福州第一中学2025届高二上数学期末联考试题含解析

福州第一中学2025届高二上数学期末联考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若直线与互相垂直，则实数a的值为（）A.-3 B.C. D.32．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（）A. B.C. D.3．若直线过点（1，2），（4，2＋），则此直线的倾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.90°4．过椭圆右焦点作x轴的垂线，并交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点.若以线段AB为直径的圆与有2个公共点，则C的离心率e的取值范围是（）A. B.C. D.5．江西省重点中学协作体于2020年进行了一次校际数学竞赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）A.得分在之间的共有40人B.从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在的概率为0.5C.这100名参赛者得分的中位数为65D.可求得6．已知函数的定义域为，若，则（）A. B.C. D.7．已知圆C的方程为，点P在圆C上，O是坐标原点，则的最小值为（）A.3 B.C. D.8．若，则x的值为（）A.4 B.6C.4或6 D.89．已知等差数列且，则数列的前13项之和为（）A.26 B.39C.104 D.5210．设函数在上可导，则等于（）A. B.C. D.以上都不对11．在某市第一次全民核酸检测中，某中学派出了8名青年教师参与志愿者活动，分别派往2个核酸检测点，每个检测点需4名志愿者，其中志愿者甲与乙要求在同一组，志愿者丙与丁也要求在同一组，则这8名志愿者派遣方法种数为（）A.20 B.14C.12 D.612．椭圆离心率是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．平面直角坐标系内动点M（）与定点F（4，0）的距离和M到定直线的距离之比是常数，则动点M的轨迹是___________14．若正四棱柱的底面边长为5，侧棱长为4，则此正四棱柱的体积为______15．直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为，直线是线段AB的垂直平分线，若，D为垂足，则D点的轨迹方程是______16．若椭圆W：的离心率是，则m=___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点M，N（1）求椭圆的标准方程；（2）当的面积为时，求的值18．（12分）已知首项为1的等比数列，满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和19．（12分）已知函数.（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式：.20．（12分）如图在直三棱柱中，为的中点，为的中点，是中点，是与的交点，是与的交点.（1）求证：；（2）求证：平面；（3）求直线与平面的距离.21．（12分）已知正项数列的首项为，且满足，（1）求证：数列为等比数列；（2）记，求数列的前n项和22．（10分）已知动点M到点F（0，）的距离与它到直线的距离相等（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过点P（，－1）作C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求直线AB的方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据给定条件利用两条直线互相垂直的关系列式计算作答.【详解】因直线与互相垂直，则，解得，所以实数a的值为.故选：C2、A【解析】设，计算出重心坐标后代入欧拉方程，再求出外心坐标，根据外心的性质列出关于的方程，最后联立解方程即可.【详解】设，由重心坐标公式得，三角形的重心为，，代入欧拉线方程得：，整理得：①的中点为，，的中垂线方程为，即联立，解得的外心为则，整理得：②联立①②得：，或，当，时，重合，舍去顶点的坐标是故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是求出外心，二是根据外心的性质列方程.3、A【解析】求出直线的斜率，由斜率得倾斜角【详解】由题意直线斜率为，所以倾斜角为故选：A4、A【解析】求得以为直径的圆的圆心和半径，求得直线的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列不等式，化简后求得椭圆离心率的取值范围.【详解】椭圆的左焦点，右焦点，上顶点，，所以为直径的圆的圆心为，半径为.直线的方程为，由于以线段为直径的圆与相交，所以，，，，，所以椭圆的离心率的取值范围是.故选：A5、C【解析】根据给定的频率分布直方图，结合直方图的性质，逐项计算，即可求解.【详解】由频率分布直方图，可得A中，得分在之间共有人，所以A正确；B中，从100名参赛者中随机选取1人，其得分在中的概率为，所以B正确；D中，由频率分布直方图的性质，可得，解得，所以D正确.C中，前2个小矩形面积之和为0.4，前3个小矩形面积之和为0.7，所以中位数在[60，70]，这100名参赛者得分的中位数为，所以C不正确；故选：C.6、D【解析】利用导数的定义可求得的值.【详解】由导数的定义可得.故选：D.7、B【解析】化简判断圆心和半径，利用圆的性质判断连接线段OC，交圆于点P时最小，再计算求值即得结果.【详解】化简得圆C的标准方程为，故圆心是，半径，则连接线段OC，交圆于点P时最小，因为原点到圆心的距离，故此时.故选：B.8、C【解析】根据组合数的性质可求解.【详解】,或，即或.故选：C9、A【解析】根据等差数列的性质化简已知条件可得的值，再由等差数列前项和及等差数列的性质即可求解.【详解】由等差数列的性质可得：，，所以由可得：，解得：，所以数列的前13项之和为，故选：A10、C【解析】根据目标式，结合导数的定义即可得结果.【详解】.故选：C11、B【解析】分（甲乙）、（丙丁）再同一组和不在同一组两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得；【详解】解：依题意甲乙丙丁四人再同一组，有种；（甲乙），（丙丁）不在同一组，先从其余4人选2人与甲乙作为一组，另外2人与丙丁作为一组，再安排到两个核酸检测点，则有种，综上可得一共有种安排方法，故选：B12、C【解析】将方程转化为椭圆的标准方程，求得a，c，再由离心率公式求得答案.【详解】解：由得，所以，则，所以椭圆的离心率，故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据直接法，即可求轨迹.【详解】解：动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，根据题意得，点的轨迹就是集合，由此得．将上式两边平方，并化简，得所以，动点的轨迹是长轴长、短轴长分别为12、的椭圆故答案为：14、100【解析】根据棱柱体积公式直接可得.【详解】故答案为：10015、【解析】设直线l的方程为，代入椭圆方程并化简，然后根据M为线段AB的中点结合根与系数的关系得到k,t间的关系，进而写出线段AB的垂直平分线的直线方程，可以判断它过定点E，再考虑直线l的斜率不存在的情况，根据题意可知，点D在以OE为直径的圆上，最后求出点D的轨迹方程.【详解】设直线l的方程为，代入椭圆方程并化简得：，设，则，解得.因为直线是线段AB的垂直平分线，故直线：，即：令，此时，，于是直线过定点当直线l的斜率不存在时，，直线也过定点点D在以OE为直径的圆上，则圆心为，半径，所以点D轨迹方程为：16、或【解析】按照椭圆的焦点在轴和在轴上两种情况分别求解，可得所求结果【详解】①当椭圆的焦点在轴上时，则有，由题意得，解得②当椭圆的焦点在轴上时，则有，由题意得，解得综上可得或故答案为或【点睛】解答本题的关键有两个：一个是注意分类讨论思想方法的运用，注意椭圆焦点所在的位置；二是解题时要分清椭圆方程中各个参数的几何意义，然后再根据离心率的定义求解三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由椭圆的一个顶点为，得到，再由椭圆的离心率为，求得，进而求得椭圆的标准方程；（2）由椭圆的对称性得到，联立方程组求得，根据的面积为，列出方程，即可求解.【小问1详解】解：由题意，椭圆的一个顶点为，可得，又由椭圆的离心率为，可得，所以，则，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】解：设，且根据椭圆的对称性得，联立方程组，整理得，解得，因为的面积为，可得，解得.18、（1）（2）【解析】（1）根据已知条件求得数列的公比，由此求得.（2）利用错位相减求和法求得.【小问1详解】设等比数列的公比为，由，可得.故数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以【小问2详解】由（1）得，，①，②①②，得所以19、（1）；（2）答案见解析.【解析】（1）由题设可得，进而可知在恒成立，即可求参数范围.（2）题设不等式等价于，讨论的大小并根据一元二次不等式的解法求解集即可.【小问1详解】当时，得，即.由，则，∴，即，∴，即，∴实数的取值范围是.【小问2详解】由，即，即.①当时，不等式解集为；②当时，不等式的解集为；③当时，不等式的解集为.综上，当时﹐不等式的解集为；当时，不等式的解集为﹔当时，不等式的解集为.20、（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】（1）法一：通过建立空间直角坐标系，运用向量数量积证明，法二：通过线面垂直证明，法三:根据三垂线证明；（2）法一：通过建立空间直角坐标系，运用向量数量积证明，法二：通过面面平行证明线面平行；（3）法一：通过建立空间直角坐标系，运用向量方法求解，法二：运用等体积法求解.【小问1详解】证明：法一：在直三棱柱中，因为，以点为坐标原点，方向分别为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.因为，所以，所以所以，所以.法二：连接，在直三棱柱中，有面，面，所以，又，则，因为，所以面因为面，所以因为，所以四边形为正方形，所以因为，所以面因为面，所以.法三：用三垂线定理证明：连接，在直三棱柱中，有面因为面，所以，又，则，因为，所以面所以在平面内的射影为，因为四边形为正方形，所以，因此根据三垂线定理可知【小问2详解】证明：法一：因为为的中点，为的中点，为中点，是与的交点，所以、，依题意可知为重心，则，可得所以，，设为平面的法向量，则即取得则平面的一个法向量为.所以，则，因为平面，所以平面.法二：连接.在正方形中，为的中点，所以且，所以四边形是平行四边形，所以又为中点，所以四边形是矩形，所以且因为且，所以，所以四边形为平行四边形，所以.因为，平面平面平面平面，所以平面平面，平面，所以平面【小问3详解】法一：由（2）知平面的一个法向量，且平面，所以到平面的距离与到平面的距离相等，，所以，所以点到平面的距离所以到平面的距离为法二：因为分别为和中点，所以为的重心，所以，所以到平面的距离是到平面距离的.取中点则，又平面平面，所以平面，所以到平面的距离与到平面的距离相等.设点到平面的距离为，由得，又，所以，所以到平面的距离是，所以到平面的距离为.21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由递推关系式化简及等比数列的的定义证明即可；（2）根据裂项相消法求解即可得解.【小问1详解】证明：由得，而且，则，即数列为首项，公比为的等比数列【小问2详解】由上可知，所以，22、（1）（2）【解析】（1）根据抛物线的定义或者直接列式化简即可求出；（2）方法一：设切线的方程为：，与抛物线方