.平面a外的直线爪与平面内的一条直线平行

D.直线血与平面a内的一条直线平行

3.a、0是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定a〃°的是（）

A.a、0都平行于直线I、m

B.a内有三个不共线的点到£的距离相等

C」、爪是a内的两条直线且1//0,m///?

D」、m是两条异面直线且/〃a,m//a,1//P，m//p

4.如图，PA垂直于以4B为直径的圆所在平面，C为圆上异于4B的任意一点，则下列关系中不正确的是

A.PA1BCB.BC1平面P4CC.AC1PBD.PC1BC

5.设直线/,m,平面a,B，下列条件能得出a〃£的是（）

A.Zca,mua且〃/£,m//pB.Ica,mu£且

C.I1a,m1°且/〃mD.l//a,mJ〃旦

6.下列命题中正确的个数是（）

①若向量五与办共线，区与工共线，贝皈与工共线；

②向量五b,工共面，即它们所在的直线共面；

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③如果三个向量2,b,工不共面，那么对于空间任意一个向量5，存在有序实数组（%,z）,使得方:总+y石

+zc；

④若五，石是两个不共线的向量，而"=抵+而（尢〃€R且加W0）,则3，b,工是空间的一个基底.

7.如图，四面体/BCD中，点E是。。的中点，记15=2,AC=b,AD=c,则族=（）

”\A

B.-Z+/+至

1-TI-*L—l->

C.5。—b+5cD.-~a+b+-c

8.已知向量Z=(0,—1,1),3=(4,1,0),|Aa+b\=\/29,且4>0,则4等于()

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.如图所示，在正方体ABCD-力iBiGDi中，。为DB的中点，直线4C交平面QB。于点M,则下列结论正

确的是（）「-------弄

A.七，M,。三点共线-|/

B.&C1,平面CiBD

TT

C.直线4C1与平面ABC1D1所成角的为看

D.直线4C和直线8Q是共面直线

10.给出下列命题，其中不正确的为（）

A.若方=而，则必有4与C重合，B与D重合，48与CD为同一线段

B.若五•&＜0,则＜2,b＞是钝角

c.若荏+而=6,则方与而一定共线

D.非零向量入b,才满足日与认办与京才与五都是共面向量，则五、b,才必共面

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11.如图，在底面为等边三角形的直三棱柱力中，AC=2,BB、=避,D,E分别为棱BC,BBr

的中点，贝M)

A.2/〃平面ZD。

B.AD1CrD

C.异面直线AC与DE所成角的余弦值为半

D.平面ADJ与平面48c的夹角的正切值为裾

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.化简2万+2BC+3CD+3DA+左=.

13.设O4BC是四面体，Gi是△48C的重心，G是。Gi上的一点，且。G=3GGi，^OG=xOA+yOB+z

OC,则2x+4y+2z=.

14.如图，二面角a-/一夕的大小是60。，线段ABua.BeI,4B与l所成的角为30。.

则48与平面£所成的角的正弦值是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

己知空间三点4(-2,0,2),5(-1,1,2),C(—3,0,4),设；=万，b=AC.

(1)若|c|=3,c〃BC,求〉

(2)若ka+B与左五一2至互相垂直，求实数k.

16.(本小题15分)

如图，在正方体4BCD-&B1C1D1中，点E,F分别在&D,4C上，且EF1&D,EF1AC,求证：EF//B

DL

17.(本小题15分)

如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB//CD,乙4BC="DB=90°,CD=1,BC=2,

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DF=1.

(1)求证：BE〃平面DCF；

⑵求点B到平面DCF的距离.

18.(本小题17分)

如图甲，在直角梯形A8CD中，AB//CD,AB1BC,CD=2AB=2BC=4,过2点作4E1CD,垂足为

E,现将△4DE沿4E折叠，使得DE1EC,取力D的中点F,连接BF,CF,EF,如图乙.

(1)求证：BC1平面DEC；

⑵求二面角C-BF-E的余弦值.

甲乙B

19.(本小题17分)

如图，在三棱锥P-ABC中，AB1BC,AB=2,BC=2的,PB=PC=病,BP,AP,BC的中点分另（j

为D,E,0,AD=肉＞。，点F在4c上，BF1AO.

(1)证明：EF〃平面AD。；

(2)证明：平面力£＞。_L平面8EF；

⑶求二面角。-20-C的正弦值.

A

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参考答案

l.c

2.C

3.0

4.C

5.C

6.B

7.B

8.C

9sBe

10.4BD

11.XBD

—>

12.0

13.2

14.里

4

15.解：(1)点4(—2,0,2),8(—1,1,2),C(-3,0,4),

.•.前=(-2,-1,2),

由|c|=3,且c〃BC,c=(-2%,—x,2x),

...c2=4x2+x2+4%2=9%2=9,解得％=±1,

・・.2=(2,1,_2)或"=(-2,_1,2).

(2)a=AB=(1,1,0),=Ie=(-1,0,2),

若痴+了与21互相垂直，则(丁+)).伍-2石)=0,

>2—>—>—2

k2a—ka-b—2b=0,

即/.(12+12+o2)-fc-(-1+0+0)-2-[(-l)2+02+22]=0,

化简得2k2+k-10=0,

解得k-一|或k=2.

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16.证明：连结&Ci，由于止C〃4Ci，EF1AC,

EF±A1Cl,

又EE1A1D,A^Dn/iCi=/i，

EFi平面a©。，①

•••BBi_L平面力iBiCi%,ZiCiu平面4B1C1D1，

BBi.L

又ABiCiDi为正方体，

•*•ZiCi-LB]DI，

BB]ClBi%=Bi，

・•・A1C11平面

而BDiu平面BBiDi。，

•*•BD]_LZi。],

同理，DC11BD1,DC^A^iCi=Ci，

•••BDi1平面4心。，②

由①②，得EF//BD1.

17.(1)证明：•••AB//CD,480平面DCF,CDu平面DCF,

•••力B〃平面DCF,

由矩形2DFE,知4E//DF,

又AEC平面DCF,DFu平面DCF,

.­.4E〃平面DCF,

•••AEdAB=A,AEu平面力BE,ABu平面4BE,

•­•平面ABE〃平面DCF,

•••BEu平面ABE,

BE〃平面。CF.

(2)解：如图，以D为坐标原点，DA,DB,DF所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

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•・•AB//CD,

•••Z-ABD=Z.BDCf

又乙ADB="BC=90°,

•••AADBs△BCD,且BD=yJCD2+BC2=^/l2+22=6

・・・亚=吗即丝=雪

BCCD121

AD=2在，AB=y/AD2+BD2=，20+5=5,

2i

・•・0(000),F(0,0,l),Z(2肉),0),8(0,低0),C(一苫河0),

•e•BF=(0,一巡,1),CF=(奈,一=,1),DC=(一。,=,0),

f—_Q(磊]―+y+z=I

设平面DCF的法向量为日=(%,y,z),则[，比=0，即_2%+1),二0

令第=1,则y=2,z=0,・•・♦=(1,2,0),

点8到平面。CF的距离为隼粤

18.解：(1)证明：如图，DE1EC,

DE1AE,

•••DE1平面4BCE,

又BCc平面A8CE,

••・DE1BC,

又•・•BC1EC,DEC\EC=E,

BC1平面。EC.

(2)如图，以点E为坐标原点，分别以EC,ED为x,y,z轴建立空间坐标系E—xyz,

・•・E(0,0,0),C(0,2,0),8(20),D(0,0,2),4(2,0,0),尸(1。),

设平面EFB的法向量用=(Xi,%*。,

由方=(1,0,1),丽=(2,2,0)

所以有｛*:口,

取/=1,得平面EFB的一个法向量超=(%242/2)，

由而=(1-2,1),CB=(2,0,0),

所以有掇一2；2+Z2=0,

取及=L得平面BCF的一个法向量雨=(0,1,2),

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设二面角C-BF-E的大小为a,

川加a-叱利-IT_715

则cosa一阿.同「昌火--

19.解：(1)证明：由题可知，|尼|=2避，设而=4而,

■.ABAC=\AB\\AC\COSABAC=4,

■■■JF-AO=(ZZC-AB)•(|AB+|xc)

=^\AC\2-^\AB\2+(^A-^)AB-AC

=8A—4=0,

解得力=!

OF//AB,OF=±AB,

而DE〃4B,DE=y8,

DE//OF,DE=OF,

四边形ODEF为平行四边形，

EF//OD,

•••ODu平面AD。，£TU平面2。。，

AEF〃平面力。。.

(2)证明：由(1)可知EF〃。。，贝！|4。=强刀。=乎，

得4。=非DO=率，

因止匕。。2+A02=AD2=当，

贝U。。1710,有EF1A0,

又4。1BF,BFC\EF=F,BF,EFu平面BEF,

则有4。_L平面8EF,

又4。u平面AD。，

所以平面4。。，平面BEF.

(3)过点。作。H//BF交AC于点”，设ADDBE=G,

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