导数压轴专题突破-第08讲 恒成立问题之构造函数技巧（含答案及解析）

第08讲恒成立问题之构造函数技巧【典型例题】例1．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若，且关于的不等式在上恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围．例2．已知关于的函数，与，在区间上恒有．（1）若，，，求的表达式；（2）若，，，，求的取值范围；（3）若，，，，，，求证：．例3．已知函数．（1）若在上单调，求的取值范围．（2）若的图象恒在轴上方，求的取值范围．例4．已知函数．（1）求的单调区间；（2）若在区间，上，函数的图象恒在直线的上方，求的取值范围；（3）设，当时，若对于任意的，，总存在，，使得成立，求的取值范围．【同步练习】1．已知，函数，．（1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直，求，的值；（2）设，若对任意的，，且，都有，求的取值范围．2．已知，函数，．（Ⅰ）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直，求，的值；（Ⅱ）设，若对任意的，，且，都有，求的取值范围．3．已知函数，．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）当时，令，其导函数为，设，是函数的两个零点，判断是否为的零点？并说明理由．4．已知函数．（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若在区间上恒成立，求的最小值．5．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）是否存在，，使得在区间，的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，说明理由．6．已知函数，，，．（1）当时，①若曲线与直线相切，求的值；②若曲线与直线有公共点，求的取值范围；（2）当时，不等式对于任意正实数恒成立，当取得最大值时，求，的值．7．已知集合是满足下列性质函数的全体，若函数定义域为，对任意的，，有．（1）当时，是否属于，若属于，给予证明，否则说明理由；（2）当，函数时，且，求实数的取值范围．8．已知函数．（Ⅰ）当时，求的极值；（Ⅱ）设，，，是函数图象上的两个相异的点，若恒成立，求实数的取值范围．9．设函数，，，，为的导函数．（1）若，（4），求的值；（2）若，，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；（3）若，，，且的极大值为，求证：．

第08讲恒成立问题之构造函数技巧【典型例题】例1．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若，且关于的不等式在上恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围．【解析】解：（1）根据题意可知的定义域是，，令，解得：，当时，时，，时，，当时，时，，时，，综上，当时，在单调递减，在，上单调递增，当时，在上单调递增，在，上单调递减；（2）由题意：，即在上恒成立，令，则，对于，△，故其必有2个零点，且2个零点的积为，则2个零点一正一负，设其正零点为，则，即，且在上单调递减，在，上单调递增，故，即，令，则，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，又（e），故，，显然函数在，上是关于的单调递增函数，则，，故实数的取值范围是，且．例2．已知关于的函数，与，在区间上恒有．（1）若，，，求的表达式；（2）若，，，，求的取值范围；（3）若，，，，，，求证：．【解析】解：（1）由得，又，，所以，所以，函数的图象为过原点，斜率为2的直线，所以，经检验：，符合任意，（2），设，设，在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以（1），所以当时，，令所以，得，当时，即时，在上单调递增，所以，，所以，当时，即时，△，即，解得，综上，，．（3）①当时，由，得，整理得，令△，则△，记，则，恒成立，所以在，上是减函数，则（1），即，所以不等式有解，设解为，因此．②当时，，设，则，令，得，当时，，是减函数，当，时，，是增函数，，（1），则当时，，则，因此，因为，，，所以，③当时，因为，为偶函数，因此也成立，综上所述，．例3．已知函数．（1）若在上单调，求的取值范围．（2）若的图象恒在轴上方，求的取值范围．【解析】解：（1），由在上单调，知在上大于等于0或小于等于0恒成立，令，则，令，解得，当时，，在上单调递减，由题意得，（1）或，解得或，实数的取值范围为，，；（2）的图象恒在轴上方，即当时，恒成立，亦即在上恒成立，令，则，令，求导可得，令，解得，当时，单调递增，当时，单调递减，故（1），，即，令，解得；令，解得，函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得最大值，最大值为（1），实数的取值范围为．例4．已知函数．（1）求的单调区间；（2）若在区间，上，函数的图象恒在直线的上方，求的取值范围；（3）设，当时，若对于任意的，，总存在，，使得成立，求的取值范围．【解析】解：（1）．（1分）若，则恒成立，的减区间为．（2分）若，令，得舍去）．当时，，的减区间为；当时，，的增区间为．（4分）（2）由题意，对于任意的，，恒成立，即对于任意的，恒成立．令，则在上恒成立．（6分）而在，上图象不间断，在，上是单调减函数，在，上的最大值为（1），则，因此（8分）（3）对任意的，，存在，，使得，存在，，使得．当时，，，令，得舍去）．列表如下：0极小值在，上图象不间断，在，上的最小值．（11分）存在，，使得，即只要．令，则，令，得舍去）．列表如下：0在，上图象不间断，在，上的最小值．（15分），即．（16分）【同步练习】1．已知，函数，．（1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直，求，的值；（2）设，若对任意的，，且，都有，求的取值范围．【解析】解：（1），．依题意有（1）（1），（1）（1），可得：，解得，或，．（2），不妨设，则，等价于．设，则对任意的对任意的，，且，都有，等价于函数在上是增函数．，，依题意有，对任意，有恒成立．，可得．2．已知，函数，．（Ⅰ）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直，求，的值；（Ⅱ）设，若对任意的，，且，都有，求的取值范围．【解析】解：（Ⅰ），．，（1）．依题意有（1）（1），可得，解得，或．当时，，．由，解得．，当时，，．由，解得．．（Ⅱ）．不妨设，则等价于，即．设，则对任意的，，且，都有，等价于在是增函数．，可得，依题意有，对任意，有．由，可得．3．已知函数，．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）当时，令，其导函数为，设，是函数的两个零点，判断是否为的零点？并说明理由．【解析】解：（Ⅰ）依题意知函数的定义域为，且（1）当时，，所以在上单调递增（2）当时，由得：，则当时；当时．所以在单调递增，在上单调递减．综上，当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减（Ⅱ）不是导函数的零点．证明如下：当时，．，是函数的两个零点，不妨设，，两式相减得：即：，又则．设，，，令，又，，在上是增函数，则（1），即当时，，从而，又所以，故，所以不是导函数的零点．4．已知函数．（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若在区间上恒成立，求的最小值．【解析】解：（Ⅰ）设切线的斜率为，，（1）因为（1），切点为．切线方程为，化简得：．（4分）（Ⅱ）要证：只需证明：在恒成立，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时（1）在恒成立所以．（10分）（Ⅲ）要使：在区间在恒成立，等价于：在恒成立，等价于：在恒成立因为①当时，，不满足题意②当时，令，则或（舍．所以时，在上单调递减；时，，在上单调递增；当时当时，满足题意所以，得到的最小值为（14分）5．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）是否存在，，使得在区间，的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，说明理由．【解析】解：（1）．令，解得，或．①时，，函数在上单调递增．②时，函数在，，上单调递增，在上单调递减．③时，函数在，上单调递增，在，上单调递减．（2）由（1）可得：①时，函数在，上单调递增．则，（1），解得，，满足条件．②时，函数在，上单调递减．，即时，函数在，上单调递减．则，（1），解得，，满足条件．③，即时，函数在，上单调递减，在，上单调递增．则最小值，化为：．而，（1），最大值为或．若：，，解得，矛盾，舍去．若：，，解得，或0，矛盾，舍去．综上可得：存在，，使得在区间，的最小值为且最大值为1．，的所有值为：，或．6．已知函数，，，．（1）当时，①若曲线与直线相切，求的值；②若曲线与直线有公共点，求的取值范围；（2）当时，不等式对于任意正实数恒成立，当取得最大值时，求，的值．【解析】解：（1）①当时，的导数为，设切点为，可得切线的斜率为，曲线与直线相切，可得，，解得，；②若曲线与直线有公共点，即有有解，则，由的导数为，当时，函数递增；当时，函数递减，即函数有最小值1，则；（2）当时，不等式对于任意正实数恒成立，由函数，，导数为，当时，递增；时，递减，可得时，取得最小值，且为，由于时，最小，由恒成立思想只需考虑时，，即有对于任意正实数恒成立，即有对恒成立，即，由的导数为，显然时，时，函数取得最小值，且为，即，由恒成立，显然，可得，由，当且仅当时，取得等号，则时，等号同时成立，可得，，可得，由（a）在递增，且（1），可得，，．7．已知集合是满足下列性质函数的全体，若函数定义域为，对任意的，，有．（1）当时，是否属于，若属于，给予证明，否则说明理由；（2）当，函数时，且，求实数的取值范围．【解析】解：（1）对任意的，，有，即，即连接函数图象上任意两点的割线斜率绝对值小于1恒成立．又因为函数，在定义域内处处可导，则由切线的性质可知，连接该函数定义域内任意两点的割线，总能在定义域内找到一条切线与之平行，则割线的斜率就是切线的斜率，即该切点处的导数．所以只需，时恒成立即可．易知，当时，，即，所以不恒成立，因此在定义域内不属于．（2）显然，该函数在定义域内处处可导，结合（1）的分析，要使，，属于，只需，即，在区间上恒成立即可．因为，在时单调递增，所以只需，且（1）解得．8．已知函数．（Ⅰ）当时，求的极值；（Ⅱ）设，，，是函数图象上的两个相异的点，若恒成立，求实数的取值范围．【解析】解：时，令得或，200极大值极小值，（2）；不妨设，，设，则有时，则在单调递增，即在恒成立，所以，得，因为，当且仅当时取等号，，，故的取值范围为．9．设函数，，，，为的导函数．（1）若，（4），求的值；（2）若，，且和的零点均在集合，1