《线性代数》课件 第4章 初等变换法

第四章初等变换法第四章

主要学习内容矩阵的初等变换初等变换法求解线性方程组4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵

由于线性方程组与它的增广矩阵有着对应关系，为了解在求解线性方程组过程中增广矩阵的变化，把消元过程中出现的线性方程组的增广矩阵写在该方程组的右边．4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵利用高斯消元法从上往下消元依次为：

对应的增广矩阵进行的变化为：

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵

把上述中“行”变为“列”即得矩阵的3种初等列变换（简称列变换）.矩阵的初等变换改变了原来的矩阵，所得的新矩阵与原矩阵一般不相等，不能用等号“=”连接,而使用箭线“→”或波浪线“~”连接，表明后一个矩阵是由前一个矩阵经过初等变换而得.4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵

线性方程组与其增广矩阵是一一对应的，对线性方程组的增广矩阵做初等行变换所得矩阵所对应的方程组与原方程组同解．也就是说初等行变换不改变线性方程组的解．

注意：行变换可施行于任何矩阵，不仅仅是对于线性方程组的增广矩阵4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵行变换是可逆的：

同理，列变换也可逆.综上，矩阵的变换都可逆，其逆变换为同类型的变换.4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵行阶梯形矩阵

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵

这样的矩阵，称为阶梯形矩阵.

将非零行的第一个非零元简称为首非零元.

于是行阶梯形矩阵需要具备2个特点：（1）画一条阶梯线，线下全为0.或者下一行的首非零元在上一行首非零元右侧；（2）每个台阶只能跨1行.或者零行在最下方.4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵思考：

；；以上矩阵是否为阶梯形矩阵？4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵思考：

；；以上矩阵是否为阶梯形矩阵？答：A不是阶梯形矩阵，因为零行不在最下方；B也不是阶梯形矩阵，因为有一个台阶跨了2行；C是阶梯形矩阵，因为阶梯线下全为0，且每个台阶只跨了1行，或者理解为零行在最下方，且下一行的首非零元总在上一行首非零元右侧；D不是阶梯形矩阵，第4行的首非零元不在第3行首非零元的右侧.4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵行最简形矩阵

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵思考：；；

，

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵思考：；；

，

答：A不是行最简形矩阵，首先它就不是阶梯形矩阵；B也不是行最简形矩阵，它是阶梯形矩阵，首非零元所在列除它本身其余全为0，但并非全部首非零元都为1；C是行最简形矩阵，首先它是阶梯形矩阵，全部首非零元都为1，且首非零元所在列除它本身其余全为0.4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵标准形

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵

解：4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵；；，例4.1.3

将矩阵A依次化简为阶梯形、行最简形.4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵；；，例4.1.3

将矩阵A依次化简为阶梯形、行最简形.解：

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵；；，

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵；；，

解：第一步，从左往右，关注第1个非零列，使得首非零元在该列顶端，通过交换变换或者倍加变换，使得顶端的首非零元为该列下方元素的约数；

第二步，用倍加行变换将第1个非零列首非零元下方的元素变成0.

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵；；，第三步，从左往右，关注第2个非零列，使得首非零元在第1个非零列首非零元的右下方；通过交换变换或者倍加变换，使得第2个非零列的首非零元为该列下方元素的约数，用倍加行变换将首非零元下方的元素变成0.

第四步，从左往右，关注第3个非零列，用上述的三个步骤直到没有非零行需要处理为止.

至此，得到阶梯形矩阵.4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵；；，第五步，从右往左，关注第1个非零列，使得首非零元在该列末端，通过交换变换或者倍加变换，使得末端的首非零元为该列上方元素的约数；

第六步，从右往左，关注第2个非零列，使得首非零元在第1个非零列首非零元的左上方；通过交换变换或者倍加变换，使得第2个非零列的首非零元为该列上方元素的约数，用倍加行变换将首非零元上方的元素变成0.

第七步，从右往左，关注第3个非零列，用第五、第六的步骤把每个首非零元上方的各元素变成0.若某个首非零元不是1，用倍乘变换将它变成1.可以简单记忆为：从左往右、从上往下，变换矩阵为阶梯形；从右往左、从下往上，变换阶梯形为行最简形矩阵.4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵矩阵的秩指的是对应线性方程组中有效方程的个数.例4.1.5

求矩阵A的秩.4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵例4.1.5

求矩阵A的秩.解：

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵

解：

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵，1.矩阵等价回顾例4.1.1对线性方程组的求解，可知所有方程组均为等价方程组，方程组对应的增广矩阵也等价．即若两个线性方程组的增广矩阵等价，则它们同解．由此得矩阵等价的定义

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵，

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵，２.初等矩阵定义4.4对单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵，

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵，

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵，

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵，

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵，３初等变换与初等矩阵的关系通过例4.1.7来探讨初等变换与初等矩阵的关系

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵，

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵，

左行右列.4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵，４初等矩阵的逆矩阵在4.1.1初等变换与标准形中，已经知道初等变换可逆，其逆变换为同类型的变换，现在考虑初等矩阵是否可逆？如果可逆，其逆矩阵是什么？

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵

初等矩阵是由单位矩阵经过相应的初等变换得到的，再经过同类型的初等逆变换又变回到单位矩阵.4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵，矩阵等价、初等矩阵与初等变换之间的关系：

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵矩阵等价、初等矩阵与初等变换之间的关系：

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵，归纳总结后，得到如下定理

定理4.3

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵，５.初等变换求逆矩阵

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵，５.初等变换求逆矩阵

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵，

.4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵，.

解：4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵，

.

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵，.解：

思考题

思考题

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵，.

4.1矩阵的初等变换4.1.1初等变换与标准形4.1.2初等变换求矩阵的秩4.1.3初等变换求逆矩阵，.解：

回顾与小结1.行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形和矩阵初等变换的概念；2.用初等变换求矩阵的秩；3.用初等变换求逆矩阵。4.2初等变换法求解线性方程组，4.2.1非齐次线性方程组与齐次线性方程组

4.2初等变换法求解线性方程组，4.2.1非齐次线性方程组与齐次线性方程组

定义4.2.14.2初等变换法求解线性方程组，4.2.2初等变换求解线性方程组1.方程组的解

方程组所有可能的解的集合称为方程组的通解，即方程组全部解的一般表达式就是方程组的通解.4.2初等变换法求解线性方程组，4.2.2初等变换求解线性方程组1.方程组的解

4.2初等变换法求解线性方程组，4.2.2初等变换求解线性方程组

定义4.2.24.2初等变换法求解线性方程组4.2.2初等变换求解线性方程组定义4.2.3

4.2初等变换法求解线性方程组，4.2.2初等变换求解线性方程组例4.2.1判定下列方程组是否为齐次方程组与其解的情况.(1)

(2)(3)(6)(5)(4)4.2初等变换法求解线性方程组4.2.2初等变换求解线性方程组例4.2.1判定下列方程组是否为齐次方程组与其解的情况.(1)

(2)(3)(6)(5)(4)解：根据前文有关定义知，(1)(2)(3)是非齐次线性方程组，(4)(5)(6)是齐次线性方程组.方程组(1)无解，(2)(3)有唯一解，(4)只有零解（有唯一解），(5)(6)有无穷多解.且(2)(3)、(5)(6)分别为同解方程组也即等价方程组.4.2初等变换法求解线性方程组，4.2.2初等变换求解线性方程组初等变换法求解线性方程组

4.2初等变换法求解线性方程组4.2.2初等变换求解线性方程组例4.2.2求下列系数矩阵对应的齐次线性方程组的解.（1）

（2）（3）4.2初等变换法求解线性方程组4.2.2初等变换求解线性方程组例4.2.2求下列系数矩阵对应的齐次线性方程组的解.（1）

4.2初等变换法求解线性方程组4.2.2初等变换求解线性方程组例4.2.2求下列系数矩阵对应的齐次线性方程组的解.

（2）

4.2初等变换法求解线性方程组4.2.2初等变换求解线性方程组例4.2.2求下列系数矩阵对应的齐次线性方程组的解.

（3）

4.2初等变换法求解线性方程组，4.2.2初等变换求解线性方程组

4.2初等变换法求解线性方程组，4.2.2初等变换求解线性方程组

4.2初等变换法求解线性方程组，4.2.2初等变换求解线性方程组例4.2.3求下列增广矩阵对应的非齐次线性方程组的解.

4.2初等变换法求解线性方程组，4.2.2初等变换求解线性方程组解：这3个增广矩阵均为行最简形矩阵，可直接写出方程组的解.

4.2初等变换法求解线性方程组，4.2.2初等变换求解线性方程组（3）对应的3方程组为

等价于

等价于

于是原方程组的解为

显然，如果非齐次方程组出现了矛盾等式则必然无解，否则有解.同理，有解时，没有自由未知数则有唯一解，有自由未知数则有无穷多解.容易发现，系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否一致决定了是否会出现矛盾等式，是否有自由未知数主要看系数矩阵（增广矩阵）的秩与未知数的个数的关系.4.2初等变换法求解线性方程组，4.2.2初等变换求解线性方程组

4.2初等变换法求解线性方程组，4.2.2初等变换求解线性方程组

4.2初等变换法求解线性方程组，4.2.2初等变换求解线性方程组

4.2初等变换法求解线性方程组4.2.2初等变换求解线性方程组

4.2初等变换法求解线性方程组，.4.2.2初等变换求解线性方程组例4.2.4解线性方程组.4.2初等变换法求解线性方程组4.2.2初等变换求解线性方程组

4.2初等变换法求解线性方程组4.2.2初等变换求解线性方程组

4.2初等变换法求解线性方程组4.2.2初等变换求解线性方程组

4.2初等变换法求解线性方程组4.2.2初等变换求解线性方程组例4.2.5

解线性方程组4.2初等变换法求解线性方程组4.2.2初等变换求解线性方程组

4.2初等变换法求解线性方程组4.2.2初等变换求解线性方程组

4.2初等变换法求解线性方程组4.2.2初等变换求解线性方程组

4.2初等变换法求解线性方程组4.2.2初等变换求解线性方程组例4.2.6求解非齐次线性方程组

4.2初等变换法求解线性方程组，.4.2.2初等变换求解线性方程组

4.2初等变换法求解线性方程组4.2.2初等变换求解线性方程组

4.2初等变换法求解线性方程组，4.2.2初等变换求解线性方程组

4.2初等变换法求解线性方程组，4.2.2初等变换求解线性方程组

4.2初等变换法求解线性方程组，4.2.2初等变换求解线性方程组

4.2初等变换法求解线性方程组，4.2.3齐次线性方程组的解的性质

4.2初等变换法求解线性方程组，4.2.3齐次线性方程组的解的性质

4.