湘豫联考2024-2025学年新高考适应性调研考试数学试题（含解析）

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湘豫名校联考

2024—2025学年新高考适应性调研考试

数学

注意事项：

1.本试卷共6页.时问120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在

试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码

上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的

答题区域内.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知xjeR,i为虚数单位，则“x=-l,歹=2”是“x+yi=（2+i）i”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

22

2.已知双曲线二=1的离心率为G，则加的值为（）

9m

A.18B.3V2C.27D.2V3

3数据7,3,6,5,10,14,9,8,12的第60百分位数为()

A.14B.9.5C.8D.9

,、flogx,x>0,/、/、/、

4.已知函数/(%)=<]/9ng(x)=/(一%)+1，则g(x)的图象大致是()

(X+1),X<U,

5.在等比数列｛与｝中，记其前"项和为S"，已知%=-%+2%，则次的值为（

A.2B.17C.2或8D.2或17

6.在一个不透明箱子中装有10个大小、质地完全相同的球，其中白球7个，黑球3个.现从中不放回地依次

随机摸出两个球，已知第二次摸出的是黑球，则第一次摸出的是白球的概率为（）

7725

A.—B.-C.-D.一

10936

7.己知关于无的不等式卜-2叫/—（2a+l）x+l]…0对任意xe（O,+e）恒成立，则实数a的取值范围是

3]_

c(-<x>,0]D.

2；2

8.在平面直角坐标系中，点尸的坐标为圆C:(x—5)2+=1,点T«,0）为无轴上一动点.

现由点尸向点T发射一道粗细不计的光线，光线经x轴反射后与圆。有交点，贝"的取值范围为（）

「15101「710]「727]「1527-

A.—,—B.—,—C.—,—D.—,—

83434888

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知力＞2,且〃eN*，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（）

A.若X〜则£（2X+l）=g〃+l

c.若x〜则尸(X=l)=0(X=〃—1)

D.当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布

10.一块正方体形木料如图所示，其棱长为3,点尸在线段4G上，且4。=造尸。1，过点尸将木料锯

K.PCLBD

B.截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台

C.截面的面积为6百

D.以点A为球心，AB长为半径的球面与截面的交线长为——

2

II.己知。为全集，集合4民。,。满足：48,C为。的非空子集，且

4uBuC=U，dD=C，鼠B)(幺c8)=。对所有满足上述条件的情形，下列说法一定错误的有

()

A.CnD^0B.B2C=U

C.(NU8)CC=0D.a(ZuB)不包含于C

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

3x

12.设正实数xj满足xv=10,lgx/gy=-一，则1g—=

4y

13.如图，函数/(x)=Gsin(0x+e)(o〉O,O<°<7i)的部分图象如图所示，已知点4。为/⑴的图

象与x轴的交点，点氏C分别为/(x)图象的最高点和最低点，且方•反=-；|您『，则函数/(x)的

初相。=.

Ixl

14.已知方程T£=l(7/t£R)有四个不同的实数根,满足Q<b<O<C<d,且在区间(凡“和

e

(c,d)上各存在唯一整数，则实数加的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

在V48c中，角48,C所对的边分别为a,6,c,已知c=2,/+c?—b?=—2cosz)c.

(1)求b的值；

(2)设/氏4c的平分线交5C于点£>,若V4BC的面积为3百，求线段的长.

16.(本小题满分15分)

如图，已知三棱柱48C—481cl的所有棱长均为1,且4Bi=ZG=l.

(1)求直线Z4与平面48。所成角的正弦值;

(2)求点4到平面的距离.

17.(本小题满分15分)

已知函数/(x)=eX,g(x)=Ax+b(k,beR).

(1)令〃(x)=/(x)-g(x),讨论函数〃(x)的单调性；

(2)若>>0,且/(x).“g(x)在R上恒成立，求g⑵的最大值.

18.(本小题满分17分)

221

已知椭圆。1：三+%=1(。〉6〉0)与抛物线。2：/=4》有一个公共焦点，且G的离心率为5,设G

与。2交于48两点.

(1)求椭圆G的标准方程及线段AB的长;

（2）设尸为G上一点（不与48重合），满足直线尸4尸8均不与G相切，设直线尸4尸8与。2的另一

个交点分别为M,N,证明：直线””过定点.

19.（本小题满分17分）

如果一个严格单调递增数列｛4｝的每一项都是正整数，且对任意正整数〃，&恒成立，则称数列

｛4｝为“奇特数列”.

（1）设等差数列｛4｝的首项％=口，公差为人若a..d,aeN*,deN*,求证：｛与｝为“奇特数列”；

（2）已知数列｛4｝,｛4｝,其中｛4｝为“奇特数列"，q=aeN*q+i为大于%的最小的〃+1的正整数

倍，a=%+L

⑴求证：也,｝为“奇特数列”；

bnbn+i1

(ii)求证：当"..Q时，7

n〃+1

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2024—2025学年新高考适应性调研考试

数学参考答案

题号1234567891011

答案CADCDBCABCACDAD

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.C【解析】因为x+yi=(2+i)i=2i+i2=-l+2i,又xjeR,所以“》=-1/=2”是

“x+yi=(2+i)i”的充要条件.故选C.

2.A【解析】由题可得实半轴长。=3,所以半焦距c=J^x3=3百，所以加=(36)2-3?=18.故选

3.D【解析】数据从小到大依次排列为：3,5,6,7,8,9,10,12,14,共9个数据.第60百分位数对应为

9x60%=5.4,向上取整为6,所以第60百分位数为第6个数据，即为9.故选D.

4.C【解析】令x>0,则-x<0,所以/(—x)=(—x+l)2,g(x)=/(—x)+l=(x—11+1.故选C.

5.D【解析】由等比数列的通项公式可得%/=—qq+2q,整理得—2=0,解得q=l或

%W-1)

q=—2.当4=1时，”=鲁=2；当q=—2时，]==17.所以次的值为2或

S44alS4qTS

q-i

17.故选D.

6.B【解析】设第一次摸出白球为事件Z,第二次摸出黑球为事件8,则第一次摸出黑体为事件因为

73

_73323/,xP(AB]6义67

P(B)=P(AB)+P(AB)=—x-+—x-=—,所以尸(削0=[]吗>=_.故选B.

10910910、/P⑻X9

10

31

7.C【解析】对于函数歹=/一(2a+l)x+l,A=(2a+l)2-4.今八=(2。+1)2—4”0,即一万”a„

3

满足N=--(2a+l)x+L0恒成立，因此，只需2%0,即凡，0,所以—3，a”0.今

i3

A=（2a+l）2-4>0,即。>万或a<一].设方程（2a+l）x+l=0的两根分别为王,々，则

X]+%=2。+1,卬^=1.当a>!时，方程f一（2a+l）x+l=0有两个正根，存在xe（0,+e）,使得

（x-2a）p-（2a+l）x+l]<0,不筹合题意，舍去；当a<—彳时，方程--（2a+l）x+l=0有两个

3

负根，因此，只需2凡，0,即凡，0,所以a<一综上所述，a的取值范围为（一。,0].

8.A【解析】方法一：作点尸关于x轴的对称点尸（0,—g）,则直线PT与圆C有交点.又T&0）,所

以直线PT的方程为y—上，即上x—>—』=0.由题知圆。的虽心为5

,半径为1,直线

25_5_5

\2t22|

1“日1510

尸7与圆。有交点即圆心。到直线尸7的距高小于等于1,所以I,、0=”，解得?”t,,--

83

方法二：作点尸关于x轴的对称点尸（0,-g）,则直线与圆C有交点，临界情况为直线尸7与圆C

5_5

相切.设切点为。，今左2=tan/0PC,易得尸（0—5y+=5叵,所以

2-2

11

k2-tan/QPC=7=7•因为直线PC的斜率为占=1,所以直线P'Q的斜率

J（5伪2_1Z/

般磊%，上井m・易得直线尸‘。的方程为了=日—；・所以.

II/vjI**^2,I32，3，o3

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.BC【解析】若X〜则£（X）=；〃，所以£（2X+l）=g〃+l,A正确.因为

1222

D（X）=-x-n=-n,所以£＞（2X+1）=4D（X）=§〃，B错误.

n-\

2，尸

P(X=l)=C：,x|x(X=〃—l)=C：Txgx\，尸(X=l)wP(X=〃—l),C错误.由教材

原文，知D正确.故选BC.

10.ACD【解析】对于A,如图，连接NC,由CG，平面/BCRBOu平面4BC。，得CCJ5Q.

又/C_LBD,ACnCCX=C,4Cu平面ACCXAX,CQu平面ACCXAX,所以8£),平面ACCXAX.

又尸Cu平面NCC/i，所以尸CL8。,/正确.对于B,过点尸作直线平行于4。，分别交4片,GR于

N,M两点，连接BN,CM,显然"N〃4q〃，所以四边形8cMN为过点尸及直线5C的正方

体的截面，截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱，B错误.对于C,由选项B,得

==贝忆四=百,CM=点豆万=2相，因此截面矩形8CAW的面积

S=BCCM=6日C正确.对于D,过4作NOL3N于点O,由3C_L平面45514，幺。u平面

ABBXAX,得AO上BC.又BNcBC=B,BNu平面BCMN,BCu平面BCMN,所以NO平面

BCMN,所以点O为以点4为球心，48长为半径的球面被平面8cMN所截小圆圆心，球面与截面的

13

交线为以点O为圆心，50长为半径的半圆弧，显然NBAO=NB、BN=30°,BO=—AB=—,因此交

22

37T

线长为一，D正确.故选ACD.

2

11.AD【解析】由知CcO=0,A错误；当8时，

。=3口0（"门5）=。4。=电。=。（。力=",满足条件,且8DC=U,所以B不一定错误；当

Zc5=0时，D=^4^（AryB）=A<jB,又CcD=0,所以此时（幺cC=0,所以C不一

定错误；因为脑⑷（Zc8）=£>,所以。口幺。8）,所以错误.故选AD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

12.±2【解析］由孙=10,得Igx+lgy=lgxy=l.所以

lg-=lgx-lgy=±7(Igx+Igy)2-41gx-Igy=±2.

5兀

13.—【解题思路】结合正弦函数的周期及向童数量积公式计算可得0，再由函数零点即可得。.

6

【解析】由题图可得又7=0,所以+，所

以

化简得结-3=0.又

8/2

JTJT15兀

刃＞0,所以刃二—,所以一x—+0=；i+2E(左EZ),解得0=——+2防左EZ).因为0＜°＜兀，所

2236

,,5兀

以展不•

14.曲|以，11【解题思路】方法一：』工=1卜/0,机eR)可以化为MM+l—机产=0("0).令

A(x)=ta|x|+l-mx2,x^0,易得〃(x)为偶函数，所以只需考虑x>0时，/z(x)=hu+1-加V有两个

零点c,d,且在区间(gd)上存在唯一的整数.若〃(x)=0,则蛆J1=7%.令g(x)=11K根

XX

据导数得到g(x)的单调性，根据在区间(c,d)上存在唯一的整数，列出不等式组即可.

=1(x^0,meR),得皿1

方法二：由一加w0).令

e’mx2-1X

7/、/xIn1x1+1

hyx)=mx,xw0,g(x)=————,xwO,易得〃(x),g(x)均为奇函数，所以只需考虑x>0时,

x

g(x)=@£*l与〃(x)=M的图象有两个交点(c,g(c»,(d,g(d))且在区间(c,d)上存在唯一的整

JC

数，通过求导得到g(x)的单调性，根据直线=过特殊点时加的值即可得到加的取值范围.

|x|

方法三：J]=l(xw0,机eR)=ln|x|=mx1-l(xw0]令

/z(x)=lnW，xwO,0(x)=Mx2—I,》。。，作图象，利用数形结合可得加的取值范围.

【解析】方法一：^^q_=l(xwO,机eR)=ln|x|+l-/Mx2=o(xw0).令丸(x)=In国+1一mx?,xH0,

则M-x)=/z(x).所以为偶函数.所以只需考虑x>0时，〃(x)=hu+l-加/有两个零点c,d,且

在区间(c,d)上存在唯一的整数即可.当x>0时，令〃(x)=0,得生：1=J.令g(x)=>；1,则

xx

0]_1_1A\1

g'(x)=——R—.当xe0,e2时，g'(x)>0,所以g(x)在0,e2上单调递增；当xee2,+<x>

xIJI)\)

时，g'(x)<0,所以g(x)在屋5,+e上单调递减.因为在区间(c,d)上存在唯一的整数，所以

I)

g(2)„m<g(l),即Mj1,,加<1.所以加的取值范围为ln2+l)

<(八、Inx+1,,..lnx+1,

方法二:国l(x0,meR)<4>————=mx(x0).今g(x)=————,xw0,则

e"M-i

1XX

g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数.因为〃(X)=M也是奇函数，所以只需考虑x>0时,

g(x)=11n+1与%(x)=mx的图象有两个交点k，g(c)),(d,g(d)),且在区间(c,d)上存在唯一的整数.

易知g'(x)=」^,当xe(O,l)时，g'(x)>0,所以g(x)在(0,1)上单调递增；当xe(l,+e)时，

g'(x)<0,所以g(x)在(1,+。)上单调递减.当直线=M过点(1,1)时，m=l；当直线〃(x)=m

过点〔2,生手]时，m=5±1.因为g(x)与〃(力的图象有两个交点，且在区间(c,d)上存在唯一的整

数，所以生出,，加<1,所以加的取值范围为生尹■」].

4L4)

||

方法三：由_]]x_]=l(xw0,加£R),得国一2o111国=加/一].令

e

/z(x)=ln|x|,x^0,^(x)=mx2两函数均为偶函数，所以只需考虑x>0时，〃(x)与°(x)的

图象有两个交点(。,力(。)),(4力。))，且在区间(c,d)上存在唯一整数.如图，作Mx)#(x)的部分图

In2„4m-1,l+ln2F1+ln2

象'根据图象易得i"2'所以［能―l<0.解得下，，刃<1'所以加的取值范围为［k，1

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.【解析】(1)在V4BC中，由余弦定理得2bccos/=Z)2+c2—下，

2

代入已知条件，得。2+C2一4=-Z)c-(Z>2+c2-a2).

,2

整理，得2c2=-hc.

3

所以b=3c=6.

（2）方法一：由于Sv/Bc=1bcsin/R4c.所以sin/氏4C=空S=立.

2be2

又/A4Ce（O,兀），所以/民4C=四或9.

''33

由点。在NBAC的平分线上，知点D到边AB和边AC的距高相等.

设这个距高为目，则Sv/Bc=1(b+c)d，所以4=空山=2土8=述.

2b+c2+64

3G3

4D__________

所以.12或一.

sin——A4c/2

2

方法二：因为S“Bc=Lbcsin/R4C,所以sin/氏4C=生3=虫.

2be2

7T/7T

又/A4Ce（0,兀），所以=—或—.

'/33

因为SvZBC=S'人BD+SXJACD'所以S\ABC=-c-AD-sm-^BAC+-b-AD-sm-^BAC.

2222

当/胡C=二时，373=-x2^Dxsin-+-x6^Dxsin-,

32626

解得幺。=吏.

2

27r/—17rlTT

当NBAC=——时，3G=—x2Z£）xsin」+—x6Z£>xsin2,

32323

3

解得/。=—.

2

综上所述，幺。=£1或20=3.

22

16.【解析】（1）由题意，得四面体幺-是正四面体.

如图，过点4作平面481G的垂线4"，交平面4片&于点〃,

连接4〃，4"，G〃.

由对称性知，点〃为正三角形48cl的中心.

易得ZA,HBX=120°,4女=BXH,

所以4〃=24gcos^=^44=—.

131163113

因为，平面4与G，4Hu平面44G，所以2〃，A.H.

所以直线441与平面44cl所成的角为/HZ/.

4H

因为sin/际/二——-

44]AAXV

又平面Z8C〃平面44G，

所以直线AA｝与平面ABC所成角的正弦值为逅.

3

(2)因为_L平面451G,5]Gu平面4"G,

所以28,81G.

又4H_LB[Ci，且AHcA[H=H,

所以51G_L平面，4H.

又N4u平面，4〃，所以51G，44].

又幺4〃BBi//eq,所以与G±CQ.

所以四边形ASiGC为矩形.

所以S矩形BB^C=1x1=1.

因为。-V-V--逅—走,

口月"四棱的1-EBQC-"三棱柱HBC-4B£一"三棱柱^-4百。一一^义《丁义飞

所以点/到平面BBgC的距离为六棱锥=斗

3矩形BBC1C2

17.【解析】(1)因为〃(x)=/(x)—g(x)=e二米一6,

所以l(x)=e*-左.

当鼠0时，〃'(x)>0恒成立，“X)在R上单调递增.

当左>0时，令〃'(x)=0,则x=ln左，

当x<时，〃'(X)<0,〃(x)在(-a?,Ink)上单调递减；

当x>ln左时，入'(x)10,〃(x)在(1M,+00)上单调递增.

综上所述，当匕，0时，〃(x)在R上单调递增；

当左>0时，〃(x)在(-e,ln左)上单调递减，在(1M,+8)上单调递增.

(2)结合⑴与题意可得〃(In。..0,gpelDk-kink-b...O,即瓦，elnk-klnk.

所以g(2)=2左+”,2k+e"£—ktiik=3k-kink.

令p(k)=3k_Rnk,k>0,则p'(左)=2-ln左，今p'(k)=G,则左=e?.

当左e（0,e2）时，夕'（左）>0,p（左）在（od）上单调递增;

当左e@,+“）时，p'（k]<0,夕（左）在份,+引上单调递减.

所以MGmax=夕K2)=e2.3

所以2左+”，e2,即g（2）的最大值为e2.

18.【解析】（1）易得抛物线。2：/=4%的焦点为尸（1,0）,所以半焦距c=l.

1C11

又G的禺心率为一，所以e=———=—.

2aa2

所以。=2,所以62=/一。2=3.

22

所以椭圆G的标准方程为、+（=L

22

2

J=4x,“一3'、X=35

联立《X2y2解得<r-或<

一+一=L2V6276

I43y=-----y=-------

3：3

所以线段48的长为电5

3

（22A/6、

（2）由（1）知点48的坐标分别为.（不妨设点4在点8上方）

（33

7

记名生=2/,则2

33

易知直线尸4PB的斜率存在且不为0,

设直线PA的斜率为左，则直线上4的方程为y=k/_+2t,

与抛物线方程联立，得：

(kyX—k，+2t)=4x,A=16k；t~—32k+16>0.

(

2

解得X；=t2,x=t

2k\>

(/、2

(2)(2、1

所以点M的坐标为t~~

kJ

同理，设直线PB的方程为y^k2x-k/-2r,A=16野+32仅+16>0.

（（、2

一2一(2

则点N的坐标为/+—,2t+—

k?

左27

若勺+左2=0,则点尸的坐标为（一2,0）或（2,0）,

所以左=逅,左Yl或左=一逅水逅（均满足△>（））.

14241222

所以点以,N的横坐标均为6,

此时直线"乂的方程为x=6,过点（6,0）.

、

21+2]+2t--2

、2

kJ(2

若左+质。0,则直线的方程为歹=\2x-t2?

2(2ku

、2

(2)(2

2t--L4

\2k

_227kJ

今y=。,解得x=t+

21/+21+2t--2

左2?K)

k-k2yl_64

C2(2)(2)(2)(2、