初中数学几何模型大全+经典题型（含答案）

初中数学几何模型大全+经典题型（含答案）

全等变换

平移：平行等线段（平行四边形）

对称：角平分线或垂直或半角

旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转

角分线模型

1

"fV*

1

<_'k-城励作・场―㈱勒娜等蝌,

1>

以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等

两边进行边或者角的等量代换，发生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。

工飞

B

/C

B

说明：上图依次是45。、30。、22.5。、15。及有一个角是30。直角三角形的对称（翻

折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

半角：有一个角含1/2角及相邻线段

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等

共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等

中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外

两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

构造方法：

遇60度旋60度，造等边三角形

遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋顶点，造旋转全等

遇中点旋180度，造中心对称

说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过

“8〃字模型可以证明。

说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变更，另外是等腰

直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶

点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及

两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角

形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直

角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全

等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。

中点模型

倍长中线连中点椅造中位线倍长一边梅造中位嫉向遣三靖合一内曲耳边中线

对称最值（两点间线段最短）

线段和差模型

同侧、异侧两线段之和最短模型同侧、异侧两线段之苦最小模型

轴对称模型

r，M—N

K1

“'、；，------'-<7

\'%

,r

三线段之和过桥模型四边形周长三角形周长

最短模型最小模型最小模型

t

.....

°rG/4:\

/\

//a1■\

/*:\

/i：\

说明：通过对称进行等量代换,转换成两点间距离及点到直线距离。

X仁D声

说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段,定长线段的和为最大值,

定长线段的差为最小值。

三角形玲四边形

四边形玲四边形

图11

说明：剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状。

L

说明：通过射影定理找到正方形的边长，通过平移与旋转完成形状改变

DB

说明：两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是300角的直角三角形成

旋转相似。

推广：两个任意相似三角形旋转成一定角度，成旋转相似。第三边所成夹角符合

旋转"8"字的规律。

说明：注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在证明相似中起到通过等量代

换来构造相似三角形的作用。

说明：（1）三垂直到一线三等角的演变，三等角以30度、45度、60度形式出

现的居多。

（2）内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相同与分歧之处。另外,

相似、射影定理、相交弦定理（可以推广到圆哥定理）之间的比值可以转换成乘

积，通过等线段、等比值、等乘积进行代换，进行证明得到需要的结论。

说明：相似证明中最经常使用的辅助线是做平行，根据题目的条件或者结论的比

值来做相应的平行线。

A模型一：手拉手模型-旋转型全等

a条件：A38.AOC。均为等边三角形

a结论：①A。4c・SOBD,②LAEB-60°；00£平分LAED,

<2)等原K7A

a条件：A"，优A”C/)均为等膘直角三角形

a结论：①A。4c・M)BD)②LAEB-90n

a③OE平分乙

<3)任意等腰三角形

A均为等腹三角形

a结论：①A。*。・AOBD.②LAEB-LAOB.

a③OE平分乙4ED。

A模型二:手拉手模型-旋转型相似

⑴ne况

A条件：CO/48,将AOCQ旅转至右图位用

A班：

a右图中①Aa"AO/8cAO"'&OBD;

a②延长/C交8D于点E,必有LBECdLBOA

(2)特殊慌况

a条件：CO//48,乙f(M・90",将AOC。旋转至右图

位贸

a结论：右图中①AOCDsAQfB=ACMCAOBDf®

延长“交BD于点E,必有乙BEC-LBOA；

\mLOCD

)@BDlACf

⑤1接皿BC,AD'+BC-AB+CD'y⑥]”"■丁(x8/)

《对角线互相垂直的四边形〉

A模型三:对角互补模型

(1)

a条件：①LAOB-LDCE-90°,②%平分UOB

a结论：①CD=CE;②°D+OE-7%)C；③

a证明提示：

0乍垂直，如图，证明AC。”-ACE.V,

©3点C作b,℃,如上图（右），证明AODC-AFEC

a当4的一边交X。的延长线于点D时：

以上三讼®CD=CE（不变）j

②OE-OD-41OC,③Sg-S"-2OC

此结论研方法与帝T帽况一致，可自行尝试。

(2)全等型120°

a新：①4/08・2LDCE-120°,

>②OC^>UO8；

A菇论：①・②"。+。・(驳

COC£,£’3H

A证螂示：①可参考“全等型-90。”证法一；

②如图：在03上取一点F,使OF=OC,证明AOCF

为等边三角形。

《3》全等型任意角a

a条件：①乙*。8-2a，'X'£-18O-2a；②C£>=CE；

A结论：①a'平分乙iCB5②OD+CE-2(X•cosa,

:

@Sdoa-%rn+S1toec-OCesina•cosa

当4CCE的一边交/。的延长线于点Q时（如右上图）：

原结论变成：①____________________________

②____________________________________________

可参考上述第②釉方法迸行证明。清史考初始条件的变化对模型辘响。

＞对角互上檄型总结：

①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共图及直角三角形斜边中线;

②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；

③两种常见的铀睚戋作法；

◎主意（）C平分乙408时,LCDE-LCED-LCOA-4。相等如何推导？

模型四：角含半角模型90。

条件：①正方形ABCD,②LEAF-45",

牯论：①"'"。尸+SE；②ACEF的周长为正方形48CO周长的一半.

也可以这样：

条件：①正方形ABCD,②".=DF+BE

结论：LEAF-45°

（2）角含半角模型90--2

条件：①正方形4BCD,②LEAF-45"；

结论：EF-DF-BE目

qw;

<3）角含半角镇型90.f

a条件：①RTMBC5②ZJM£=45°,

a结论：RD^CE1•DE2

若4/M：旋转到28c外部时，结论以）+C£'=°尸仍然成立.

<4）龟含半角馍型W变形

证喇：AC（方a不唯一》

7ZZ14<-Z£<F-45,ANZ)M・NU£

VZ.WV/-Z.KZ-45.XUm^XlCE

---AX<ffE^X4£X'

AHJE

a条件：①正方形ABCD；②㈤/=45°；

A结论：&〃花.为等腰直角三角形。□

A模型五：倍长中线类模型

<1>信长中身联型T

a条件：①^形'BCD，②8D-8E®DF-EF,

A结论：/尸J.C尸

模型提取：①^平行线AD"BE.②平行线磔戋段有中点DF-EF，

可以构造“8”字全等N〃尸。&HEF.

(2)信长中缆■型2

A条件：3M亍四边形T8C0}®BC-2AB；③AM-DM；®CE±AD.

.常论：乙EMD・3乙MEN

W+H-.4B//CD.#中点..•<.“一£)”

W长EW.蜘迨ZU5Z£、qAai/F.it4*CM构^7。

BCR

it等It\EMC.WfCF

通过种遣8手全皆依.以他■:见低Jt大乐.角的大

小特化

A模型六：相似三角形3600旋转模型

<1>相似三角形〈等展百360-

a条件:O=DE、MBC均

为等腰亘角三角形3②

EF-CF

a结论；①DF.BF§②

nr±BF

<o相恨三角影《等。0°immayT隆法

»=OXDE、23ct^等角三角开乡，②七尸・CF、

a结论：CDD尸-BFj②OF.LBE

HgE.:种泣与》e_iL向A4A7、~1〃U

班Z)尸与BF卅《匕ajC'G与EH

C〉M相^g_Ema苣法《/恒：&XZM**G,慑q、此

aWVfts①ACMSsACrXT3(g)Z-OAB-Z-ODC-90°；<7>XTH低3/=«T>..卜全MX，B、

0BE.CEodC'H,通设“他*.eft..4£?与DE91<TG

~结论：OAE-DE3②NED-2mo

DEJLA/.<e.，〃・小・班“

a条件：①4CABsM)DC,②Z-OAH-Z.O£X：'-90°®论g—个条件♦♦m用N4口-2BS.此

BE-CE。为e.«.・样ZMI^AARC“幢”化，i*5

=结论=©AE-DE,②NED-2jBO

ZHX^AACJ忙网一边・rtJL会«<

日.处G.&4k证5

A模型七二最短路程模型

总”：以上可圉为京Q的独时你工最加总”问题.

M后每“化刑：”㈣代之蚓，代我多短”Na

构点：①助点AA以上:②起息，馋怠阈充

<2）最矩路程锻里二（点¥1直叫I）

HMH：瘠作0关于ex时体a。••骑比

Q?・rP.itAwniff/±a।

正线段以如,W*PA-\"f①之\fH（♦一，］最忖）

A条件：①OC平分""%②w为。8上一定点，③P为X上f点，④。为08上一动点，

A求：A"+尸。最小时，？。的<斌？

<3）麟路程模型二（黑情线类2〉

A条件：/（0,4）,8（-20）1（0.〃）

PB+—PA

A同演：”为何值时，5最小

sinLOAC

求解方法：①、轴上取C（2°）,使5,②过8作8/）_L/C,交P轴于点E,艮防所求j

tanLEBO«tanLOAC

③2,即£（°」）.

条件：7次中.Z/T-2ZC-

“对冷：戊8C的•直不分N为讨好”・你义

.，立时体A.，.逢裸.1・,n.r.cr

9iH.V再，JAC的■牛分八.

・z/,■.“,cr《•豆一工小住。》

比”总财C的作』2二例同三向青京匕妁M房

八用"之一.恒并不£4一件j

A模型九：相似三角形模型

（2）才眼三角形模型制交型

4凶,nM

。VWaV■!tn

«）相ftlEft影崛T^8^

“论：骑齐圉・，・4A妁”很

I\l/#c5八，71A'：②.1//x/M■/“*，八

一愎三号前帽型电，上翕冏■罐3方“为事代美

初中数学经典几何题（附答案）

经典难题（一）

1、己知：如图，0是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD±AB,EF_LAB,EG±CO.

求证：CD=GF.（初二）

2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，ZPAD=ZPDA=150.

求证：APBC是正三角形.（初二）

3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2A。

CC1、DD1的中点.P/\

BC

求证：四边形A2B2c2D2是正方形.（初二）

经典难题（三）

D

DEIIAC,AE=AC,AE与4MBaF.G

1、如图，四边形ABCD为正方形,E二

求证：CE=CF.（初二）

2、如图，四边形ABCD为正方形,DEIIAC,且CE=CA,H^ECF

:QsF

求证：AE=AF.（初二）

F-一，

BC

A

/AE/且

4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点,

AE=CF.求证：ZDPA=NDPC.（初二）\

经典难题（五）

BEC

1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L=PA+PB+PC,求证：<L<2.

P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值

AA__________________D

3、p为正方豺p内的一点,而且PA=a,p\=?a,PC=3a,求正方形的边长.

一A［-----------------------------.D

4、如明〃ABC中C=NACB==800,口、^^另上的点，zhCA=300,ZEBA

=2四，求NBED的度数.C

BC

经典难题（一）

1.如下图做GHJ_AB,连接E0。由于GOFE四点共圆，所以NGFH=NOEG,

T-!r~\t~\

BPAGHF-△OGE,可得——=---=——，又CO=EO,所以CD=GF得证。

GFGHCD

2.如下图做4DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△,从而可得

△DGC2△APD合△CGP,得出PC=AD=DC,和NDCG=ZPCG=150

所以NDCP=300,从而得出△PBC是正三角形

3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点,

连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，

SA2E=1A1B1=fB1C1=FB2,EB2=方AB=/BC=FC1,又NGFQ+NQ=900和

ZGEB2+ZQ=900,所以NGEB2=ZGFQ又NB2FC2=ZA2EB2,

可得△B2FC2M△A2EB2,所以A2B2=B2c2,

又NGFQ+ZHB2F=900和NGFQ=ZEB2A2,

从而可得NA2B2C2=900,

同理可得其他边垂直且相等，

从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。

4.如下图连接AC并取其中点Q,连接QN和QM,所以可得NQMF=NF,NQNM=NDEN和

ZQMN=NQNM,从而得出NDEN=NF。

经典难题（二）

1.⑴延长AD到F连BF,做OGJLAF,

又NF=NACB=NBHD,

可得BH=BF,从而可得HD=DF,

又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)连接OB,0C,既得NBOC=1200,

从而可得NBOM=600,

所以可得OB=2OM=AH=AO,

得证。

3.作OF_LCD,OG±BE,连接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQo

»丁ADACCD2FDFD

ABAEBE2BGBG

由此可得AADa△ABG,从而可得NAFC=NAGE。

又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得NAFC=ZAOP和NAGE=NAOQ,

ZAOP=ZAOQ,从而可得AP=AQ。

E

c

FG+FH

4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG,Cl,FH。可得PQ="。「口

2

由^EGA之△AIC,可得EG=AI,由^BFHW△CBI,可得FH=Bl。

rih—A/+_B/AB.,

从而可得PQ=--------------=-------，从而得证。

22

D

G

E

I

经典难题（三）

L顺时针旋转△ADE,到4ABG,连接CG.

由于NABG=ZADE=900+450=1350

从而可得B,G,D在一条直线上，可得AAGBVACGB。

推出AE=AG=AC=GC,可得△AGC为等边三角形。

ZAGB=300,既得NEAC=300,从而可得NAEC=750。

又NEFC=ZDFA=450+300=750.

可证：CE=CFo

2.连接BD作CH_LDE,可得四边形CGDH是正方形。

由AC=CE=2GC=2CH,

可得NCEH=300,所以NCAE=ZCEA=ZAED=150,

又NFAE=900+450+150=1500,

从而可知道NF=150,从而得出AE=AFo

FAD

3.作FG_LCD,FE±BE,可以得出GFEC为正方形。

令AB=Y，BP=X,CE=Z，可得PC=Y-X。

tanzBAP=tanZEPF=一=----------,可得YZ=XY-X2+XZ,

YY-X+Z

即Z(Y-X)=X(Y-X),既得X=Z,得出AABP空△PEF,

得到PA=PF,得证。

经典难题（四）

1.顺时针旋转AABP600,连接PQ,则APBQ是正三角形。

可得△PQC是直角三角形。

所以NAPB=1500o

A

2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E,使AEIIDC,BEIIPC.

可以得出NABP=NADP=NAEP,可得：

AEBP共圆（一边所对两角相等）。

可得NBAP=ZBEP=ZBCP,得证。

3.在BD取一点E,使NBCE=ZACD,既得△BEO△ADC,可得:

BEAD

即AD・BC=BE・AC,①

~BC~~AC

又NACB=ZDCE,可得△ABOADEC,既得

ABDE